专题06勾股定理七大模型-2022-2023学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

专题06勾股定理七大模型

一、    直角三角形锐角平分线

二、    图形翻折问题

三、    赵爽弦图

四、    风吹树折

五、    风吹荷花模型

六、    蚂蚁爬行

七、    重美四边形

一、    直角三角形锐角平分线

运用句股定理计算是中考必考知识点，如何巧妙地构造直角三角形是关键.有些难题，同学们找到了直角三角形，但是还是不会求解，关键一点就是忽略了设未知数列方程来求解.

二、    图形翻折问题

矩形的折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解.

三、    赵爽弦图

“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.

四、    风吹树折

风吹树折类题就数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型.

五、    风吹荷花模型

风吹荷花类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，正确设出未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字如何转化成数学模型。

六、    蚂蚁爬行

蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更高效.

七、    垂美四边形

对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大量的时间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形

一、    直角三角形锐角平分线

一．选择题（共1小题）

1．（2021春•德保县期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm，将斜边AB翻折使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．

二．填空题（共2小题）

2．（2021秋•鹿城区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边的高线，则BD的长为 　　．

3．（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是　　           ．

三．解答题（共5小题）

4．（2021春•蒙阴县期中）小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AB上，且C点与E点重合，小宇经过测量得知两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，他想用所学知识求出CD的长，你能帮他吗？

5．（2020秋•临漳县期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AD为折痕，求DB′的长．

二、    图形翻折问题

一．选择题（共4小题）

1．（2022春•金坛区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（　　）

A． B． C． D．3

2．（2022春•宁波期中）如图，将平行四边形ABCD沿对边上两点连线EF对折，使点A恰好落在点C处，若∠ABC＝120°，AD＝4，AB＝8，则AE的长为（　　）

A．4.6 B．4 C．5.6 D．5

3．（2022春•思明区校级期中）如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（　　）

A．3 B．2.5 C．2 D．1

4．（2022春•如皋市期中）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝1，则AD的长为（　　）

A．1+ B．2+ C．2 D．4

二．填空题（共3小题）

5．（2022春•禹州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FCDE，当点G恰好落在线段AC上时，CG＝2，则AE＝　　．

6．（2022春•思明区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为 　　．

三．解答题（共4小题）

7．（2022春•西华县期中）如图，一张矩形硬片ABCD宽AB＝6，长AD＝10，E是CD边上一点，现将矩形硬片沿BE折叠，点C的对应点F刚好落在AD边上的点F处，过点F作FG⊥AD于点F，交BE于点G，连接CG．

（1）判断四边形CEFG的形状，并给出证明；

（2）求四边形CEFG的面积．

8．（2022春•上杭县期中）如图将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E，压平后得到折痕MN，当．

（1）求NE的长；

（2）连AN、AE，NG⊥AE，垂足为G，求GN的长；

（3）直接写出AM的长度．

9．（2022春•靖江市期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'与直线CD交于点M．

（1）求证：AM＝MF；

（2）当点E是边BC的中点时，求CM的长；

（3）当CF＝4时，求CM的长．

10．（2022春•海陵区期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．

（1）若P为BC上一点．

①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长；

②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；

（2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．

三、    赵爽弦图

一．选择题（共4小题）

1．（2021春•丰南区期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　）

A．14 B．16 C．14 D．14

二．解答题（共3小题）

2．（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．

3．（2021秋•凤翔县期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题

（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．

（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．

四、    风吹树折

二．填空题（1小题）

1．（2022春•抚顺期中）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 　　米．

五、    风吹荷花模型

1．（2022春•五华区校级期中）印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：

“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅”

请用学过的数学知识回答这个问题．

六、    蚂蚁爬行

一．选择题（共1小题）

1．（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　）

A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm

七、    重美四边形

一．选择题（共1小题）

1．（2022春•万秀区校级期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝4，SB＝SC＝2，SD＝1，则下列结论错误的是（　　）

A．SE＝6 B．SF＝3 C．SM＝3SF D．SM＝4SC

二．解答题（共6小题）

2．（2022春•鼓楼区校级期中）四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．

（1）求证：AC⊥CD；

（2）求四边形ABCD的面积．

3．（2022春•海珠区校级期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．

问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则

②     求证：△AGB≌△ACE

②GE＝　         ．