辽宁省葫芦岛市2023届高三（文科）第二次模拟考试数学试卷（含解析）

辽宁省葫芦岛市2023届高三（文科）第二次模拟考试

数学试卷

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（    ）

A．1 B． C． D．5

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．采购经理指数（），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.如图为国家统计局所做的我国2018年月份的采购经理指数（）的折线图，若指数为，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的个数为（    ）

①2018年1至12月的指数逐月减少；

②2018年1至12月的指数的最大值出现在2018年5月份；

③2018年1至12月的指数的中位数为；

④2018年1月至3月的月指数相对6月至8月，波动性更大.

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图的框图中，若输入，则输出的的值为（    ）

A． B． C． D．

6．在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面

积介于25cm2与49 cm2之间的概率为

A． B． C． D．

7．已知函数在R上为减函数，则实数的取值范围为（    ）.

A． B． C． D．

8．已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，若、的中点在轴上的射影分别为，，且，则抛物线的准线方程为

A． B． C． D．

9．将函数的图象向右平移个单位长度单位后得函数图象，若为偶函数，则（    ）

A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

10．在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（   ）

A． B． C． D．

11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象

D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

12．设为常数，，，则（    ）

A． B．

C．满足条件的不止一个 D．恒成立

二、填空题

13．二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______．

14．已知函数f（x）=，则f（1）=____，函数y=f（x）的定义域为 ____

15．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是___________.

三、双空题

16．定义：数列{an}，{bn}满足＝，则称数列{bn}为{an}的“友好数列”.若数列{an}的通项公式an＝3n+1，n∈N*，则数列{an}的“友好数列“{bn}的通项公式为______；记数列{bn﹣tn}的前n项和为Sn.且Sn≤S6，则t的取值范围是_______.

四、解答题

17．为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如下.

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克?

附：相关系数公式，参考数据：．

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

18．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．

(1)求角A的大小；

(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．

19．如图，在直角梯形ABCD中，，，，沿对角线BD将折至的位置，记二面角的平面角为.

(1)当时，求三棱锥的体积；

(2)若E为BC的中点，当时，求二面角的正弦值.

20．已知椭圆（）的离心率为，且经过点

(1)求椭圆的方程；

(2)过作两直线与抛物线（m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线，的斜率分别为，

①求证：为定值；

②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

21．已知函数

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调区间；

(3)设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.

22．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：(α为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：ρ.

(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(Ⅱ)曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．

23．已知函数的图象关于原点对称，且当时，

(1)试求在R上的解析式；

(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.

参考答案：

1．B

【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可.

【详解】由题意知，，

所以.

故选：B.

2．A

【分析】利用复数除法运算求得，由此求得

【详解】，

.

故选：A

3．C

【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“，”的否定是“，”.

故选：C

4．C

【解析】根据折线图分析极差、中位数数据得解

【详解】1月到5月PMI指数有增有减，所以① 错误；2018年5月的指数的最大，所以② 正确；根据折线图，，所以③ 正确；1月至3月的月指数极差为，6月至8月的月指数极差为，故1月至3月的月指数波动性更大，所以④ 正确；

故选：C

【点睛】统计中样本极差、方差体现数据波动性情况，中位数、平均数体现样本数据整体水平情况，属于基础题.

5．B

【解析】根据程序框图逐步计算即可.

【详解】输入,,进入循环体：

,,判定为否；

,,判定为否；

,,判定为否；

,,判定为是；

输出.

故选：B

【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入结果计算输出结果问题,属于基础题.

6．A

【详解】试题分析：要使方形的面积介于25cm2与49 cm2之间，需使线段AP的长介于5cm到7cm之间，所以其概率为．

考点：几何概型．

点评：解决概率问题要先判断属于什么概率概型，本题是几何概型．把问题转化为了长度之比，属于基础题型．

7．B

【分析】由在R上为减函数,故在上为减函数,在时为减函数,且当时的函数值大于等于的函数值.分别计算即可.

【详解】由题在R上为减函数,故 ,故

故选B

【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,注意单个区间上要满足单调性,且在区间交接处也要满足单调性,属于基础题型.

8．D

【分析】设AF,FB的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.

【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,

由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，

设，则，

联立直线和抛物线的方程得，

所以，

所以抛物线的准线方程为.

