2024届高考数学复习第一轮讲练测专题9.1 直线与直线方程 教师版

专题9.1   直线与直线方程

1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的(    )

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C

2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点在直线上，是坐标原点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

原点到直线的距离为.故选C.

3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线，则直线（    ）．

A．过点 B．斜率为

C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1

【答案】BC

【分析】

根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解

【详解】

点的坐标不满足方程，故A错误；

根据斜截式的定义，直线的斜率，则其倾斜角为60°，故B，C正确；

由，知直线在轴上的截距为，故D错误．

故选：BC

4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ）．

A．直线的斜率可以等于0

B．若直线与轴的夹角为30°，则或

C．直线恒过点

D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或

【答案】BD

【分析】

讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为判断直线过定点，判断C的正误.

【详解】

当时，直线，斜率不存在，

当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；

∵直线与轴的夹角角为30°，

∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，

∴或，∴或，故B选项正确；

直线的方程可化为，所以直线过定点，故C选项错误；

当时，直线，在轴上的截距不存在，

当时，令，得，令，得，

令，得，故D选项正确．

故选：BD．

5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线的方程为，则下列判断正确的是（    ）．

A．若，则直线的斜率小于0

B．若，，则直线的倾斜角为90°

C．直线可能经过坐标原点

D．若，，则直线的倾斜角为0°

【答案】ABD

【分析】

根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

对于A选项，若，则直线的斜率，A正确；

对于B选项，若，，则直线的方程为，其倾斜角为90°，B正确；

对于C选项，将代入中，显然不成立，C错误；

对于D选项，若，，则直线的方程为，其倾斜角为0°，D正确．

故选：ABD．

6．（2021·全国高二课时练习）直线的斜率为______，在轴上的截距为______.

【答案】       

【分析】

将直线转化为斜截式即可得出斜率，令可求出在轴上的截距.

【详解】

由，可得，故该直线的斜率.

令，得，所以该直线在轴上的截距为.

故答案为：；.

7．（2021·全国）已知直线，将直线绕点按逆时针方向旋转后，所得直线的方程为_______，将直线绕点按顺时针方向旋转45°后，所得直线的方程为_______．

【答案】       

【分析】

根据斜率和倾斜角的关系得出直线和直线的斜率再求解其直线方程即可.

【详解】

易知直线的斜率为，倾斜角为，所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

又因为直线和直线都经过点，

所以直线和直线的方程分别为，．

故答案为：；

8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线：和：，且，则实数__________，两直线与之间的距离为__________．

【答案】-4；    2   

【分析】

根据两直线平行斜率相等求解参数即可；

运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.

【详解】

解：直线和，，
，解得；
∴
两直线与间的距离是：　.
故答案为：；2.

9.（2020·浙江开学考试）已知直线的方程为，直线的方程为，则直线的斜率为___________，直线与的距离为___________.

【答案】       

【解析】

直线的方程为即为，斜率为.

因为直线的方程为即为，

所以直线与平行，则直线与的距离为.

故答案为：；

10．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A（1，0），B（﹣1，2），直线l：2x﹣ay﹣a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则实数a的取值范围是 ___________．

【答案】

【分析】

计算线段AB的距离，得到点P的轨迹，将点A，B分别代入2x﹣ay﹣a＝0，得到，根据题意得到直线所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC的斜率，根结合直线l与线段AB始终有交点计算出的取值范围.

【详解】

因为，且，

由图可知，点P的轨迹为线段AB，

将点A，B的坐标分别代入直线l的方程，可得a＝2，a＝，

由直线l的方程可化为：2x﹣a（y+1）＝0，所以直线l过定点C（0，﹣1），

画出图形，如图所示：

因为直线AC的斜率为kAC＝1，直线BC的斜率为kBC＝＝﹣3，

所以直线l的斜率为k＝，令，解得≤a≤2，

所以a的取值范围是[，2]．

故答案为：[，2]．

1.（2021·绥德中学高一月考）已知，，直线恒过点(，1)，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．16 D．18

【答案】B

【分析】

利用给定条件可得，再借助“1”的妙用即可计算得解.

【详解】

因直线恒过点(，1)，则有，即，

又，，则，当且仅当，即时取“=”，

由得，

所以当时，取得最小值9.

故选：B

2．（2019·四川高考模拟（文））已知点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】D

【解析】

因为动直线，所以该直线过定点Q（1,3），

所以动点M在以PQ为直径的圆上，所以圆的半径为

圆心的坐标为，所以点N到圆心的距离为，

所以的最小值为.故答案为：D

3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为(    )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

，

，

则

直线方程为：，即

故选

4．（四川高考真题（文））设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则

.因为，所以.所以，.选B.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.

5.（2020·浙江）已知点，直线l过点M且与直线平行，则直线l的方程为____________；点M关于直线的对称点的坐标为_______________.

【答案】       

【分析】

根据所求直线与直线平行，设方程为求解；设点M关于直线的对称点的坐标为，由求解.

