2023年广东省广州市番禺区京师奥园南奥实验学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省广州市番禺区京师奥园南奥实验学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  九班“环保小组”的位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：，，，，这组数据的中位数、众数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图，将三角形沿射线平移到三角形的位置，则下列说法不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，▱的对角线，交于点，若，，则的长可能是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某地区快递公司年的快递业务量为亿件，受益于经济的快速增长及电子商务发展等多重因素，快递业务迅猛发展，年的快递业务量达到亿件．若设该地区这两年快递业务量的年平均增长率为，则下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点、、在上，若，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于、两点．若，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

12.  二次函数的最小值为________．

13.  有一个底面半径为、母线长的圆锥，则其侧面积是______．

14.  将一个矩形纸片按如图所示折叠，若，则的度数是______．

15.  如图所示，菱形的对角线、相交于点若，，，垂足为，则的长为______．
 

16.  已知二次函数满足：；；图象与轴有个交点，且两交点间的距离小于；则以下结论中正确的有______ ．
．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

17.  在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，直线，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交抛物线和直线于点，点．
直接写出，两点的坐标用含的代数式表示；
设线段的长为，求关于的函数关系式及的最小值，并直接写出此时线段与线段的位置关系和数量关系；
已知二次函数为整数且，对一切实数恒有，求，，的值．

四、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
如图，已知平分，求证：．

20.  本小题分
如图，已知点在反比例函数的图象上．
求的值；
如果直线也经过点，且与轴交于点，连接，求的面积．

21.  本小题分
已知．
化简；
若，求的值．

22.  本小题分
为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按、、三类分别装袋投放，其中类指废电池、过期药品等有毒垃圾，类指剩余食品等厨余垃圾，类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙各投放了一袋垃圾．
直接写出甲投放的垃圾恰好是类的概率；
求甲乙投放的垃圾恰好是同类垃圾的概率要求画出树状图．

23.  本小题分
甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路天．
求乙队筑路的总公里数；
若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为：，求乙队平均每天筑路多少公里．

24.  本小题分
在中，，，，点为边的中点．
尺规作图，过点作交边于点；
求、的长；
点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且，若，求的长．

25.  本小题分
如图，矩形的边，，点从点出发，沿射线移动，以为直径作圆，点为圆与射线的公共点，连接、，过点作，与圆相交于点，连接．

试说明四边形是矩形；
当圆与射线相切时，点停止移动，在点移动的过程中，
矩形的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
求点移动路线的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有理数，故本选项错误；
B、是无理数，故本选项正确；
C、，是有理数，故本选项错误；
D、，是有理数，故本选项错误；
故选：．
根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合选项即可得出答案．
此题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，计算错误，故本选项错误；
B、，计算错误，故本选项错误；
C、，计算正确，故本选项正确；
D、，计算错误，故本选项错误．
故选C．
根据同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式的运算法则结合选项求解．
本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式等知识，掌握各知识点的运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故选：．
根据众数和中位数的定义求解．找出次数最多的数为众数；把个数按大小排列，位于中间位置的为中位数．
本题考查统计知识中的中位数和众数的定义．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

5.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知：，，，，
故选项A说法不正确，符合题意；
选项B、、说法正确，不符合题意；
故选：．
根据平移的性质判断即可．
本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
在中：，
即，
的长可能为．
故选：．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出的取值范围，进而得出结论．
本题考查的了平行四边形的性质和三角形的三边关系．解题时注意：平行四边形对角线互相平分；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该地区这两年快递业务量的年平均增长率为根据题意，
得，
故选：．
设年与年这两年的年平均增长率为，根据题意可得，年的快速的业务量平均增长率年快递业务量，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
是等腰直角三角形，
，
的边上的高为：，

，
故选：．
先证得三角形是等腰直角三角形，通过解直角三角形求得和边上的高，然后根据即可求得．
本题考查了扇形的面积公式：为圆心角的度数，为圆的半径也考查了等腰直角三角形三边的关系和三角形的面积公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作于点，

，，，
可得，
在中，，
．
在中，，
，
．
故这时轮船与小岛的距离是．
故选：．
根据题意，求出，，即可得解．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
作于，如图，根据正方形的性质得，则为等腰直角三角形，所以，再根据角平分线性质得，则，于是利用正方形的性质得到
，所以，然后证明∽，再利用相似比可计算出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．
【解答】
解：作于，如图，
四边形为正方形，
，
为等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，即，
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：依题意有，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数开口向上，其顶点坐标为，
所以最小值是．
本题考查二次函数最大小值的求法．
本题考查二次函数的基本性质，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：底面圆的半径为，则底面周长，圆锥的侧面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意可得：，
由翻折可知：．
故答案为．
结合平行线的性质得出：，再利用翻折变换的性质得出答案．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．
利用菱形的面积公式：，即可解决问题；
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：；；图象与轴有个交点，且两交点间的距离小于；
图象过点，
，，
，，故正确，
图象与轴有个交点，且两交点间的距离小于；
图象一定不过点，且另一交点坐标在右侧，
，故正确，
图象对称轴一定在轴的正半轴，
，
，异号，
，故此选项错误，
，，
，
，即，
，
，
，
，故选项正确，
故正确的有：，
故答案为：．
由抛物线满足：；；图象与轴有个交点，且两交点间的距离小于；判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

