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_2018年内蒙古鄂尔多斯市中考数学真题及答案
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这是一份_2018年内蒙古鄂尔多斯市中考数学真题及答案，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年内蒙古鄂尔多斯市中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在，﹣2018，，π这四个数中，无理数是（ ）
A． B．﹣2018 C． D．π
2．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．a3÷a4＝
C．（x﹣1）2＝x2﹣2x﹣1 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
3．下列函数中，自变量x的取值范围为x＞1的是（ ）
A． B． C． D．y＝（x﹣1）0
4．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零刻线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，则∠CBD的度数是（ ）
A．45°10' B．44°50' C．46°10' D．不能确定
5．为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：
捐款金额/元
20
30
50
90
人数
2
4
3
1
则下列说法正确的是（ ）
A．10名学生是总体的一个样本
B．中位数是40
C．众数是90
D．方差是400
6．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，
则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝ D．sin∠CBE＝
7．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A（﹣2，0），B（0，1），以线段AB为边在第二象限作矩形ABCD，双曲线y＝（k＜0）过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，则k的值是（ ）
A．﹣9 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．鄂尔多斯境内煤炭资源丰富，探明储量为2100亿吨，数据2100亿用科学记数法表示为 ．
12．从平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
13．下列说法正确的是 ．
①在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
②“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是真命题．
③若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a+b＝﹣1．
④一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变．
⑤的整数部分是a，小数部分是b，则ab＝3﹣3．
14．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把Q（﹣b+1，a+1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，…，这样依次下去得到A1，A2，A3，…，An，若A1的坐标为（3，1），则A2018的坐标为 ．
15．如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段PQ的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线长为 ．
16．如图1，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a2+b2＝5c2，利用这一性质计算．如图2，在▱ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，EB⊥EG于点E，AD＝8，AB＝2，则AF＝ ．
三、解答题（本大题共8题，72分）
17．（1）化简求值：，其中x＝﹣22+2sin45°+|﹣3|；
（2）解不等式组：，并求其非负整数解．
18．“金山银山，不如绿水青山”．鄂尔多斯市某旗区不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为97%，根据图表中的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为 度，并补全条形统计图．
（2）该旗区今年共种树32万棵，成活了约多少棵？
（3）园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类树苗的概率．（松树、杨树、榆树、柳树分别用A，B，C，D表示）
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．
20．王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架，完全稳固张开如图①．图②，③是晾衣架的侧面展开图，△AOB是边长为130cm的等边三角形，晾衣架OE，OF能以O为圆心转动，且OE＝OF＝130cm：在OA，OB上的点C，D处分别有支撑杆CN，DM能以C，D为圆心转动．
（1）如图②，若EF平行于地面AB，王阿姨的衣服穿在衣架上的总长度是110cm，垂挂在晾衣杆OE上是否会拖到地面上？说明理由．
（2）如图③，当支撑杆DM支到点M′，此时∠EOB＝78°，点E离地面距离最大．保证衣服不拖到地面上，衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米？（结果取整）参考数据：（，sin78°≈，cos78°≈，sin18°≈，cos18°≈）
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
22．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元：甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
（1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？
（2）假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的快递公司运送，若该产品每千克的生产成本y1元（不含快递运费），销售价y2元与生产量x千克之间的函数关系式为：y1＝，y2＝﹣6x+120（0＜x＜13），则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？
23．如图①，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
24．（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 度．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
2018年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在，﹣2018，，π这四个数中，无理数是（ ）
A． B．﹣2018 C． D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：在，﹣2018，，π这四个数中，无理数是π，
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．a3÷a4＝
C．（x﹣1）2＝x2﹣2x﹣1 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2x，故A错误；
（C）原式＝x2﹣2x+1，故C错误；
（D）原式＝﹣8a6，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．下列函数中，自变量x的取值范围为x＞1的是（ ）
A． B． C． D．y＝（x﹣1）0
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0对各选项分别列式计算即可得解．
【解答】解：A．中x≥1，此选项不符合题意；
B．中x＞1，此选项符合题意；
C．中x≠1，此选项不符合题意；
