初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形精品巩固练习

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❊2.2 全等三角形的判定（1）
考点先知

知 识
考 点
“SSS”判定三角形全等
1.与“SSS”有关的添条件问题
2.“SSS”判定三角形全等
“SAS”判定三角形全等
3.与“SAS”有关的添条件问题
4.“SAS”判定三角形全等
题型精析

知识点一 全等三角形的判定原理


内容
全等三角形的判定原理
全等三角形的判定实际上是根据给定的三个条件，是否能够作出唯一的三角形.
题型一 全等三角形的判定原理

例1

根据给定的条件作三角形，并判断是否只能画出一个三角形：
（1）AB=3，AC=4，BC=5；
（2）∠A=40°，AB=5，AC=7；
（3）∠A=40°，AB=5，BC=7；
（4）∠A=50°，∠B=70°，∠C=60°.



变1
根据给定的条件作三角形，并判断是否只能画出一个三角形：
（1）∠B=60°，∠C=45°，BC=4；
（2）∠A=40°，∠C=50°，AB=3；
（3）∠C=90°，AB=5，BC=4；
（4）∠A=50°，BC=3，AB=6.




例2

在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，AC=5，求△ABC的面积．请问该题的三角形是否唯一？有几个解？（不需求解，只需回答后两个问题即可）

变2
在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，BC=5，求△ABC的面积．请问该题的三角形是否唯一？有几个解？（不需求解，只需回答后两个问题即可）

知识点二 “SSS”
全等三角形的判定原理


内容
全等三角形的判定（一）
两个三角形的三条边对应相等（SSS），则两个三角形全等.
题型二 添条件问题

例1

如图，已知AC=BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是　 　．

【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
【解答】解：添加AB=DC．
在△ABC和△DCB中，
AB=DCBC=CBAC=BD，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴添加一个适当的条件是AB=DC．
故答案为：AB=DC．
例2

如图，AB=AC，DB=DC则直接由“SSS”可以判定（　　）

A．△ABD≌△ACD
B．△ABE≌△ACE
C．△EBD≌△ECD
D．以上答案都不对
【分析】本题已知AB=AC，DB=DC，AD是公共边，具备了三组边对应相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．
【解答】解：在△ABD与△ACD中，
AB=ACDB=DCAD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
故选：A．
变1
如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，还可以添加的一个条件是（　　）

A．AD=FB
B．DE=BD
C．BF=DB
D．以上都不对
【分析】由题意AC=FE，BC=DE，根据SSS即可解决问题．
【解答】解：∵AC=EF，BC=DE，
∴要根据SSS证明△ABC≌△FDE，
∴需要添加AD=BF即可．
故选：A．
变2
如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（　　）

A．①或②
B．②或③
C．①或③
D．①或④
【分析】要利用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，还需要条件AB=FE，结合题意给出的条件即可作出判断．
【解答】解：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE，
若添加①AE=FB，则可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，
故①可以；
若添加AB=FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．
若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．
故选：A．
题型三 “边边边”判定三角形全等

例1

如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：．

【答案】证明见详解
【分析】根据线段的和差求出，利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
例2

如图，点A、、、在同一条直线上，，，，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】根据，，，利用定理证明，从而得到，再根据内错角相等，两直线平行，得证．
【详解】证明：∵
∴
∴
在和中
，
∴
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
变1
如图，在和中，，求证：．

【答案】见解析
【分析】直接利用全等三角形的判定方法：求出即可．
【详解】证明∶在和中，


变2
如图，，，，点E、B、D、F在同一条直线上．求证．

【答案】见详解
【分析】根据，两边同时减去BD，可得，再由，证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵在和中，

∴．
例3

如图，在和中，点C在边上，边交边于点F，若， ，．求证：．

【答案】证明见详解
【分析】先根据SSS定理得出 (SSS)，故，再根据 是的外角，可知，可得出，故可得出结论．
【详解】解：在和中

（SSS）
；
，

变3
如图，AB=AC，AD=AE，CD=BE．求证：∠DAB=∠EAC．

【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，可用SSS判定两个三角形全等．
【解答】证明：在△ADC与△AEB中，
AB=ACAD=AECD=BE，
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠DAC=∠EAB，
∴∠DAC﹣∠BAC=∠EAB﹣∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC
例4

如图，已知：AB=AC，BD=CD，E为AD上一点．

（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）若∠BED=50°，求∠CED的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；
（2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED=∠CED，进而得到答案．
【详解】（1）证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，
在△EDB和△EDC中，
，
∴△EDB≌△EDC（SAS），
∴∠BED=∠CED，
∵∠BED=50°，
∴∠CED=∠BED=50°．
变4
已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：

（1）△AEC≌△BFD；
（2）DE=CF.
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由线段的和差可得AC=BD，继而利用“SSS”即可求证结论；
（2）由（1）可知∠A=∠B，继而利用“SAS”求证△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质即可求证结论．
【详解】（1）证明：∵AD=BC，
∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD，
在△AEC和△BFD中，
    
∴△AEC≌△BFD（SSS），
（2）由（1）可知△AEC≌△BFD，
∴∠A=∠B，
在△AED和△BFC中，
,
∴△AED≌△BFC（SAS），
∴DE=CF
知识点三 “SAS”
全等三角形的判定原理


