备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题39 等差数列、等比数列基本量

专题39 等差数列、等比数列基本量  

【知识点总结】

一、基本概念

1、数列

(1)定义.

按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.

(2)数列与函数的关系.

从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.

2、等差数列

(1)定义.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.

(2)等差数列的通项公式.

若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().

(3)等差中项.

若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.

(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.

3、等比数列

(1)定义.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.

(2)等比数列的通项公式.

等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.

(3).

(4)等比中项

如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).

(5)等比数列的前项和

二、基本性质

1、等差数列的性质

(1)等差中项的推广.

当时,则有,特别地,当时,则有.

(2)等差数列线性组合.

①设是等差数列,则也是等差数列.

②设是等差数列,则也是等差数列.

(3)等差数列的单调性及前项和的最值.

公差为递增等差数列,有最小值;

公差为递减等差数列,有最大值;

公差为常数列.

特别地

若,则有最大值(所有正项或非负项之和);

若,则有最小值(所有负项或非正项之和).

(4)其他衍生等差数列.

若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.

2、等比数列的性质

(1)等比中项的推广.

若时,则,特别地,当时,.

(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.

②设与为等比数列,则也为等比数列.

(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).

当或时,为递增数列;

当或时,为递减数列.

(4)其他衍生等比数列.

若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).

3、等差数列与等比数列的转化

(1)若为正项等比数列,则为等差数列.

(2)若为等差数列,则为等比数列.

(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.

【典型例题】

例1．（2023·内蒙古包头·一模）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（    ）

A．2 B． C．4 D．

例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．33 B．66 C．22 D．44

例3．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

例4．（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（    ）

A．7里 B．8里 C．9里 D．10里

例5．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列的通项公式为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

例6．（2023·青海西宁·统考一模）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B．5 C． D．

例7．（2023·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（    ）

A． B． C． D．

例8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知等比数列中，，，成等差数列，则（    ）

A．或 B．4 C． D．

例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

例10．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，则Sn＝________.

例11．（2023·广东湛江·统考一模）已知为等差数列的前项和，若，则______．

例12．（2023·陕西商洛·统考一模）公比的等比数列满足，，则__________．

例13．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．

例14．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）记为等比数列的前项和，若则______．

例15．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列是等比数列，且，则__________．

例16．（2023·全国·高三专题练习）求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.

例17．（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.求和的通项公式.

例18．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，

(1)求的通项公式；

(2)记，若数列的前项和.

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（    ）

A．2042 B．2062 C．2082 D．2092

2．（2023·河北邯郸·统考一模）在等差数列中，“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知等差数列满足，，则的公差为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（    ）

A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺

5．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在等差数列中，若，，则（    ）

A．16 B．18 C．20 D．22

6．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（    ）

A．84 B．144 C．288 D．110

7．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）在递增等比数列中，，且是和的等差中项，则（    ）

A．256 B．512 C．1024 D．2048

8．（2023·河北石家庄·统考一模）已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．（2023·江西赣州·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（    ）

A． B． C． D．

10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和，若，则（      ）

A．150 B．160 C．170 D．与和公差有关

11．（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（    ）

A．224里 B．214里 C．112里 D．107里

12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

13．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．5 C． D．

14．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（    ）

A．96 B． C．72 D．

15．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（    ）

A．81 B．63 C．41 D．32

16．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知等比数列的前三项和84，，则（    ）

A．3 B．6 C．12 D．24

17．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（    ）

A．17 B．19 C．21 D．23

18．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

19．（2023·全国·模拟预测）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（    ）

A． B．当时，

C． D．

20．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）等比数列的公比为，前项和为，且，以下结论正确的是（    ）

A．是等比数列

B．数列，，成等比数列

C．若，则是递增数列

D．若，则是递增数列

21．（2023·全国·高三专题练习）若数列是等比数列，则（    ）

A．数列是等比数列 B．数列是等比数列

C．数列是等比数列 D．数列是等比数列

22．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ）

A．是递增数列 B．是数列中的项

C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列

23．（2023·全国·高三专题练习）记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（    ）

A．数列是等差数列 B．数列是递减数列

C． D．当 时，取得最大值

24．（2023·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（    ）

A．d＝2 B．

C． D．的前n项和为

三、填空题

25．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则________．

26．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）在数列中，，，则______．

27．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S3=4，S6=12，则S9=______.

28．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）记等差数列的前n项和为，已知，，则的通项公式为______.

29．（2023春·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）设等比数列的公比，前项和为，则______.

30．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列为等差数列．为等比数列，且成等差数列．则___________．

31．（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满足条件的的通项公式可以是_________（写出一个即可）.

32．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）记为等比数列的前项和.，，则______.

33．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）公比的等比数列的前n项和为，且，，则______．

34．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）若等比数列的各项均为正数，且，则__________.

35．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________

36．（2023·高三课时练习）若等比数列的前n项和，则常数k的值为______．

四、解答题

37．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差d不为0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比数列，求数列{an}的通项公式.

38．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．

39．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知正项等比数列的前n项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前n项和的值．

40．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，

(1)求数列，的通项公式；

(2)数列与中的所有项分别构成集合，，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和

41．（2023·四川·校联考一模）已知等差数列与正项等比数列满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小．

42．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前2n项和.

43．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列的前项和为，，数列为等比数列，其中，，.

(1)求，的通项公式；

(2)若，求的前项和.

44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项的和为且满足，数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列.求出数列，的通项公式；