【详解】

因为所求直线与直线平行，

所以设方程为，

因为直线过点，

代入直线方程解得，

所以所求直线方程为：；

设点M关于直线的对称点的坐标为，

则，解得，

所以点M关于直线的对称点的坐标为

故答案为：，

6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点.

（1）若点到直线的距离为4，求直线的方程；

（2）求面积的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意可设直线的方程为，即，

则，解得.

故直线的方程为，即.

（2）因为直线的方程为，所以，，

则的面积为.

由题意可知，则（当且仅当时，等号成立）.

故面积的最小值为.

7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．

(1)    求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；

(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．

【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2) 3x+4y+10＝0或x＝﹣2.

【分析】

(1)由对称关系求直线l3的方程，联立l2与l3的方程，求点P的坐标，(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m的方程，再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足要求.

【详解】

(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，

从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，

∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，

由解得

∴P（﹣2，﹣1）．

(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1＝k（x+2），

即kx﹣y+2k﹣1＝0，

∴原点O（0，0）到直线m距离为，解得，

∴直线m方程为3x+4y+10＝0，

当直线m的斜率不存在时，直线x＝﹣2满足题意，

综上直线m的方程为3x+4y+10＝0或x＝﹣2．

8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点，在反比例函数的图象上，经过点A､B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D.

（1）若，求n的值；

（2）求的值；

（3）连接OA､OB，若，求直线AB的函数关系式.

【答案】

【分析】

（1）先把A点坐标代入求出k的值得到反比例函数解析式为，然后把代可求出n的值；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m＝k，﹣4n＝k，然后把两式相减消去k即可得到m+n的值；

（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE，，则，加上，于是可解得，从而得到，，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．

【详解】

（1）当m＝2，则A（2，4），

把A（2，4）代入得k＝2×4＝8，

所以反比例函数解析式为，

把代入得﹣4n＝8，解得n＝﹣2；

（2）因为点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数的图象上，

所以4m＝k，﹣4n＝k，

所以4m+4n＝0，即m+n＝0；

（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，

在Rt△AOE中，tan∠AOE，

在Rt△BOF中，，

而tan∠AOD+tan∠BOC＝1，

所以，

而m+n＝0，解得m＝2，n＝﹣2，

则A（2，4），B（﹣4，﹣2），

设直线AB的解析式为y＝px+q，

把代入得，解得，

所以直线AB的解析式为y＝x+2．

9．（2021·全国高二课时练习）已知点.

（1）求过点且与原点的距离为2的直线的方程.

（2）是否存在过点且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1） 或；（2） 不存在这样的直线；理由见解析．

【分析】

（1）分存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；

（2）过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，分析即得解

【详解】

（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意．

②当直线的斜率存在时，设斜率为，

则直线方程为，即．

根据题意，得，解得，

所以直线方程为．

故所求直线方程为或．

（2）不存在．理由如下：

过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，

，

而，故不存在这样的直线．

10．（2021·全国高三专题练习）是等腰直角三角形，，动直线l过点与的斜边、直角边分别交于不同的点M、N（如图所示）.

（1）设直线l的斜率为k，求k的取值范围，并用k表示M的坐标；

（2）试写出表示的面积S的函数解析式，并求的最大值.

【答案】（1），；（2），.

【分析】

(1)根据题意，结合图象即可得到k的取值范围，再联立直线方程即可得到M的坐标；

(2) 由于l绕P点转动，则N点可落在上，也可落在上，的计算不一样，所以必须对l的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出，结合函数单调性即可求解.

【详解】

(1)由已知条件得、，，设直线l的方程为.

由，得.

(2)当时，点N在直角边上，，

.

当时，点k在直角边上，，

.

∴，

当时，递减，∴，当时，.

综上所述，当时，.

1.（上海高考真题（文））已知直线：与：平行，则的值是（   ）.

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【解析】

由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 和，显然两直线平行．当k-3≠0时，

由，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，

故选 C．

2．（2020·山东高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】D

【分析】

本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.

【详解】

结合图像易知，，，

则角是第四象限角，

故选：D.

3．（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.

【详解】

由图可得直线的倾斜角为30°，

所以斜率，

所以直线与轴的交点为，

所以直线的点斜式方程可得：，

即．

故选：D

4．（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

点到直线的距离为，

故选：D.

5.（全国高考真题（理））已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）

A.（0，1） B. C. D.

【答案】B

【解析】

由题意可得，三角形ABC的面积为 1，

由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），

由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，

故0，故点M在射线OA上．

设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．

①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），

把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．

②若点M在点O和点A之间，如图：

此时b，点N在点B和点C之间，

由题意可得三角形NMB的面积等于，

即，即 ，可得a0，求得 b，

故有b．

③若点M在点A的左侧，

则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．

设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，

即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．

由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．

两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，

故有1b．

综上可得b的取值范围应是 ，

故选：B．

6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点

③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点

④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

【答案】①③⑤

【解析】

①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；

②令直线为：，则直线经过整点，②错误；

③令直线为：，过两个不同的整点，

则，两式作差得：

即直线经过整点

直线经过无穷多个整点，③正确；

④令直线为：，则不过整点，④错误；

⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.

本题正确结果：①③⑤