故选D

【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．D

【解析】根据三角函数平移关系求出的解析式，结合是偶函数求出，利用三角函数的单调性进行求解即可.

【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度单位后得函数图象，

则，

若为偶函数，则，

即，

∵，

∴当时，，

即，

当时，，此时不具备单调性，故A，B错误，

当时，，此时为增函数，故D正确，

故选：D

【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力.

10．B

【分析】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，先利用等体积法求出，再结合勾股定理求出，再根据球的体积公式即可得出答案.

【详解】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，

由等体积法得，

设，正的中心为，

则，，

由，得，

故

故选：B.

11．D

【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】解：由题图可得，，故，所以，

又，即，所以，

又，所以，所以.

当时，，故函数关于对称，故A错误；

当时，，即函数关于对称，故B错误；

将函数的图象向左平移个单位长度得到函数

的图象，故C错误；

当时，，则当，即时，单调递减，

当，即时，单调递增，

因为，，，

所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确.

故选：D

12．D

【分析】利用赋值法逐一对各选项进行验证.

【详解】令，可得，

因为，所以，故选项A不正确；

令，得，

代入，得，

原等式变形为，故选项B不正确；

在中，

令，得，即函数取值非负，

令，得，所以，

即恒成立，满足条件的只有一个，

故选项D正确，C不正确.

故选:D.

13．

【分析】方法1：利用古典概型概率公式直接计算可得.

方法2：可先求得从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数，利用对立事件的性质，求出从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，利用古典概型概率公式计算可得.

【详解】方法1：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，

求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两步完成：

第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有，

第二步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有：，

所以从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，

所以，．

方法2：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，

从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有：，

从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，

所以，．

故答案为：.

14．     2     ，，

【分析】根据函数的解析式求出（1）的值，再求使解析式有意义的的取值范围．

【详解】函数，

则（1），

令，

解得且，

函数的定义域为，，．

故答案为：2，，，．

【点睛】本题考查了函数的定义域与求函数值的应用问题，是基础题．

15．

【分析】根据正弦函数的性质求解的零点，再根据零点与区间端点的位置关系列式求解范围即可

【详解】求解有，即或，解得或.又在区间上有且仅有两个零点，因为在正半轴的零点依次为，，，故，解得

故答案为：

16．     bn＝6n+3    

【分析】由“友好数列”的定义写出的递推关系后，利用两式相减可求得其通项公式，中是最大值，由可得的范围．

【详解】由题意，∴，①，所以时，，②，①－②得，，

又，综上，，

令，因为，所以中是最大值，由于是等差数列，

∴，解得．

故答案为：；．

【点睛】本题考查数列新定义，考查等差数列前项和的最大值．根据数列新定义在求通项公式时要注意首项与后面各项求法上的差异，必须验证．等差数列前项的最值问题可能通过项的正负来确定，即满足时，最大（但要注意有可能或），满足时，最小（同样有可能与或相等）．

17．（1）0.95，答案见解析；（2）700千克．

【分析】（1）根据表中的数据先求出，再求，，，然后利用公式求出相关系，再作判断即可，

（2）根据线性回归方程公式求出回归方程，然后将代入回归方程中可求得西红柿亩产量的增加量

【详解】解：（1）由已知数据可得，

，

所以，

，

，

所以相关系数．

因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．

（2），，

所以回归方程为．

当时，，

即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克．

18．(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.

选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.

选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.

（2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.

【详解】（1）若选择①，∵．∴，

∵，∴，

即，

∵∴；

若选择②，∵，

∴，

∴，

∴，

，

∵∴；

若选择③，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，又∵．∴，

∴，∵，∴；

（2）设，，，

在中，用余弦定理可得，

即 ①，

又∵在中，，

即.即，即 ②，

在中，用余弦定理可得，

即 ③，③+①可得，

将②式代入上式可得，．

19．(1)

(2)

【分析】（1）当时，可证得平面，得到CD为三棱锥的高，

代入体积公式，从而得到结果.

（2）取BD的中点F，连接，证得为二面角的平面角，过作于点O，过作于点G，连接OG，OF，证得为二面角的平面角，从而求得结果.

（1）

当时，平面平面BCD.