D．y＝（x﹣1）0中x≠1，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零刻线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，则∠CBD的度数是（ ）
A．45°10' B．44°50' C．46°10' D．不能确定
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠POB＝∠CBD，
∵点P不确定，
∴∠POB不确定，
∴∠CBD不确定，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
5．为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：
捐款金额/元
20
30
50
90
人数
2
4
3
1
则下列说法正确的是（ ）
A．10名学生是总体的一个样本
B．中位数是40
C．众数是90
D．方差是400
【分析】根据样本、众数、中位数及方差的定义，结合表格分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：A、10名学生的捐款数是总体的一个样本，故本选项错误；
B、中位数是30，故本选项错误；
C、众数是30，故本选项错误；
D、平均数是：（20×2+30×4+50×3+90）÷10＝40（元），
则方差是： [2（20﹣40）2+4（30﹣40）2+3（50﹣40）2+（90﹣40）2]＝400，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了中位数、方差、众数及样本的知识，掌握各部分的定义是关键．
6．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，
则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝ D．sin∠CBE＝
【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED＝90°，CE＝DE，于是可判断∠DAE＝30°，∠D＝60°，从而得到∠ABC＝60°；利用AB＝2DE得到S△ABE＝2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，则可计算出CH＝CE＝1，EH＝CH＝，利用勾股定理可计算出BE＝2；利用正弦的定义得sin∠CBE＝＝．
【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED＝90°，CE＝DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝2DE，
∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°，所以A选项的说法正确；
∵AB＝2DE，
∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，
在Rt△ECH中，∵∠ECH＝60°，
∴CH＝CE＝1，EH＝CH＝，
在Rt△BEH中，BE＝＝2，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
7．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.54）元，根据路程＝总费用÷每千米所需费用结合路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.54）元，
根据题意得：＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及函数的图象，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到BC为⊙O的直径，则AB＝AC＝，设该圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：连接BC，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，BC＝2，
∴AB＝AC＝，
设该圆锥底面圆的半径为r，
∴2πr＝，解得r＝，
即该圆锥底面圆的半径为．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
9．如图，点A（﹣2，0），B（0，1），以线段AB为边在第二象限作矩形ABCD，双曲线y＝（k＜0）过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，则k的值是（ ）
A．﹣9 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【分析】过D作DM⊥x轴于M，根据相似三角形的性质和判定求出DM＝2AM，根据三角形的面积求出x，即可求出DM和OM，得出答案即可．
【解答】解：
∵点A（﹣2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
过D作DM⊥x轴于M，则∠DMA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DMA＝∠DAB＝∠AOB＝90°，
∴∠DAM+∠BAO＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠BAO，
∴△DMA∽△AOB，
∴＝＝＝2，
即DM＝2MA，
设AM＝x，则DM＝2x，
∵四边形OADB的面积为6，
∴S梯形DMOB﹣S△DMA＝6，
∴（1+2x）（x+2）﹣•2x•x＝6，
解得：x＝2，
则AM＝2，OM＝4，DM＝4，
即D点的坐标为（﹣4，4），
∴k＝﹣4×4＝﹣16，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出DM＝2AM是解此题的关键．
10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作辅助线，构建相似三角形，先证明AQ⊥MN，AO⊥CD，证明∠AOQ∽△POG，得，代入可得S＝，是反比例函数，可得选项C、D不正确；根据特殊值t＝2时，此时，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，可得结论．
【解答】解：连接AO，并延长交直线CD于G，连接AQ，
∵Q是MN的中点．
∴AQ⊥MN，
∵A的坐标为（﹣4，﹣4），
∴直线AO：y＝x，AO＝4，
∵直线CD：y＝﹣x+4，
∴AO⊥CD，
∴∠AQO＝∠OGP＝90°，
∵∠AOQ＝∠POG，
∴∠AOQ∽△POG，
∴，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴OC＝OD＝4，
∴OG＝CD＝2，
∵OP＝t，OQ＝S，
∴，
S＝，
故选项C、D不正确；
当OP＝2时，即S＝OQ＝4，t＝2，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，
故选项B不正确；
故选：A．
【点评】本题考查了圆和函数的综合题：熟练掌握切线的性质定理、直线与圆的位置关系、一次函数和反比例函数的性质等是解决问题的关键；运用相似三角形的判定与性质和勾股定理是解决几何计算常用的方法；对于综合题一般采用各个击破的方式解决．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．鄂尔多斯境内煤炭资源丰富，探明储量为2100亿吨，数据2100亿用科学记数法表示为 2.1×1011 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2100亿＝210000000000用科学记数法表示为：2.1×1011．
故答案为：2.1×1011．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．从平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：∵平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的有菱形、圆共2个，
∴抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．下列说法正确的是 ①③④ ．
①在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
②“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是真命题．
③若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a+b＝﹣1．
