2024年新高考数学一轮复习 第四章 第四节 三角函数的图象与性质

课时跟踪检测(二十九) 三角函数的图象与性质

一、全员必做题

1．(2023·赣州模拟)已知f(x)＝sin2－，则f(x)是(　 )

A．奇函数且周期为π  B．偶函数且周期为π

C．奇函数且周期为2π  D.偶函数且周期为2π

解析：选A　f(x)＝sin2－＝－＝sin 2x，故为奇函数，且最小正周期为T＝＝π.

2．函数f＝2sin在区间上的最大值为(　 )

A．－2  B．1  C.  D.2

解析：选C　当x∈时，x－∈，≤sin≤，所以1≤2sin≤，所以函数f(x)＝2sin在区间上的最大值为.

3．关于函数y＝sin有如下四个命题：

①该函数在上单调递增；②该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；③该函数图象的一条对称轴方程为x＝－；④该函数图象的一个对称中心为.

如果只有一个假命题，则该命题是(　 )

A．①  B．②  C．③  D.④

解析：选D　①因为－≤x≤，所以φ－≤x＋φ≤＋φ，当函数单调递增时，2kπ－≤x＋φ≤2kπ＋，k∈Z，所以则φ＝2kπ－，k∈Z；

②y＝f＝sin为偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z；

③令φ－＝(k－2)π＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z；

④令φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.

综上，①②③的取值可能相同，而④的取值与①②③取不到相同值，故只有一个假命题，即为④.

4．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　 )

A．1  B．  C.  D.3

解析：选A　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，

即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，

又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，

所以ω＋＝4π，解得ω＝，

所以f(x)＝sin＋2，

所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A.

5．已知函数f(x)＝2coscos x－2sin2x，若f(x)在区间上单调递减，则实数m的取值范围是(　 )

A.  B．

C.  D.

解析：选C　f(x)＝2coscos x－2sin2x＝2sin xcos x－2×＝sin 2x－1＋cos 2x＝2－1＝2sin2x＋－1，由x∈，则2x＋∈2m＋，，由题意，⊆，则≤2m＋<，解得≤m<.

6．(2023·滨州模拟)(多选)设函数f(x)＝|cos x|＋cos 2x，则下列结论正确的是(　 )

A．f(x)的最小正周期为π

B．f(x)在上单调递减

C．f(x)的图象关于直线x＝对称

D．f(x)的值域为[－1,2]

解析：选AD　依题意，f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＋cos 2(x＋π)＝|cos x|＋cos 2x＝f(x)，则f(x)的最小正周期为π，A正确；当≤x≤时，令t＝cos x∈，f(x)＝2cos2x－cos x－1＝2t2－t－1，而函数y＝2t2－t－1在上单调递减，t＝cos x在上单调递减，因此f(x)在上单调递增，B不正确；因为f(0)＝2，f＝－1，即f(x)图象上的点(0,2)关于直线x＝对称的点不在f(x)的图象上，C不正确；当cos x<0时，f(x)＝2cos2x－cos x－1＝22－，则f(x)∈(－1,2]，当cos x≥0时，f(x)＝2cos2x＋cos x－1∈[－1,2]，因此，f(x)的值域为[－1,2]，D正确．

7．(2023·沈阳模拟)函数f(x)＝的最小正周期为______．

解析：y＝3sin－的周期为＝6，由正弦型函数图象与性质可知，f(x)＝的最小正周期为6.

答案：6

8．已知函数f(x)的最小正周期为π，且在上单调递减，则f(x)＝________.(写出符合条件的一个答案即可)

解析：因为函数f(x)＝cos 2x的最小正周期为π，且在上单调递减，所以f(x)＝cos 2x.

答案：cos 2x(答案不唯一)

9．函数f(x)＝cos2x＋sin x－2的最大值是________．

解析：f(x)＝1－sin2x＋sin x－2＝－sin2x＋sin x－1＝－2－，所以当sin x＝时，f(x)有最大值，为－.

答案：－

10．(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：

①f(x)的图象关于y轴对称．②f(x)的图象关于原点对称．③f(x)的图象关于直线x＝对称．④f(x)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是________．

解析：由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝sin(－x)＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，③为真命题．当sin x<0时，f(x)<0，所以④为假命题．

答案：②③

11．已知函数f(x)＝sin x(sin x＋cos x)．

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间．

解：(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x

＝·＋sin 2x

＝＋

＝＋sin，所以f＝＋sin＝＋0＝.

