2023年山东省潍坊市潍城区、寒亭区、坊子区、奎文区中考一模数学试题 (1)

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2023年初中学业水平模拟考试（一）数学试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共6小题，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来）
1. 的相反数等于（　　）
A. B. 2023 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行计算即可．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堵”，图②“堑堵”的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的左视图是从左面所看到的图形进行判断即可得出答案．
【详解】解：图②“堑堵”的左视图如图所示：

故选：A．
【点睛】本题主要考查几何体的左视图，理解左视图的概念是解答的关键．
3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，以原点为圆心，以为半径画圆，交数轴于另一点（对应的实数为），下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴点位置确定的大小，进而得到正确选项．
【详解】解：由数轴可知：，，
∴，
故错误；
由数轴可知：，，
∴，
故错误；
由数轴可知：，，，
∴，
故正确；
由数轴可知：，，，
∴，
∴
故错误．
故选：．
【点睛】本题考查了数轴上的点表示的实数，绝对值的性质，确定点与原点的位置关系是解题的关键．
4. 如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求得、、的坐标，画出图形，根据求线段中点的坐标公式，即可求得．
【详解】解：、、，将向左平移4个单位，得到，
、、，
如图：

以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，
的坐标为，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了平移和位似作图，熟练掌握和运用平移和位似作图的方法是解决本题的关键．
5. 已知一次函数的图象如图所示，则与的图象在同一坐标系中正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，，从而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比函数的图象位于第一、三象限内．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
6. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】解：∵AB为底面直径，
∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，
故选： C．
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
二、多项选择题（共4小题，每小题的四个选项中，有多项正确）
7. 下列命题中，原命题为真命题而逆命题为假命题的是（ ）
A. 若，则 B. 对顶角相等
C. 若a为无理数，则为无理数 D. 等弧所对的圆周角相等
【答案】BD
【解析】
【分析】逐项判断各命题或其逆命题的真假即可作答．
【详解】A. 若，则，故原命题为假命题，此项不符合题意；
B. 对顶角相等，原命题为真命题；相等的角不一定是对顶角，即逆命题是假命题，此项符合题意；
C. 若a为无理数，则不一定为无理数，故原命题为假命题，此项不符合题意；
D. 等弧所对的圆周角相等，原命题为真命题；圆周角相等，其所对的弧相等，此命题只有在同圆或者等圆中成立，故逆命题是假命题，此项符合题意，
故选：BD．
【点睛】本题主要考查了命题与逆命题，圆周角定理等知识，正确得出命题的逆命题，并判断出其真假，是解答本题的关键．
8. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应函数关系如图所示，则下列说法中，正确的是（ ）

A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于
D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【详解】解：由图象可知，A、B、C都正确；
当温度为时，甲、乙的溶解度都为，故D错误．
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
9. 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x
…



0
1
…
y
…

2
2


…
则下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴是 B. 当时，y随x的增大而增大
C. 抛物线与坐标轴有3个交点 D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】BC
【解析】
【分析】根据表格抛物线过点，可知抛物线对称轴为，再根据二次函数图象与性质即可解答
【详解】
根据表格可画出图象如上图
∵抛物线过点
∴抛物线对称轴为，选项A错误；
根据表格可知抛物线开口向下
∴当时，y随x的增大而增大，故选项B正确；
当时，y随x的增大而减小，故选项D错误；
由图象可知抛物线与坐标轴有3个交点，故选项C正确；
故选BC．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
10. 如图，、为的直径，且．然后用尺规按如下步骤作图：①作的垂直平分线，交于点E；②以点E为圆心，为半径画弧，交于点F；③以点C为圆心，为半径画弧，交于点P，M；④分别以点P、M为圆心，为半径画弧，交于点H、N．顺次连接C、M、N、H、P，可得正五边形，则下列结论正确的有（ ）

A. B.
C. D. 为等边三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】设则，利用勾股定理，计算，根据正切的定义，等边三角形的判定，正五边形的性质，垂直平分线，垂径定理计算判断即可．
【详解】设则，
∴，，
∵，
∴，
故B正确，符合题意；
∵，，
∴直线不是线段的垂直平分线，
∴，
∴不是等边三角形，
故D错误，不符合题意；
如图，连接，

∵正五边形，，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故A正确，符合题意；
∵无法计算，
故D错误，不符合题意；
故选A、B．
【点睛】本题考查了基本作图，正切定义，等边三角形的判定，正五边形的性质，垂直平分线，垂径定理，勾股定理，熟练掌握正五边形的性质，垂直平分线，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，只填写最后结果）
11. 因式分解__________．
【答案】
【解析】
【分析】先观察该式可提（a-b），然后在利用平方差公式即可求出.
【详解】x2（a-b）+4（b-a）= x2（a-b）-4（a-b）=（a-b）(x2-4)=(a-b)(x+2)(x-2)
【点睛】本题利用提公因式法和公式法进行因式分解，学生们熟练掌握因式分解的方法即可.
12. 某饭店为吸引顾客，推出了“掷骰子得折扣”的活动，顾客同时投掷两颗骰子，然后按照所得点数情况决定最后的折扣，规则如图所示，一位顾客投掷两颗骰子后，得到七五折扣的概率为______．