④一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变．
⑤的整数部分是a，小数部分是b，则ab＝3﹣3．
【分析】根据平行线的判定定理，不等式的性质，关于x轴对称的点的坐标特征，多边形的内角和和外角和，算术平方根的估算方法解答．
【解答】解：在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，①正确；
“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac＞bc”，是假命题，②错误；
若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a＝1，b＝﹣2，
∴a+b＝﹣1，③正确；
一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变，④正确；
的整数部分是a，小数部分是b，
则a＝3，b＝﹣3，
∴ab＝3﹣9，⑤错误；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把Q（﹣b+1，a+1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，…，这样依次下去得到A1，A2，A3，…，An，若A1的坐标为（3，1），则A2018的坐标为 （0，4） ．
【分析】根据题意可以分别写出A1的坐标为（3，1）时对应的点A2，A3，A4，A5，从而可以发现其中的规律，进而得到A2018的坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵点A1的坐标为（3，1），
∴A2的坐标为（0，4），
A3的坐标为（﹣3，1），
A4的坐标为（0，﹣2），
A5的坐标为（3，1），
∴每连续的四个点一个循环，
∵2018÷4＝504…2，
∴A2018的坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．
15．如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段PQ的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线长为 3π ．
【分析】由BR＝PQ＝2，推出当点P从A运动到B时，点R的轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，可得当点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线是图的三条弧，由此即可解决问题；
【解答】解：如图，连接BR．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，
∵PR＝RQ，
∴BR＝PQ＝2，
∴当点P从A运动到B时，点R的轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线是图的三条弧，
∴路径的长＝3×＝3π，
故答案为3π．
【点评】本题考查轨迹，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹，属于中考常考题型．
16．如图1，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a2+b2＝5c2，利用这一性质计算．如图2，在▱ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，EB⊥EG于点E，AD＝8，AB＝2，则AF＝ 2 ．
【分析】连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE＝BF＝CF＝AD，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH＝FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由题目中的结论得即可得到结果．
【解答】解：如图2，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∴∠EAH＝∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝AD，BF＝BC，
∴AE＝BF＝CF＝AD＝4，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝2，AP＝PF，
在△AEH和△CFH中，，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴EH＝FH，
∴EP，AH分别是△AFE的中线，
由a2+b2＝5c2得：AF2+EF2＝5AE2，
∴AF2＝5×42﹣（2）2＝60，
∴AF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8题，72分）
17．（1）化简求值：，其中x＝﹣22+2sin45°+|﹣3|；
（2）解不等式组：，并求其非负整数解．
【分析】（1）先
【解答】解：（1）原式＝+•
＝﹣
＝，
当x＝﹣22+2sin45°+|﹣3|＝﹣4+2×+3＝﹣1时，
原式＝＝；
（2）解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
所以不等式组的非负整数解有0，1，2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．“金山银山，不如绿水青山”．鄂尔多斯市某旗区不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为97%，根据图表中的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为 144 度，并补全条形统计图．
（2）该旗区今年共种树32万棵，成活了约多少棵？
（3）园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类树苗的概率．（松树、杨树、榆树、柳树分别用A，B，C，D表示）
【分析】（1）根据题意列式计算，补全条形统计图即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出选到成活率较高的两类树苗的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为360°×（1﹣20%﹣15%﹣25%）＝144°，
杨树的棵数＝4000×25%×97%＝970（棵），
补全条形统计图如图所示，
故答案为：144；
（2）320000××100%＝300000（棵），
答：成活了约300000棵；
（3）
所有等可能的情况有12种，其中恰好选到成活率较高的两类树苗有2种，
∴恰好选到成活率较高的两类树苗的概率＝＝．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．
【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，求出AD＝x＝12．
【解答】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF．
∴矩形AEGF是正方形；
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x．
∵BD＝6，DC＝4，
∴BE＝6，CF＝4，
∴BG＝x﹣6，CG＝x﹣4，
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102．
化简得，x2﹣10x﹣24＝0
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）
所以AD＝x＝12．
【点评】本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
20．王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架，完全稳固张开如图①．图②，③是晾衣架的侧面展开图，△AOB是边长为130cm的等边三角形，晾衣架OE，OF能以O为圆心转动，且OE＝OF＝130cm：在OA，OB上的点C，D处分别有支撑杆CN，DM能以C，D为圆心转动．
（1）如图②，若EF平行于地面AB，王阿姨的衣服穿在衣架上的总长度是110cm，垂挂在晾衣杆OE上是否会拖到地面上？说明理由．
（2）如图③，当支撑杆DM支到点M′，此时∠EOB＝78°，点E离地面距离最大．保证衣服不拖到地面上，衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米？（结果取整）参考数据：（，sin78°≈，cos78°≈，sin18°≈，cos18°≈）