内容
全等三角形的判定（二）
两个三角形的两条边及其夹角对应相等（SAS），则两个三角形全等.
题型四 添条件问题

例1

如图，AD与BC交于点O，，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定对四个选项进行依次判定即可.
【详解】已知
A，时不构成全等的条件，故错误，不符题意；
B，时，在△AOC和△BOD中
∴(SAS)，使用了“边角边”，故符合题意；
C，时，在△AOC和△BOD中
∴(AAS)，使用了“角角边”，故不符合题意；
D，时，在△AOC和△BOD中
∴(ASA)，使用了“角边角”，故不符合题意，
故选B
例2

如图，若已知，用“”说明，还需要的一个条件是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】找到根据“”判定需要条件，作出证明即可．
【详解】解：还需添加的条件是，理由是：
在和中，
，
∴，
故选：B．
变1
如图，与相交于点，，若用“”证明，还需添加的条件是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用对顶角相等，则要根据“”证明，需要添加对应边与相等即可．
【详解】解：，
当时，可利用“”判断，
故选：B．
变2
如图，B、A、D、E在同一直线上，，，利用“”使得，则只需添加的一个条件是　 　．

【答案】
【分析】由平行线的性质得出，由的判定方法求解即可．
【详解】解：添加条件：，理由如下：
∵，
∴，
在和中， ，
∴；
故答案为：．
题型五 “边角边”判定三角形全等

例1

如图，，，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】如图，先证明 再利用证明即可．
【详解】证明：


又，，
在与中，

∴．
例2

如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据“”证即可．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
变1
已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：

【答案】见解析
【分析】由“SAS”可证．
【详解】证明：∵
∴
即
∴在和中，
，
∴（SAS）
变2
如图，已知EC=BF，AC=DF，∠C=∠F，求证：．

【答案】见解析
【分析】先证得，再利用证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中

∴．
例3

如图，已知，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】根据证明，即可得出结论；
【详解】解：∵
∴
即：
在和中
∴
∴
例4

已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE．
（1）如图1，点E在BC上，求证：BC=BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC=BD﹣BE．

【分析】（1）先证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，则可得出结论；
（2）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，
即∠DAB=∠EAC，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BE+CE=BD+BE；
（2）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB，
即∠DAB=∠EAC，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=CE﹣BE=BD﹣BE．
变3
如图，已知，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】先证明，从而可以利用来判定．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中
，
∴．
变4
如图，在和中，，点C在上．求证：

（1）；
（2）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据等式的性质，可得，根据SAS，可得两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得，根据等量代换，可得证明结论．
【详解】（1）证明：，
，
即．
在和中，
，
；
（2）证明：，





例5

如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点C处，，，连接、，点A恰好在线段上．

（1）求证：；
（2）当，则AE的长度为　 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)8
(3)，理由见解析

【分析】（1）求出，根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可；
（3）如图，与相交于点O，根据全等三角形的性质可得，结合求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在与中，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
故答案为：8；
（3）解：，
理由：如图，与相交于点O，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
变5
如图，，，，．

（1）求证：；
（2）图中、有怎样的关系？试证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)，，理由见解析

【分析】（1）根据，并结合图形可推出，再根据，，结论即可得证；
（2）如图，设交于点，交于点，由（1）的结论可推出，，由，，可得出，可得，由此即可解决问题．
（1）
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）
解：结论：，．理由如下：
如图，设交于点，交于点，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．

课后强化

1.如图，在四边形中，，，若连接相交于点，则图中全等三角形共有（　　）

A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可；
【详解】解：由，，可以判定；
∴，
由，，可以判定；
由，，可以判定；
共对全等三角形；
故选：C．
2.如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是　 　．

【答案】
【分析】由图形可知为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴可补充，
在和中，
，
∴；
故答案为：．
3.如图，已知AB=AC，AD=AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为　 　（只写一种）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】根据已知条件选择合适的全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可．
【详解】解：添加条件为，理由是：
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS）．
故答案为：
4.如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，
．
5.如图，，，相交于点．

（1）求证；
（2）求证．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．

【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质可知角相等，再根据全等三角形的判定可知，进而得出线段相等．
【详解】（1）解：在和中，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
6.已知，如图，在四边形中，，平分，E为上任意一点，连接，求证：．

【答案】见解析
【分析】先证明，得出，再证明即可
【详解】证明：∵平分，
∴
在与中，

∴
∴
在与中，

∴
7.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（　　）

A．∠B=∠E，BC=EC
B．∠B=∠E，AC=DC
C．∠A=∠D，BC=EC
D．BC=EC，AC=DC
【分析】由AB=DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．
【解答】解：A、若AB=DE，∠B=∠E，BC=EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．
B、若AB=DE，AC=DC，∠B=∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
C、若AB=DE，BC=EC，∠A=∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
D、若AB=DE，BC=EC，AC=DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
故选：A．
8.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：△ABC≌△ADE．

【答案】见解析
【分析】由 可得，根据全等三角形的判定即可证明结论．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
，
即，
在和中，

．
9.如图所示，点，在上，，求证：．

【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的性质，得出，，，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴．
10.如图，已知：AD=AB，AE=AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．

【分析】证明△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质得到CD=BE，∠ADC=∠ABE，根据三角形内角和定理得出∠BFD=∠BAD=90°，证明结论．
【解答】解：猜想：CD=BE，CD⊥BE，
理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠DAB=∠EAC=90°．
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△ACD和△AEB中，
AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∵∠AGD=∠FGB，
∴∠BFD=∠BAD=90°，即CD⊥BE．