题型十 阅读理解及定义型问题 （专题训练）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型十 阅读理解及定义型问题 （专题训练）

1．（·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（    ）

A． B． C．2 D．3

2．（山东省菏泽市2021年中考数学真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．

3．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（    ）

A．0 B．2 C．3 D．4

4．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（    ）

A．或 B． C．或 D．或

6．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）

A．且 B． C．且 D．

7．（广西贵港市2021年中考数学真题）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是________．

8．（2021·湖北中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．

9．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝－1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是          ．（填序号）

10．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　   　．

11．（2019•济宁）阅读下面的材料：

如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，

（1）若x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则称f（x）是增函数；

（2）若x1<x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．

例题：证明函数f（x）=（x＞0）是减函数．

证明：设0<x1<x2，

f（x1）–f（x2）=．

∵0<x1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．

∴＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．

∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数f（x）=+x（x<0），

f（–1）=+（–1）=0，f（–2）=+（–2）=–．

（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；

（2）猜想：函数f（x）=+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

12．（2022·四川凉山）阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝

材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．

解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝        ；x1x2＝        ．

(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．

(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．

13.（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若+=45，则x=__________；

②若–=26，则y=__________；

③若+=，则t=__________；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，•–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；

②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．

14．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．

（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；

（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；

（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．

15．（江苏省南通市2021年中考数学试题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．

（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；

（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

16.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是x=，y=，那么称点T是点A，B的融合点。

例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x==1，y==2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点。

（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点.

（2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.

①试确定y与x的关系式.

②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.

17.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝－（x－2）2＋m＋2的顶点．

（1）当m＝0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数．

（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

18.（2019 ·扬州）如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段．

请依据上述定义解决如下问题：

（1）如图1，在锐角中，，，则　　；

（2）如图2，在中，，，，求的面积；

（3）如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求，

19．（2022·山西·中考真题）阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况

下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：

（1）时，抛物线开口向上．

①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．

∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．

②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．

∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．

∴一元二次方程有两个相等的实数根．

③当时，

……

（2）时，抛物线开口向下．

……

任务：

(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是       （从下面选项中选出两个即可）；

A．数形结合

B．统计思想

C．分类讨论．

D．转化思想

(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；

(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为

20．（2022·浙江嘉兴）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：

（数据来自某海洋研究所）

(1)数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．

②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？

(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．

(3)数学应用：根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？

21.（2019·甘肃天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．

试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．