【分析】（1）过O作OG⊥AB于G，根据△AOB是等边三角形，得到∠OAB＝60°，根据三角函数的定义得到结论；
（2）过O作OG⊥AB于G，延长GO交EF于H，根据平行线的性质得到GH⊥EF，根据平角的定义得到∠HOE＝180°﹣30°﹣78°＝72°，得到∠E＝18°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）垂挂在晾衣杆OE上不会拖到地面上，
理由：过O作OG⊥AB于G，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝130，
∴OG＝OA＝65≈65×≈111＞110，
答：垂挂在晾衣杆OE上不会拖到地面上；
（2）过O作OG⊥AB于G，延长GO交EF于H，
∵EF∥AB，
∴GH⊥EF，
∵∠BOE＝78°，
∴∠HOE＝180°﹣30°﹣78°＝72°，
∴∠E＝18°，
∵OE＝130，
∴OH＝OE•sin18°≈130×＝39cm，
∴HG＝OH+OG＝39+111＝150cm，
答：服穿在衣架上的总长度最长约为150厘米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
【分析】（1）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据余角的性质得到∠ACB＝∠BCE，求得AC＝4，根据勾股定理得到BE＝＝，根据相似三角形的性质得到CE＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO＝∠ABO，
∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，
∴∠DBO＝∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线；
（2）∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠BCE，
∵sin∠BCE＝，
∴sin∠ACB＝，
∵AB＝3，
∴AC＝4，
∵∠BDE＝∠BAC，
∴sin∠DBE＝，
∵BD＝AB＝3，
∴DE＝，
∴BE＝＝，
∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，
∴△BDE∽△CBE，
∴＝，
∴CE＝，
∴CD＝，
∴AD＝＝．
【点评】本题考查了圆的切线性质与判定，全等三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识．
22．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元：甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
（1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？
（2）假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的快递公司运送，若该产品每千克的生产成本y1元（不含快递运费），销售价y2元与生产量x千克之间的函数关系式为：y1＝，y2＝﹣6x+120（0＜x＜13），则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）设甲快递公司每千克的运费各是x元，乙快递公司每千克的运费是y元，
根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设产量为xkg时，获得的利润为W元，①当0≤x≤8时，②当8＜x＜13时，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设甲快递公司每千克的运费各是x元，乙快递公司每千克的运费是y元，
根据题意得，，
解得：，
答：甲快递公司每千克的运费是6元，乙快递公司每千克的运费是10元；
（2）设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x＜8时，W＝x（﹣6x+120+2x﹣58）﹣6x＝﹣4x2+56x＝﹣4（x﹣7）2+196，
∴当x＝7时，W的值最大，最大值为196；
②当8≤x＜13时，W＝x（﹣6x+120﹣42）﹣6x＝﹣6（x﹣6）2+216，（不合题意，舍去），
当x＝7时，W的值最大，最大值为192；
∴巴特尔每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
23．如图①，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．求出直线AD使得解析式，构建方程组确定两点坐标即可．
（3）设M（m， m﹣3），则N（m+2， m﹣2），可得P（m， m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，推出PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意C（0，﹣3），B（6，0），
把C（0，﹣3），B（6，0）代入y＝+bx+c得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，A（﹣2，0），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴D（8，5）．
∵直线AD交y轴于E（0，1），
点E关于点C的对称点E′（0，﹣7），
∴过点E′平行BC的直线的解析式为y＝x﹣7，
由，方程组无解，
∴在直线BC的下方不存在满足条件的点D．
∴满足条件的点D（8，5）．
（3）设M（m， m﹣3），则N（m+2， m﹣2），
∴P（m， m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，
当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|，
解得：m＝2或2±2，
∴满足条件的点M的坐标为（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 60 度．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB是等边三角形即可；
（2）【类比探究】：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题；
（3）【解决问题】：如图3中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C＝90°，利用勾股定理即可解决问题；
（4）【拓展应用】：如图4中，先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，再证明∠BCE＝90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为PA+PB+PC的最小值；
【解答】（1）【操作发现】解：如图1中，连接BD．
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
故答案为60．
（2）【类比探究】证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．
∵∠BAC＝∠PAD＝60°，
∴∠BAP＝∠CAD，
∵AB＝AC，AP＝AD，
∴△PAB≌△ACD（SAS），
∴BP＝CD，
在△PCD中，∵PD+CD＞PC，
又∵PA＝PD，
∴AP+BP＞PC．
∴PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】解：如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，
∴PP′＝PC，即AP＝PC，
∵∠APC＝90°，
∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，
∴PC＝2，
∴AP＝，
∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．
（4）【拓展应用】解：如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC（旋转的性质），
∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，
∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，
∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°，
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，
