2024年新高考数学一轮复习 第二章 第二节 第三课时　函数性质的综合应用(一)

课时跟踪检测(九) 函数性质的综合应用(一)

1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(　 )

A．y＝－  B．y＝x－sin x

C．y＝tan x  D.y＝x3－x

解析：选B　y＝－是奇函数，但整个定义域内不是增函数，故A错误；y＝x－sin x，因为y′＝1－cos x≥0，x∈R，所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确；y＝tan x在定义域上是奇函数不是单调函数，故C错误；y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误．

2．(多选)(2023·潍坊模拟)已知定义域为I的偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且∃x0∈I，使f(x0)<0.则下列函数中符合上述条件的是(　 )

A．f(x)＝x2－3  B．f(x)＝2x＋2－x

C．f(x)＝log2|x|  D.f(x)＝cos x＋1

解析：选AC　对于A，f(x)＝x2－3，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－3＝x2－3＝f(x)，所以，f(x)为偶函数，又f(1)＝－2<0，故A符合；对于B，f(x)＝2x＋2－x>0恒成立，故B不符合；对于C，f(x)＝log2|x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，所以，f(x)为偶函数，又f＝－1<0，故C符合；对于D，因为－1≤cos x≤1，所以f(x)＝cos x＋1≥0恒成立，故D不符合．

3．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2＋2x，则f(15)＝(　 )

A．3  B．－3

C．255  D.－255

解析：选B　由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，故f(15)＝f(－1)＝－f(1)＝－3，故选B.

4．(2022·北京丰台二模)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是(　 )

A.  B．∪(1，＋∞)

C.  D.∪(10，＋∞)

解析：选C　偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递增.则f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1，即－1<lg x<1，即lg<lg x<lg 10，解得<x<10，即原不等式的解集为.

5．定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则f(－2)，f(2.7)，f(－3)的大小关系为(　 )

A．f(2.7)<f(－3)<f(－2)

B．f(－2)<f(2.7)<f(－3)

C．f(－3)<f(－2)<f(2.7)

D．f(－3)<f(2.7)<f(－2)

解析：选D　因为对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，所以当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)，因为2<2.7<3，所以f(2)>f(2.7)>f(3)，即f(－2)>f(2.7)>f(－3)．

6．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　 )

A．[－1,1]∪[3，＋∞)  B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞)  D.[－1,0]∪[1,3]

解析：选D　由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.

当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；

当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，

∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；

当x＝0时，显然符合题意．

综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D.

7．(2023·蚌埠一模)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，若f(0)＝3，则f(2 022)＋f(2 023)＝(　 )

A．0  B．－3  C．3  D.6

解析：选B　根据题意，函数f(x) 满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，则f(－x)＋f(2＋x)＝0.又由f(x)为偶函数，则有f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，在f(1－x)＋f(1＋x)＝0中，令x＝0可得f(1)＝0，f(2 022)＝f(2)＝－f(0)＝－3，f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝0，所以f(2 022)＋f(2 023)＝－3，故选B.

8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则(　 )

A．f(6)<f(－7)<f

B．f(6)<f<f(－7)

C．f(－7)<f<f(6)

D．f<f(－7)<f(6)

解析：选B　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，又当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0，f＝f＝－f＝f＝－1，f(－7)＝f(1)＝1，∴f(6)<f<f(－7)．

9．(2022·绵阳二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　 )

A．f(－1)<f(－20.1)<f(log25)

B．f(log25)<f(－1)<f(－20.1)

C．f(log25)<f(－20.1)<f(－1)

D．f(－20.1)<f(－1)<f(log25)

解析：选C　因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－20.1)＝f(20.1)，又1<20.1<2<log25，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(1)>f(20.1)>f(log25)，即f(log25)<f(－20.1)<f(－1)．

10．(2022·聊城二模)已知f(x)为R上的奇函数，f(2)＝2，若对∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1>x2时，都有(x1－x2)<0，则不等式(x＋1)f(x＋1)>4的解集为(　 )

A．(－3,1)

B．(－3，－1)∪(－1,1)

C．(－∞，－1)∪(－1,1)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

解析：选B　由(x1－x2)<0，得(x1－x2)<0，因为x1－x2>0，x1x2>0，所以x1f(x1)－x2f(x2)<0，即x1f(x1)<x2f(x2)，设g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)上单调递减，而g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝2f(2)＝g(2)，则0<x＋1<2，解得－1<x<1；因为f(x)为R上的奇函数，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝g(－2)，则－2<x＋1<0，解得－3<x<－1；综上，原不等式的解集为(－3，－1)∪(－1,1)．

11．(2022·鹰潭二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝2，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝(　 )

A．－2  B．4  C．－4  D.6

解析：选C　因为f(x)是定义在R上的奇函数，又f为偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0且f＝f，则f＝f，即－f(x)＝f(x＋3)，所以f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，即f(x)是以6为周期的周期函数，由f(1)＝2，f(4)＝－f(1)＝－2，所以f(2 020)＝f(6×336＋4)＝f(4)＝－2，f(2 021)＝f(6×337－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(2 022)＝f(6×337＋0)＝f(0)＝0，所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝－4.故选C.

12．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是__________．

解析：设x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，设x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．综上可得，函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．

答案：f(x)＝log2(3－x)

13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈(0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 019)＋f(2 021)的值为______．

解析：当x≥0时，f(x＋4)＝－＝f(x)，即f(x)是以4为周期夫人周期函数，又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－2 019)＝f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝－＝－1，f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝1，因此，f(－2 019)＋f(2 021)＝0.

答案：0

14．(2022·景德镇三模)周期为4的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x∈[0,2]时f(x)＝x3－1，则不等式f(x)≤0在[－2,2]上的解集为______；

解析：∵f(x)周期是4，则f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，x∈[0,2]时，f(x)＝x3－1是增函数，且f(1)＝0，不等式f(x)≤0化为f(|x|)≤f(1)，所以|x|≤1，即－1≤x≤1.

答案：[－1,1]

15．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－2)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，且f(0)－f(6)＝4，则f(2 034)＝________.

解析：因为f(x－2)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(－x－2)＝－f(x－2)，f(1－x)＝f(1＋x)，即f(－x－4)＝－f(x)，f(2－x)＝f(x)，所以f(－x－4)＝－f(2－x)，f[－(－x＋2)－4]＝－f[2－(－x＋2)]，即f(x－6)＝－f(x)，故f(x＋6)＝－f(x)，所以f(x＋12)＝f(x)，即周期为12；令x＝0，由f(x＋6)＝－f(x)得f(6)＝－f(0)，又f(0)－f(6)＝4，得f(6)＝－2，所以f(2 034)＝f(169×12＋6)＝f(6)＝－2.

答案：－2