2024年新高考数学一轮复习 第三章 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算

课时跟踪检测(十七) 导数的概念及其意义、导数的运算

1．(多选)在下列函数中，求导正确的是(　 )

A．f(x)＝ln 2，f′(x)＝

B．f(x)＝cos 2x，f′(x)＝－2sin 2x

C．f(x)＝，f′(x)＝

D．f(x)＝(x2＋2x)ln x，f′(x)＝2(x＋1)ln x

解析：选BC　对于A中，函数f(x)＝ln 2，可得f′(x)＝0，则A错误；对于B中，函数f(x)＝cos 2x，可得f′(x)＝－2sin 2x，则B正确；对于C中，函数f(x)＝，可得f′(x)＝，则C正确；对于D中，函数f(x)＝(x2＋2x)ln x，可得f′(x)＝2(x＋1)ln x＋x＋2，则D错误．

2.函数f(x)的图象与其在点P处的切线如图所示，则f(1)－f′(1)等于(　 )

A．－2  B．0

C．2  D.4

解析：选D　由题意，切线经过点(2,0)，(0,4)，可得切线的斜率为k＝＝－2，即f′(1)＝－2，又由切线方程为y＝－2x＋4，令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)－f′(1)＝2＋2＝4.

3．若函数f(x)＝ex＋x3＋a的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝kx＋2k，则a＝(　 )

A．1  B．－1

C．0  D.2

解析：选A　因为f(x)＝ex＋x3＋a，则f′(x)＝ex＋3x2，则f′(0)＝1＝k，即切线方程为y＝x＋2，所以f(0)＝1＋a＝2，解得a＝1.

4．(2023·上饶一模)设f(x)为可导函数，且 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　 )

A．2  B．－1

C．1  D.－

解析：选D　由导数的几何意义知点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)，因为Δx→0时，→－1，所以f′(1)＝ ＝ ＝－，所以在点(1，f(1))处的切线斜率为－.

5．(2023·秦皇岛模拟)已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－e1－x，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　 )

A．y－e2＋1＝0  　 B．y＋1＝0

C．(e2－1)x－y＋e2－2＝0  　 D.2x＋y＋3＝0

解析：选D　因为f(x)为偶函数，设x<0，则－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)－e1＋x，所以f(－1)＝－1.因为当x<0时，f′(x)＝－e1＋x，所以f′(－1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y＋1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋3＝0.

6．若函数f(x)＝aln x(a∈R)与函数g(x)＝在公共点处有共同的切线，则实数a的值为(　 )

A．4  B．  C.  D.e

解析：选C　由已知得f′(x)＝，g′(x)＝，设切点横坐标为t，则解得t＝e2，a＝.

7．已知a，b为正实数，直线y＝x－a与曲线y＝ln(x＋b)相切，则＋的最小值为(　 )

A．2  B．4  C．5  D.6

解析：选B　设切点为(x0，y0)，由y＝ln(x＋b)，得y′＝，因为直线y＝x－a与曲线y＝ln(x＋b)相切于点(x0，y0)，所以解得所以a＋b＝1，因为a，b为正实数，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为4.

8．(多选)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列结论正确的是(　 )

A．f′(1)＝－5

B．在x＝2处的切线平行或重合于x轴

C．切线斜率的最小值为1

D．f′(4)＝12

解析：选AB　由题意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4)，对于A，f′(1)＝－5，A正确；对于B，当x＝2时，f′(2)＝0，故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，B正确；对于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值为－9，故C错误；对于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D错误．

9．已知f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线条数为(　 )

A．0  B．1  C．2  D.3

解析：选C　根据题意，设直线l与f(x)相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1，对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则k2＝，则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，即y＝x＋ln n，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1或y＝x，切线有两条．

10．已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－5－2ln 2＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　 )

A.  B．  C.  D.

解析：选C　由ln x1－x1－y1＋2＝0，则点A(x1，y1)在函数y＝ln x－x＋2上，x2＋2y2－5－2ln 2＝0，则点B(x2，y2)在函数y＝－x＋＋ln 2上， 则(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示A，B两点的距离的平方，要求(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值，即求|AB|的最小值．当过A点的切线与直线y＝－x＋＋ln 2平行时，点A到直线y＝－x＋＋ln 2的距离即为|AB|的最小值，由y＝ln x－x＋2可得y′＝－1，所以y′|x＝x1＝－1＝－，解得x1＝2，所以y1＝ln 2－2＋2＝ln 2，即A(2，ln 2)，所以A(2，ln 2)到x＋2y－5－2ln 2＝0的距离d＝＝，即|AB|min＝，所以(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(|AB|min)2＝.

11．写出过点(2,1)与曲线y＝x3＋1相切的一条直线的方程____________．

解析：设切点为(x0，x＋1)，因为y′|x＝x0＝3x，所以切线方程为y－(x＋1)＝3x(x－x0)，将点(2,1)代入得2x－6x＝0，解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝1；当x0＝3时，切线方程为27x－y－53＝0.

答案：y＝1或27x－y－53＝0(写出其中一条即可)

12．(2023·湖南雅礼中学模拟)设函数f(x)＝mex－ln x，参数m>0，过点(0,1)作曲线C：y＝f(x)的切线(斜率存在)，则切线斜率为________．

答案：me－1

13．(2023·威海模拟)已知曲线C1：y＝ex＋x，C2：y＝－x2＋2x＋a(a>0)，若有且只有一条直线同时与C1，C2都相切，则a＝______.

答案：1