∴BE＝＝＝，
即PA+PB+PC的最小值为；
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
2018年内蒙古鄂尔多斯市中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在，﹣2018，，π这四个数中，无理数是（ ）
A． B．﹣2018 C． D．π
2．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．a3÷a4＝
C．（x﹣1）2＝x2﹣2x﹣1 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
3．下列函数中，自变量x的取值范围为x＞1的是（ ）
A． B． C． D．y＝（x﹣1）0
4．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零刻线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，则∠CBD的度数是（ ）
A．45°10' B．44°50' C．46°10' D．不能确定
5．为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：
捐款金额/元
20
30
50
90
人数
2
4
3
1
则下列说法正确的是（ ）
A．10名学生是总体的一个样本
B．中位数是40
C．众数是90
D．方差是400
6．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，
则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝ D．sin∠CBE＝
7．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A（﹣2，0），B（0，1），以线段AB为边在第二象限作矩形ABCD，双曲线y＝（k＜0）过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，则k的值是（ ）
A．﹣9 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．鄂尔多斯境内煤炭资源丰富，探明储量为2100亿吨，数据2100亿用科学记数法表示为 ．
12．从平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
13．下列说法正确的是 ．
①在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
②“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是真命题．
③若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a+b＝﹣1．
④一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变．
⑤的整数部分是a，小数部分是b，则ab＝3﹣3．
14．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把Q（﹣b+1，a+1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，…，这样依次下去得到A1，A2，A3，…，An，若A1的坐标为（3，1），则A2018的坐标为 ．
15．如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段PQ的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线长为 ．
16．如图1，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a2+b2＝5c2，利用这一性质计算．如图2，在▱ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，EB⊥EG于点E，AD＝8，AB＝2，则AF＝ ．
三、解答题（本大题共8题，72分）
17．（1）化简求值：，其中x＝﹣22+2sin45°+|﹣3|；
（2）解不等式组：，并求其非负整数解．
18．“金山银山，不如绿水青山”．鄂尔多斯市某旗区不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为97%，根据图表中的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为 度，并补全条形统计图．
（2）该旗区今年共种树32万棵，成活了约多少棵？
（3）园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类树苗的概率．（松树、杨树、榆树、柳树分别用A，B，C，D表示）
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．
20．王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架，完全稳固张开如图①．图②，③是晾衣架的侧面展开图，△AOB是边长为130cm的等边三角形，晾衣架OE，OF能以O为圆心转动，且OE＝OF＝130cm：在OA，OB上的点C，D处分别有支撑杆CN，DM能以C，D为圆心转动．
（1）如图②，若EF平行于地面AB，王阿姨的衣服穿在衣架上的总长度是110cm，垂挂在晾衣杆OE上是否会拖到地面上？说明理由．
（2）如图③，当支撑杆DM支到点M′，此时∠EOB＝78°，点E离地面距离最大．保证衣服不拖到地面上，衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米？（结果取整）参考数据：（，sin78°≈，cos78°≈，sin18°≈，cos18°≈）
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
22．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元：甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
（1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？
（2）假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的快递公司运送，若该产品每千克的生产成本y1元（不含快递运费），销售价y2元与生产量x千克之间的函数关系式为：y1＝，y2＝﹣6x+120（0＜x＜13），则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？
23．如图①，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
24．（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 度．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
2018年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在，﹣2018，，π这四个数中，无理数是（ ）
A． B．﹣2018 C． D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：在，﹣2018，，π这四个数中，无理数是π，
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．a3÷a4＝
C．（x﹣1）2＝x2﹣2x﹣1 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2x，故A错误；
（C）原式＝x2﹣2x+1，故C错误；
（D）原式＝﹣8a6，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．下列函数中，自变量x的取值范围为x＞1的是（ ）
A． B． C． D．y＝（x﹣1）0
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0对各选项分别列式计算即可得解．
【解答】解：A．中x≥1，此选项不符合题意；
B．中x＞1，此选项符合题意；
C．中x≠1，此选项不符合题意；
D．y＝（x﹣1）0中x≠1，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零刻线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，则∠CBD的度数是（ ）