在直角梯形ABCD中，，所以，所以，

因为平面平面，平面BCD，所以平面，

所以CD为三棱锥的高，

故.

（2）

取BD的中点F，连接，因为，所以.

因为E为BC的中点，连接EF，则EF为的中位线，所以.

因为，所以，

所以为二面角的平面角，即.

因为，所以平面.

因为平面BCD，所以平面平面BCD.

因为平面平面，所以过作于点O，则平面BCD.

因为平面BCD，所以.

过作于点G，连接OG，OF，

因为，所以平面，所以，

所以为二面角的平面角.

在中，，，.

在中，.

在中，，

所以，故二面角的正弦值为.

20．(1)

(2)① 证明见解析；②直线恒过定点

【分析】（1）根据椭圆的几何性质列方程求解，即可得椭圆的方程；

（2）①设过与抛物线相切的直线方程为（），联立直线与抛物线根据得到关于切线斜率的一元二次方程，由韦达定理可求得得值；②设直线：，，，代入椭圆方程可得较短坐标关系，根据①中结论或，从而判断直线所过定点，即可得结论.

【详解】（1）由题可得，解得，

所以椭圆C的方程为

（2）①设过与抛物线相切的直线方程为（），

消去y得：，

，即

直线，的斜率分别为，，则，是方程的两根

，，

消去m得：

②设直线：，，，

，消去x得：

所以，

因为，所以，所以

整理得：

即，所以．

所以或，

当时，，PQ恒过定点与A重合，舍去

当时，PQ恒过定点

综上所述，直线PQ恒过定点.

21．(1)；

(2)见解析；

(3).

【分析】（1）,求出函数的定义域,函数的导数,求出曲线在点处切线的斜率,然后求解切线的方程；

（2）求出函数的定义域为及其导函数,分，和讨论即可；

（3）当时,说明函数不存在极值点，当时,利用函数在区间上存在极值点，推出，解出即可.

【详解】（1）若,函数的定义域为,

则曲线在点处切线的斜率为，

而,则曲线在点处切线的方程为.

（2）函数的定义域为，，

①当时,由,且此时,

可得，

令,解得或,函数为减函数，

令,解得，且,

所以当时，函数为增函数，

所以函数的单调减区间为，

单调增区间为

②当时,函数的单调减区间为，无单调增区间，

当时,函数的单调减区间为,，无单调增区间，

当时,由,所以函数的单调减区间为.

即当时，函数的单调减区间为，无单调增各区间，

③当时,此时.令,

解得或,但,

所以当,时,函数为减函数;

令,解得,函数为增函数.

所以函数的单调减区间为，

函数的单调增区间为，

综上所述，时，单调减区间为，

单调增区间为

时，单调减区间为，无单调增各区间，

时，单调减区间为，

单调增区间为.

（3）①当时,由（2）问可知,函数在上为减函数,

所以不存在极值点;

②当时,由（2）可知,在上为增函数,

在上为减函数.

若函数在区间上存在极值点,则,

解得或,

所以.

综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于找到分类讨论的标准，即边界值的寻找，同时注意其定义域，即分母不为0，第三问主要是要在第二问的基础上讨论，时，无极值，时，数形结合，根据导数与极值的关系得到，解出即可.

22．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.

【详解】试题分析: （1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；

（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．

试题解析：

(Ⅰ)曲线，

可得：

曲线C的普通方程：x2＋y2＝4.

直线l：ρsin＝1＝ρsin θ＋ρcos θ，

直线l的直角坐标方程：x＋y－2＝0.

(Ⅱ)∵圆C的圆心(0，0)半径为2，，圆心C到直线的距离为1，

∴这三个点在平行直线l1与 l2上，如图：直线l1与 l2与l的距离为1.

l1：x＋y＝0，l2：x＋y－4＝0.

，可得    

两个交点(－，1)、(，－1)；

解得(1，)，

这三个点的极坐标分别为：、、.

点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.

23．(1)

(2)函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；

【分析】（1）依题意是上的奇函数，即可得到，再设，根据时的解析式及奇函数的性质计算可得；

（2）由（1）中的解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间；

【详解】（1）解：的图象关于原点对称，

是奇函数，．

又的定义域为，，解得．

设，则，

当时，，

，

所以；

（2）解：由（1）可得的图象如下所示：

由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；