2023年江西省中考数学试卷（含解析）

2023年江西省中考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，正整数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若有意义，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  单顶式的系数为______ ．

8.  我国海洋经济复苏态势强劲在建和新开工海上风电项目建设规模约万千瓦，比上一年同期翻一番，将用科学记数法表示应为______ ．

9.  化简： ______ ．

10.  将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为______ ．

11.  周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点测得，，，则树高 ______

12.  如图，在▱中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，当为直角三角形时，旋转角的度数为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．
如图，，平分求证：≌．

14.  本小题分
如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．

在图中作锐角，使点在格点上；
在图中的线段上作点，使最短．

15.  本小题分
化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

甲同学解法的依据是______ ，乙同学解法的依据是______ ；填序号
等式的基本性质；分式的基本性质；乘法分配律；乘法交换律．
请选择一种解法，写出完整的解答过程．

16.  本小题分
为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动根据活动要求，每班需要名宣传员某班班主任决定从甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名同学作为宣传员．
“甲、乙同学都被选为宣传员”是______ 事件；填“必然”、“不可能”或“随机”
请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．

17.  本小题分
如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点．
求直线和反比例函数图象的表达式；
求的面积．

18.  本小题分
今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种棵，则剩余棵；如果每人种棵，则还缺棵．
求该班的学生人数；
这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵元，乙树苗每棵元购买这批树苗的总费用没有超过元，请问至少购买了甲树苗多少棵？

19.  本小题分
图是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图所示的示意图已知点，，，均在同一直线上，，测得，，结果保小数点后一位

连接，求证：；
求雕塑的高即点到直线的距离．
参考数据：，，

20.  本小题分
如图，在中，，，以为直径的与相交于点，为上一点，且．
求的长；
若，求证：为的切线．

21.  本小题分
为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表

______ ， ______ ；
被调查的高中学生视力情况的样本容量为______ ；
分析处理
小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；
约定：视力未达到为视力不良若该区有名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．

22.  本小题分
课本再现

定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形如图，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱中，对角线，垂足为．
求证：▱是菱形．

知识应用
如图，在▱中，对角线和相交于点，，，．
求证：▱是菱形；
延长至点，连接交于点，若，求的值．

23.  本小题分
综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系．
初步感知
如图，当点由点运动到点时，
当时， ______ ；
关于的函数解析式为______ ．
当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长．
延伸探究
若存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．
______ ；
当时，求正方形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是正整数，
则符合题意；
B.是有限小数，即为分数，
则不符合题意；
C.既不是正数，也不是负数，
则不符合题意；
D.是负整数，
则不符合题意；
故选：．
整数和分数统称为有理数，整数包括正整数，和负整数，分数包括正分数和负分数，据此进行判断即可．
本题考查了有理数的分类，其相关定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项A、、不符合题意；
选项B中的图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：有意义，
则，
解得：，
故的值可以是．
故选：．
直接利用二次根式的定义得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用光的反射得，根据垂直的定义得，再利用三角形内角和即可得出答案．
本题考查垂线，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为个，
故选：．
根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．
本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的系数为：，
故答案为：．
单项式前面的数字因数即为单项式的系数，据此即可得出答案．
本题考查单项式的系数，特别注意单项式的系数也包括前面的符号．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据完全平方公式将原式展开后合并同类项即可．
本题考查完全平方公式及合并同类项，此为整式运算的基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：直尺的两对边相互平行，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
先由平行线的性质可得的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得，则可得出的长．
此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，平行线的性质，能够得出是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，，，，
∽，
，
即，
解得，
树高，
故答案为：
根据题意可知：∽，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：由题意可知，点在以为圆心，为半径的圆上运动．
如图：延长与交于，连接C.
，
又，
为等边三角形，
．
在▱中，，，
．
，
当在直线上时符合题意，
，．
连接，
，，
四边形为平行四边形．
，
即：运动到时符合题意．
．
记中点为，以为圆心，为半径作．
，
与相离，
．
故答案为：、、．
点在以为圆心，为半径的圆上运动，有固定轨迹，为直角三角形，要分三种情况讨论求解．
本题考查了直角三角形的定义，等边三角形，等腰三角形的性质及判定，以及圆周角定理，勾股定理等知识点．题目新颖、灵活，解法多样，需要敏锐的感知图形的运动变化才能顺利解题．
 