A．45°10' B．44°50' C．46°10' D．不能确定
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠POB＝∠CBD，
∵点P不确定，
∴∠POB不确定，
∴∠CBD不确定，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
5．为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：
捐款金额/元
20
30
50
90
人数
2
4
3
1
则下列说法正确的是（ ）
A．10名学生是总体的一个样本
B．中位数是40
C．众数是90
D．方差是400
【分析】根据样本、众数、中位数及方差的定义，结合表格分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：A、10名学生的捐款数是总体的一个样本，故本选项错误；
B、中位数是30，故本选项错误；
C、众数是30，故本选项错误；
D、平均数是：（20×2+30×4+50×3+90）÷10＝40（元），
则方差是： [2（20﹣40）2+4（30﹣40）2+3（50﹣40）2+（90﹣40）2]＝400，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了中位数、方差、众数及样本的知识，掌握各部分的定义是关键．
6．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，
则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝ D．sin∠CBE＝
【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED＝90°，CE＝DE，于是可判断∠DAE＝30°，∠D＝60°，从而得到∠ABC＝60°；利用AB＝2DE得到S△ABE＝2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，则可计算出CH＝CE＝1，EH＝CH＝，利用勾股定理可计算出BE＝2；利用正弦的定义得sin∠CBE＝＝．
【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED＝90°，CE＝DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝2DE，
∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°，所以A选项的说法正确；
∵AB＝2DE，
∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，
在Rt△ECH中，∵∠ECH＝60°，
∴CH＝CE＝1，EH＝CH＝，
在Rt△BEH中，BE＝＝2，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
7．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.54）元，根据路程＝总费用÷每千米所需费用结合路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.54）元，
根据题意得：＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及函数的图象，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到BC为⊙O的直径，则AB＝AC＝，设该圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：连接BC，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，BC＝2，
∴AB＝AC＝，
设该圆锥底面圆的半径为r，
∴2πr＝，解得r＝，
即该圆锥底面圆的半径为．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
9．如图，点A（﹣2，0），B（0，1），以线段AB为边在第二象限作矩形ABCD，双曲线y＝（k＜0）过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，则k的值是（ ）
A．﹣9 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【分析】过D作DM⊥x轴于M，根据相似三角形的性质和判定求出DM＝2AM，根据三角形的面积求出x，即可求出DM和OM，得出答案即可．
【解答】解：
∵点A（﹣2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
过D作DM⊥x轴于M，则∠DMA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DMA＝∠DAB＝∠AOB＝90°，
∴∠DAM+∠BAO＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠BAO，
∴△DMA∽△AOB，
∴＝＝＝2，
即DM＝2MA，
设AM＝x，则DM＝2x，
∵四边形OADB的面积为6，
∴S梯形DMOB﹣S△DMA＝6，
∴（1+2x）（x+2）﹣•2x•x＝6，
解得：x＝2，
则AM＝2，OM＝4，DM＝4，
即D点的坐标为（﹣4，4），
∴k＝﹣4×4＝﹣16，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出DM＝2AM是解此题的关键．
10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作辅助线，构建相似三角形，先证明AQ⊥MN，AO⊥CD，证明∠AOQ∽△POG，得，代入可得S＝，是反比例函数，可得选项C、D不正确；根据特殊值t＝2时，此时，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，可得结论．
【解答】解：连接AO，并延长交直线CD于G，连接AQ，
∵Q是MN的中点．
∴AQ⊥MN，
∵A的坐标为（﹣4，﹣4），
∴直线AO：y＝x，AO＝4，
∵直线CD：y＝﹣x+4，
∴AO⊥CD，
∴∠AQO＝∠OGP＝90°，
∵∠AOQ＝∠POG，
∴∠AOQ∽△POG，
∴，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴OC＝OD＝4，
∴OG＝CD＝2，
∵OP＝t，OQ＝S，
∴，
S＝，
故选项C、D不正确；
当OP＝2时，即S＝OQ＝4，t＝2，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，
故选项B不正确；
故选：A．
【点评】本题考查了圆和函数的综合题：熟练掌握切线的性质定理、直线与圆的位置关系、一次函数和反比例函数的性质等是解决问题的关键；运用相似三角形的判定与性质和勾股定理是解决几何计算常用的方法；对于综合题一般采用各个击破的方式解决．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．鄂尔多斯境内煤炭资源丰富，探明储量为2100亿吨，数据2100亿用科学记数法表示为 2.1×1011 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2100亿＝210000000000用科学记数法表示为：2.1×1011．
故答案为：2.1×1011．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．从平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：∵平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的有菱形、圆共2个，
∴抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．下列说法正确的是 ①③④ ．
①在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
②“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是真命题．
③若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a+b＝﹣1．
④一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变．
⑤的整数部分是a，小数部分是b，则ab＝3﹣3．
【分析】根据平行线的判定定理，不等式的性质，关于x轴对称的点的坐标特征，多边形的内角和和外角和，算术平方根的估算方法解答．