【答案】
【解析】
【分析】首先可求得所得点数总的情况，再求得得到七五折扣的情况，据此即可求解．
【详解】解：同时投掷两颗骰子，共有种等可能的结果，其中得到两颗骰子上的点数相同的共有6种情况，
一位顾客投掷两颗骰子后，得到七五折扣的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用概率公式求概率，熟练掌握和运用利用概率公式求概率的方法是解决本题的关键．
13. 图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是__________．

【答案】60
【解析】
【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数．
【详解】如图，∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°，
∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
故答案为：60．

【点睛】本题考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，解题关键是理解题意，求出∠BAD的度数．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，连接，以为边向上作等边三角形，则线段所在直线的函数表达式为______．

【答案】
【解析】
【分析】过点B作轴于H，根据点A、B的坐标，得出，，进而得出，再根据勾股定理，得出，再根据正弦的定义，得出，再根据等边三角形的性质，得出，再结合角之间的数量关系，得出轴，再根据的长，得出点的纵坐标，进而得出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，过点B作轴于H，

∵点A，B的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴轴，
∴点的纵坐标为2，
∴点C的坐标为，
设线段所在直线的函数表达式为，
把,代入解析式，
可得：，
解得：，
∴线段所在直线的函数表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、等边三角形的性质、锐角三角函数、待定系数法求一次函数表达式，解本题的关键是正确得出点的坐标．
四、解答题（本题共8小题，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：；
（2）解不等式组，把解集表示在数轴上，写出所有整数解．
【答案】（1）；（2），整数解为：，，，，
【解析】
【分析】（1）根据零次幂，锐角三角函数和绝对值的意义分别计算即可；
（2）分别解出这两个不等式的解集，在数轴上分别表示出来，找出各个解集的公共部分的所有整数解．
【详解】（1）



（2）
解不等式①，得
．
解不等式②，得
．
在数轴上表示出不等式①和②的解集

所以原不等式组的解集为．
整数解为：－1，0，1，2，3．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解不等式组，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键．
16. 如图，在正方形中，点P是对角线上一动点，，，垂足分别为点M，N，连接并延长，交于点E．

小亮说：点P在运动过程中，与的数量关系为；
小莹说：点P在运动过程中，与的位置关系为．
小亮和小莹两人的发现，______是对的（填“小亮”“小莹”“两人都”），并说明你的理由．
【答案】两人都对，理由见解析
【解析】
【分析】方法一：延长，交于点F，则四边形为正方形，根据正方形的性质可得，，证明四边形是矩形，证明，得到即可得出结论；方法二：连接交于点O，连接，根据正方形的性质证明四边形是矩形，再利用垂直平分线的性质得到，再利用矩形的性质和平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：两人都对；
法一：延长，交于点F，则四边形为正方形，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四边形矩形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
法二：两人都对；
连接交于点O，连接，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及平行线的性质，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．
17. 图①是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩的高度进行了测量，图②是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离为100米，该小组沿坡度的斜坡行走52米至坡顶平台的点D处，再沿平台行走52米到达点E处，在E处测得桥墩顶端点A的仰角为．

（1）求平台到水平面的垂直距离；
（2）求桥墩的高度（参考数据：，，）．
【答案】（1）20米 （2）88米
【解析】
【分析】（1）作，垂足为H，根据坡度比，设，则，由勾股定理得：，根据求出x的值，即可得出答案；
（2）延长交于点G，则，证明四边形为矩形，得出，米，求出米，根据三角函数求出米，即可得出答案．
【小问1详解】
解：作，垂足为H，如图所示：

∵，
∴，
设，则，
则由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴（米），（米），
∴平台到水平面的垂直距离为20米．
【小问2详解】
解：如图，延长交于点G，则，
∵，
∴四边形为矩形．
∴，米，
∴（米），
∵，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴桥墩的高度为88米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义．
18. 【调查统计】为了解九年级学生的课业负担，甲，乙两所学校分别随机抽取了200名九年级学生，了解他们完成作业所需的时间，并做出了两校学生完成作业时间的频数分布表和甲校学生完成作业时间的频数分布直方图如下：
学生完成作业时间频数分布表
完成作业所需时间（x/小时）
甲校频数（人）
乙校频数（人）

18
24

32
40

48
76
2≤x<25
86
40
2.5≤x<3
16
20

（1）【数据分析】请在图中做出乙校学生完成作业时间的频数分布直方图，并比较甲校所得数据的中位数m与乙校所得数据的中位数n的大小．

（2）计算学生作业完成时间平均值时，可以将各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，则甲校学生作业完成时间的平均值计算如下：，类比以上计算过程，求乙校学生作业完成时间的平均值．
（3）【统计应用】有关部门调取了这400名学生在上学期期末统一测试时总成绩，统计的情况如表：