17.【答案】解：当时，，；
，．


．
当时，取得最小值．
此时，，而、
四边形是正方形
当取最小值时，线段与线段的位置关系和数量关系是且如图

对一切实数恒有 ，
对一切实数，都成立．
当时，式化为 ．
整数的值为．
此时，对一切实数，都成立．
即 对一切实数均成立．
由得   对一切实数均成立．

由得整数的值为．
此时由式得，对一切实数均成立．
即对一切实数均成立．
当时，此不等式化为，不满足对一切实数均成立．
当时，对一切实数均成立，

由，，得 ．
整数的值为．
整数，，的值分别为，，． 

【解析】由题意不难看出：点、、三点的横坐标相同，将点横坐标代入函数、的解析式中即可确定、两点的坐标．
首先根据题意画出图形，可看出抛物线的图象始终在直线的上方，那么线段的长可由点、的纵坐标差求得，据此求出关于、的函数解析式，根据函数的性质先确定出符合题意的、值，即可确定点、的坐标，点的坐标易得，根据这四点坐标即可确定线段、的位置和数量关系．
首先将函数解析式代入不等式中，再根据利用函数图象解不等式的方法来求出待定系数的取值范围，最后根据、、都是整数确定它们的值．
该题考查的重点是二次函数的性质以及利用函数图象解不等式的方法；难点是最后一题，熟练掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键：
若恒成立，那么的函数图象：开口向上且抛物线与轴无交点，即：且可利用函数图象辅助理解
 

18.【答案】解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
在数轴上表示为
． 

【解析】根据不等式的性质解答．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集是解题的关键．
 

19.【答案】证明：平分，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据角平分线的定义得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：将代入反比例解析式得：；
由，得到，代入直线解析式得：，
解得：，即直线解析式为，
令，解得：，即，，
则． 

【解析】将坐标代入反比例函数解析式中，即可求出的值；
由求出的值，确定出坐标，代入直线解析式中求出的值，令直线解析式中求出的值，确定出的长，三角形以为底，纵坐标为高，利用三角形面积公式求出即可．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：

；
，
，
，或，
即的值是或． 

【解析】先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项得到最简结果；
先化简求得的值，再代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算．解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则，完全平方公式的运用，以及负指数幂的计算．
 

22.【答案】解：垃圾要按，，三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
甲投放的垃圾恰好是类的概率为：；
如图所示：

由图可知，共有种可能结果，其中甲投放的垃圾与乙投放的垃圾是同一类的结果有种，
所以甲投放的垃圾与乙投放的垃圾是同一类的概率为． 

【解析】直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是类的概率；
首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用树状图列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
 

23.【答案】解：公里．
答：乙队筑路的总公里数为公里．
设乙队平均每天筑路公里，则甲队平均每天筑路公里，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
答：乙队平均每天筑路公里． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：根据数量关系列式计算；找准等量关系，列出分式方程．
根据甲队筑路公里以及乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，即可求出乙队筑路的总公里数；
设乙队平均每天筑路公里，则甲队平均每天筑路公里，根据甲队比乙队多筑路天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
 

24.【答案】解：如图即为所求：

如图，，，，
根据勾股定理得到，，
．
．
，，
∽，
：：：，即：：：，
，；
如图：当点在线段上时，
∽，
，
，
，
．
，
，
∽，
，
，
，
．
如图：当点在线段的延长线上时，
，
．

，
．
，
，
∽，
，
，
，
，
故或． 

【解析】如图：以为圆心，以任意长为半径画弧与交于点、，然后分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，连接交于即可；
由勾股定理可得，则；然后再证∽，然后根据相似三角形的性质即可解答；
分点在线段上和线段的延长线上两种情况，分别运用相似三角形的判定与性质即可解答．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、作垂线、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

25.【答案】解：证明：如图，
为的直径，
．
，
．
．
四边形是矩形；
存在．
连接，如图，
四边形是矩形，
．
点是的中点，
．
点在上．
，，
∽．
．
，，
，


．

．
四边形是矩形，
．
．
，，
．
，
．

Ⅰ当点在点处时，点在点处，点在点处，如图所示．
此时，．
Ⅱ当点在点处时，直径，
如图所示，
此时与射线相切，．
Ⅲ当时，最小，
如图所示．


．
．
，
．
．
矩形的面积最大值为，最小值为．

定值，点的起点为，终点为，如图所示，
点的移动路线是线段．
，，
∽．
．
．
．
点移动路线的长为． 

【解析】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现及是解决本题的关键．
只要证到三个内角等于即可．
易证点在上，根据圆周角定理可得，从而证到∽，根据相似三角形的性质可得到然后只需求出的范围就可求出的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到定值，从而得到点的移动的路线是线段，只需找到点的起点与终点，求出该线段的长度即可．