【解答】解：在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，①正确；
“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac＞bc”，是假命题，②错误；
若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a＝1，b＝﹣2，
∴a+b＝﹣1，③正确；
一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变，④正确；
的整数部分是a，小数部分是b，
则a＝3，b＝﹣3，
∴ab＝3﹣9，⑤错误；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把Q（﹣b+1，a+1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，…，这样依次下去得到A1，A2，A3，…，An，若A1的坐标为（3，1），则A2018的坐标为 （0，4） ．
【分析】根据题意可以分别写出A1的坐标为（3，1）时对应的点A2，A3，A4，A5，从而可以发现其中的规律，进而得到A2018的坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵点A1的坐标为（3，1），
∴A2的坐标为（0，4），
A3的坐标为（﹣3，1），
A4的坐标为（0，﹣2），
A5的坐标为（3，1），
∴每连续的四个点一个循环，
∵2018÷4＝504…2，
∴A2018的坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．
15．如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段PQ的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线长为 3π ．
【分析】由BR＝PQ＝2，推出当点P从A运动到B时，点R的轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，可得当点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线是图的三条弧，由此即可解决问题；
【解答】解：如图，连接BR．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，
∵PR＝RQ，
∴BR＝PQ＝2，
∴当点P从A运动到B时，点R的轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线是图的三条弧，
∴路径的长＝3×＝3π，
故答案为3π．
【点评】本题考查轨迹，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹，属于中考常考题型．
16．如图1，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a2+b2＝5c2，利用这一性质计算．如图2，在▱ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，EB⊥EG于点E，AD＝8，AB＝2，则AF＝ 2 ．
【分析】连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE＝BF＝CF＝AD，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH＝FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由题目中的结论得即可得到结果．
【解答】解：如图2，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∴∠EAH＝∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝AD，BF＝BC，
∴AE＝BF＝CF＝AD＝4，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝2，AP＝PF，
在△AEH和△CFH中，，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴EH＝FH，
∴EP，AH分别是△AFE的中线，
由a2+b2＝5c2得：AF2+EF2＝5AE2，
∴AF2＝5×42﹣（2）2＝60，
∴AF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8题，72分）
17．（1）化简求值：，其中x＝﹣22+2sin45°+|﹣3|；
（2）解不等式组：，并求其非负整数解．
【分析】（1）先
【解答】解：（1）原式＝+•
＝﹣
＝，
当x＝﹣22+2sin45°+|﹣3|＝﹣4+2×+3＝﹣1时，
原式＝＝；
（2）解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
所以不等式组的非负整数解有0，1，2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．“金山银山，不如绿水青山”．鄂尔多斯市某旗区不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为97%，根据图表中的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为 144 度，并补全条形统计图．
（2）该旗区今年共种树32万棵，成活了约多少棵？
（3）园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类树苗的概率．（松树、杨树、榆树、柳树分别用A，B，C，D表示）
【分析】（1）根据题意列式计算，补全条形统计图即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出选到成活率较高的两类树苗的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为360°×（1﹣20%﹣15%﹣25%）＝144°，
杨树的棵数＝4000×25%×97%＝970（棵），
补全条形统计图如图所示，
故答案为：144；
（2）320000××100%＝300000（棵），
答：成活了约300000棵；
（3）
所有等可能的情况有12种，其中恰好选到成活率较高的两类树苗有2种，
∴恰好选到成活率较高的两类树苗的概率＝＝．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．
【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，求出AD＝x＝12．
【解答】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF．
∴矩形AEGF是正方形；
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x．
∵BD＝6，DC＝4，
∴BE＝6，CF＝4，
∴BG＝x﹣6，CG＝x﹣4，
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102．
化简得，x2﹣10x﹣24＝0
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）
所以AD＝x＝12．
【点评】本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
20．王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架，完全稳固张开如图①．图②，③是晾衣架的侧面展开图，△AOB是边长为130cm的等边三角形，晾衣架OE，OF能以O为圆心转动，且OE＝OF＝130cm：在OA，OB上的点C，D处分别有支撑杆CN，DM能以C，D为圆心转动．
（1）如图②，若EF平行于地面AB，王阿姨的衣服穿在衣架上的总长度是110cm，垂挂在晾衣杆OE上是否会拖到地面上？说明理由．
（2）如图③，当支撑杆DM支到点M′，此时∠EOB＝78°，点E离地面距离最大．保证衣服不拖到地面上，衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米？（结果取整）参考数据：（，sin78°≈，cos78°≈，sin18°≈，cos18°≈）
【分析】（1）过O作OG⊥AB于G，根据△AOB是等边三角形，得到∠OAB＝60°，根据三角函数的定义得到结论；
（2）过O作OG⊥AB于G，延长GO交EF于H，根据平行线的性质得到GH⊥EF，根据平角的定义得到∠HOE＝180°﹣30°﹣78°＝72°，得到∠E＝18°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）垂挂在晾衣杆OE上不会拖到地面上，