平均分
方差
中位数
众数
最高分
最低分
甲学校
401.8
156.2
373
335
682
23
乙学校
408.8
154.5
373
346
682
35
小亮说：“学生作业越多，学生成绩会越好”．你认为小亮说的对吗？请结合以上数据，至少说出两条理由．
【答案】（1）见解析，
（2）
（3）这种说法不对，见解析
【解析】
【分析】（1）根据乙校学生完成作业时间的频数，即可绘出相应的频数分布直方图，再根据中位数的定义求解即可；
（2）根据求加权平均数的方法即可求解；
（3）根据平均成绩和方差判断即可.
【小问1详解】
解：如图所示：

因为，甲校所得数据的中位数m满足，
乙校所得数据的中位数n满足，所以，．
【小问2详解】
解：，
则（时）；
【小问3详解】
解：这种说法不对．因为从两所学校的平均成绩来看，乙校学生的平均成绩高，而且乙校学生的方差小，学生成绩两极分化小，但其学生作业的完成平均时间比甲校短．
【点睛】本题考查频数分布直方图、加权平均数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19. 某服装销售商用元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的倍，每件的进价多了元．
（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？
【答案】（1）第一次购进了这种服装件，每件进价元
（2）销售价定为元/件
【解析】
【分析】（1）设每件进价元，根据题意，列出方程，解出方程，即可；
（2）设销售价为元/件，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【小问1详解】
设每件进价元
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∵，
∴第一次购金了这种服装件，
答：第一次购进了这种服装件，每件进价元．
【小问2详解】
设销售价为元/件，
∴每天销售量为，
∴，
整理得：，
解得：，（舍），
∴．
∴销售价定为元/件．
【点睛】本题考查一元二次方程和分式方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程和分式方程的应用．
20. 如图，在水平地面上放置了一个和矩形，与地面相切于点E，，，矩形的宽，长．将矩形绕点A逆时针旋转一定角度，得到矩形．

（1）旋转过程中，当点，，D三点共线时，如图①，求证：直线与⊙相切；
（2）旋转过程中，当边落在上时，如图②，求矩形扫过的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点F，连接，由旋转和矩形的性质可得∴，，，解直角三角形得到，则，进一步求出，由切线的性质得到，再解直角三角形求出，进而证明平分，则，即可证明直线与相切；
（2）连接，，根据进行求解即可．
【小问1详解】
证明：作，垂足为点F，连接．

∵四边形是矩形，将矩形绕点A逆时针旋转一定角度，得到矩形，
∴，，，
∵，，D共线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵与相切与E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴
∴直线与相切；
【小问2详解】
解：连接，

在中，，
∵在OA上，由（1）知，
∴此时旋转角，
∵矩形扫过的区域为，和扇形，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线的性质与判定，解直角三角形，求图形扫过的面积，旋转的性质，勾股定理，角平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
21. 如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米．

（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
【答案】（1）6米 （2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得；
（2）法一：根据对称性求出平移方式，再根据平移方式即可求出点的坐标；法二：先根据二次函数平移的特点求出下边缘的解析式，进而求出B的坐标即可；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可．
【小问1详解】
解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
【小问2详解】
法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴将点C向左平移得到点B的坐标为
法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，
∴可设，
将点代入得，（舍去）
∴下边缘抛物线的关系式为，
∴当时，，
解得，（舍去），
∴点B的坐标为；
【小问3详解】
解：如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为．
当抛物线恰好经过点时，．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
22. 【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题．

（1）【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表．


C
D
E
F
边上的点数x
4
8
8
9
多边形面积S
2
4
4

请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______．
（2）当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中．


图1
图2
边上的点数x


多边形面积S


归纳S与x之间的关系式为：______．
（3）【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积．
（4）【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形．

【答案】（1）4.5，
（2）图见解析，表格见解析，
（3），
（4），图见解析
【解析】
【分析】（1）由表格的特殊情况找出规律即可得出结论；
（2）先按要求画出图形，再由特殊情况找出规律即可得出结论；
（3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形A的面积即可；
（4）先根据格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，列出方程求出x与y的值，再设计符合条件且具有轴对称特点的格点多边形即可．
【小问1详解】
观察表格，当时，；
当时，；
∴多边形的面积＝边上的点数的一半，即，
∴当时，，
故答案是：4.5，；
【小问2详解】
（答案不唯一）

图1
图2
边上的点数x
6
7
多边形面积S
4
4.5
观察表格，当时，；
当时，；
∴多边形的面积＝边上的点数的一半加上1，即，
故答案是：6，7，4，4.5（答案不唯一）；
【小问3详解】
设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，则格点多边形的面积为，
∵A图形中，，，
∴，
即A图形中的面积为11.5；
【小问4详解】
由题意，得，
解之得．
设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形如图所示，
（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查图形规律和应用，一元二次方程组的解法，解题的关键是观察图形，由特殊情况总结规律，并能灵活应用规律解决问题．