13.【答案】解：

；
证明：平分，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】由零指数幂：，立方根的定义，特殊角的正切值，即可计算；
由角平分线定义得到，由即可证明≌．
本题考查全等三角形的判定，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，关键是掌握全等三角形的判定方法，零指数幂：，立方根的定义，特殊角的正切值．
 

14.【答案】解：如图：

即为所求答案不唯一；
点即为所求． 

【解析】根据锐角三角形的定义及网格线的特点作图；
根据网格线的特点及垂线段最短作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：．
选择乙同学的解法．




．
甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
 

16.【答案】随机 

【解析】解：由题意可得，
“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为：随机；
树状图如下所示：

由上可得，一共有种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有种，
甲、丁同学都被选为宣传员的概率为：．
根据题意可知：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
 

17.【答案】解：直线与反比例函数的图象交于点，
，，
，，
直线为，反比例函数为；
令，则，
，
把代入，解得，
，
，
的面积． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
通过直线解析式求得点的坐标，由反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

18.【答案】解：设该班的学生人数为人，
根据题意得：，
解得：．
答：该班的学生人数为人；
设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少购买了甲树苗棵． 

【解析】设该班的学生人数为人，根据“如果每人种棵，则剩余棵；如果每人种棵，则还缺棵”，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
，
，
在中，，
雕塑的高约为． 

【解析】根据等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，进而可得，即可解答；
过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
半径长是，
的长；
证明：，
，
，
，
，
直径，
为的切线． 

【解析】由圆周角定理求出，由邻补角的性质的，由弧长公式即可求出的长．
由圆周角定理得到，因此，得到，因此，得到直径，即可证明为的切线．
本题考查弧长的计算，切线的判定，圆周角定理，关键是由圆周角定理求出，得到的度数，即可求出的长，求出的度数，得到的度数，即可求出，从而证明为的切线．
 

21.【答案】     

【解析】解：，，
故答案为：，；
被调查的高中学生视力情况的样本容量为，
故答案为：；
初中学生的视力水平比高中学生的好，
初中视力水平的中位数为，高中视力水平的中位数为，
所以初中学生的视力水平比高中学生的好；
名，
答：估计该区有名中学生视力不良，建议高年级学生坚持每天做眼保健操，养成良好的用眼习惯．
根据初中各视力的总人数人数百分比求解可得、的值；
将高中各视力人数相加即可得出答案；
选择合适的统计量，比较即可得出答案；
用总人数乘以样本中视力不良的人数和占被调查的总人数的比例即可．
本题考查频数率分布表、频数分布直方图，从统计图表中得出解题所需数据是解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，垂足为，
是的垂直平分线，
，
▱是菱形．
证明：▱中，对角线和相交于点，，，
，，
又，
在三角形中，，
，
即，
▱是菱形；
解：如图，设的中点为，连接，

是的中位线，
，
由知：四边形是菱形，
，
又，
，
又，
，
，
是的中位线，
，
∽，
，
又，，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和已知条件判定是的垂直平分线，推出后利用菱形的定义即可判定▱是菱形；
根据平行四边形的性质求出、的长，然后根据勾股定理逆定理判定，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证；
设的中点为，连接，根据已知条件求出、的长，判定∽，然后根据相似三角形的性质即可求出的值．
本题是相似形综合题，主要考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，深入理解题意是解决问题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：当时，，
又，，
．
故答案为：；
当点由点运动到点时，，
，，
．
故答案为：；
由图可得：当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，
抛物线的顶点坐标为，

，，
，
设，将代入，得，
解得：，
，
，
在中，，
，
抛物线的解析式为；
如图，则，

，
∽，
，即，
，，
，，
存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；
，，，
≌，
，
，
，
，
，
．
当时，，运用勾股定理即可求得答案；
由题意得，运用勾股定理可得；
观察图象可得当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得，，即，设，将代入，即可求得，再利用勾股定理即可求得线段的长；
过点作于点，可证得∽，得出，可求得，，根据存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等，可得，再证得≌，可得，列出等式即可；
证明≌，得出，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．