理由：过O作OG⊥AB于G，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝130，
∴OG＝OA＝65≈65×≈111＞110，
答：垂挂在晾衣杆OE上不会拖到地面上；
（2）过O作OG⊥AB于G，延长GO交EF于H，
∵EF∥AB，
∴GH⊥EF，
∵∠BOE＝78°，
∴∠HOE＝180°﹣30°﹣78°＝72°，
∴∠E＝18°，
∵OE＝130，
∴OH＝OE•sin18°≈130×＝39cm，
∴HG＝OH+OG＝39+111＝150cm，
答：服穿在衣架上的总长度最长约为150厘米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
【分析】（1）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据余角的性质得到∠ACB＝∠BCE，求得AC＝4，根据勾股定理得到BE＝＝，根据相似三角形的性质得到CE＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO＝∠ABO，
∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，
∴∠DBO＝∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线；
（2）∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠BCE，
∵sin∠BCE＝，
∴sin∠ACB＝，
∵AB＝3，
∴AC＝4，
∵∠BDE＝∠BAC，
∴sin∠DBE＝，
∵BD＝AB＝3，
∴DE＝，
∴BE＝＝，
∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，
∴△BDE∽△CBE，
∴＝，
∴CE＝，
∴CD＝，
∴AD＝＝．
【点评】本题考查了圆的切线性质与判定，全等三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识．
22．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元：甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
（1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？
（2）假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的快递公司运送，若该产品每千克的生产成本y1元（不含快递运费），销售价y2元与生产量x千克之间的函数关系式为：y1＝，y2＝﹣6x+120（0＜x＜13），则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）设甲快递公司每千克的运费各是x元，乙快递公司每千克的运费是y元，
根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设产量为xkg时，获得的利润为W元，①当0≤x≤8时，②当8＜x＜13时，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设甲快递公司每千克的运费各是x元，乙快递公司每千克的运费是y元，
根据题意得，，
解得：，
答：甲快递公司每千克的运费是6元，乙快递公司每千克的运费是10元；
（2）设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x＜8时，W＝x（﹣6x+120+2x﹣58）﹣6x＝﹣4x2+56x＝﹣4（x﹣7）2+196，
∴当x＝7时，W的值最大，最大值为196；
②当8≤x＜13时，W＝x（﹣6x+120﹣42）﹣6x＝﹣6（x﹣6）2+216，（不合题意，舍去），
当x＝7时，W的值最大，最大值为192；
∴巴特尔每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
23．如图①，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．求出直线AD使得解析式，构建方程组确定两点坐标即可．
（3）设M（m， m﹣3），则N（m+2， m﹣2），可得P（m， m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，推出PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意C（0，﹣3），B（6，0），
把C（0，﹣3），B（6，0）代入y＝+bx+c得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，A（﹣2，0），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴D（8，5）．
∵直线AD交y轴于E（0，1），
点E关于点C的对称点E′（0，﹣7），
∴过点E′平行BC的直线的解析式为y＝x﹣7，
由，方程组无解，
∴在直线BC的下方不存在满足条件的点D．
∴满足条件的点D（8，5）．
（3）设M（m， m﹣3），则N（m+2， m﹣2），
∴P（m， m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，
当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|，
解得：m＝2或2±2，
∴满足条件的点M的坐标为（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 60 度．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB是等边三角形即可；
（2）【类比探究】：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题；
（3）【解决问题】：如图3中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C＝90°，利用勾股定理即可解决问题；
（4）【拓展应用】：如图4中，先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，再证明∠BCE＝90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为PA+PB+PC的最小值；
【解答】（1）【操作发现】解：如图1中，连接BD．
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
故答案为60．
（2）【类比探究】证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．
∵∠BAC＝∠PAD＝60°，
∴∠BAP＝∠CAD，
∵AB＝AC，AP＝AD，
∴△PAB≌△ACD（SAS），
∴BP＝CD，
在△PCD中，∵PD+CD＞PC，
又∵PA＝PD，
∴AP+BP＞PC．
∴PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】解：如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，
∴PP′＝PC，即AP＝PC，
∵∠APC＝90°，
∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，
∴PC＝2，
∴AP＝，
∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．
（4）【拓展应用】解：如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC（旋转的性质），
∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，
∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，
∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°，
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，
∴BE＝＝＝，
即PA+PB+PC的最小值为；
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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