(2)f(x)＝＋sin，所以f(x)的最小正周期是π.

由三角函数的性质可知，－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

12．(2023·杭州高级中学模拟)设f(x)＝2cos2＋sin(2x＋θ)．

(1)若0≤θ≤π，求θ使函数f(x)为偶函数；

(2)在(1)成立的条件下，当x∈时，求f(x)的取值范围．

解：(1)f(x)＝2×＋sin(2x＋θ)＝1＋2sin，

因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝＋kπ，k∈Z，即θ＝＋kπ，k∈Z，

因为0≤θ≤π，所以θ＝.

(2)在(1)成立的条件下，f(x)＝2sin2x＋＋＋1＝2cos 2x＋1，

因为x∈，所以2x∈，

所以cos 2x∈，所以f(x)∈[0,3]．

二、重点选做题

1．已知函数f(x)＝sin(ω>0，x∈R)．若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为(　 )

A.  B．2  C.  D.

解析：选D　因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤·，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.

2．(2023·昆明模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x在上单调递增，则m的最大值为(　 )

A.  B．π  C.  D.

解析：选C　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，周期T＝＝π，函数f(x)在上单调递增，则解得<m≤π，则⊆.函数f(x)的单调递增区间满足2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，－≤x≤，当k＝1时，≤x≤，当k＝2时，≤x≤，所以⊆，则解得m≤.

3．(多选)已知函数f(x)＝2|sin x＋cos x|－sin 2x，则(　 )

A．函数y＝f(x)的最小正周期为2π

B．x＝－为函数y＝f(x)图象的一条对称轴

C．函数f(x)的最小值为1，最大值为2

D．函数f(x)在上单调递减

解析：选BC　因为f(x＋π)＝2|sin(x＋π)＋cos(x＋π)|－sin 2(x＋π)＝2|－sin x－cos x|－sin 2x，所以f(x＋π)＝2|sin x＋cos x|－sin 2x＝f(x)，A错误；因为f＝2sin＋cos－sin 2＝2|－cos x－sin x|－sin(－π－2x)＝2|sin x＋cos x|－sin 2x＝f(x)，所以f＝f，所以函数f为偶函数，所以f的图象关于y轴对称，所以x＝－为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，B正确；令|sin x＋cos x|＝t，有sin 2x＝t2－1，则y＝2|sin x＋cos x|－sin 2x＝－t2＋2t＋1，当x∈R时，t＝∈[0，]，因为y＝－t2＋2t＋1在[0,1]上单调递增，在[1，]上单调递减，又f(0)＝1，f(1)＝2，f()＝－2＋2＋1＝2－1>1.所以当x＝1时，函数f(x)取最大值，最大值为2，当x＝0时，函数f(x)取最小值，最小值为1，C正确；函数f(x)由y＝－t2＋2t＋1和t＝|sin x＋cos x|复合而成，当x∈时，函数t＝|sin x＋cos x|＝sin x＋cos x＝sin，因为x＋∈，所以函数t＝sin在上单调递减，所以函数t＝|sin x＋cos x|在上单调递减，且t∈[1，]，函数y＝－t2＋2t＋1在[1，]上单调递减，所以函数f(x)在上单调递增，D错误．

4．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xsin.

(1)求f(x)的对称轴方程；

(2)求cos φ的取值范围，使得对任意x∈R，均有f(x＋φ)＋2f(x)≤4成立．

解：(1)由题意，f(x)＝cos2x＋sin xsin＝cos2x＋sin xcos x＝＋cos 2x＋sin 2x＝sin＋，

由正弦函数的性质得2x＋＝＋kπ，k∈Z，

解得x＝＋，k∈Z，

即f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

(2)由于f(x＋φ)＋2f(x)＝sin＋2sin＋≤4，

令2x＋＝t(t∈R)，

则sin(t＋2φ)＋2sin t≤，

展开并整理得(2＋cos 2φ)·sin t＋sin 2φ·cos t≤，

即sin(t＋θ)≤，

其中tan θ＝.

因此≤，

即4cos 2φ＋5≤，解得cos 2φ≤，

由cos 2φ＝2cos2φ－1得－≤cos φ≤，

所以cos φ的取值范围是.