【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题02 二次根式运算及运用

  专题02  二次根式运算及运用

 二次根式运算及运用是本章节考试必考考点，也是为学习后面内容打下扎实基础。主要在解答题中的计算题或者材料阅读题为主。这个专题难度不大，但很重要，需要反复练习巩固。

【考点刨析】

考点1：分母有理化

  分母有理化：分母中的根号化去，叫做分母有理化

有理化因式：如果两个二次根式相乘的积不含二次根式，那么这两个二次根式为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：

①单项分母：利用.

②两项分母：利用平方差公式

如：

考点2：二次根式的混合运算

考点3：二次根式的大小比较

 方法1：公式法 ： 将括号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小

         平方法：   将二次根式平方，去掉根号，再比较大小

方法2：倒数法：下把元二次根式写出他的倒数，通过比较两者间倒数的大小，倒数的则原二次根式反而小。

考点4： 二次根式的化简求值

【典例分析】

【考点1：分母有理化】

【典例1】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：

＝；（一）

＝＝；（二）

＝＝＝；（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化

还可以用以下方法化简：

＝＝＝；（四）

（1）化简＝　  　 ＝　   　

（2）请用不同的方法化简．

①参照（三）式得＝　          

②步骤（四）式得＝　          　

（3）化简：

+++…+．

【变式1-1】（2022•南京模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：

（1）将分母有理化可得 　    　；

（2）关于x的方程的解是 　    　．

【变式1-2】（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．

例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2×＝（±）2，所以＝＝±；

材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）；

请根据材料解答下列问题：

（1）＝　   　；＝　   　．

（2）化简：+++…+．

【变式1-3】（2022春•大连月考）阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+）（2﹣）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）4+的有理化因式可以是　    ，分母有理化得　   　．

（2）计算：

①．

②已知：x＝，y＝，求x2+y2的值．

【考点2：二次根式的混合运算】

【典例2】（2022秋•绥中县校级期末）计算：

（1）；

（2）．

【变式2-1】（2022秋•城关区校级期末）计算．

（1）；

（2）．

【变式2-2】（2022秋•城关区校级期末）计算：

（1）；

（2）．

【变式2-3】（2022秋•通川区期末）计算下列各题．

（1）；

（2）．

【考点3：二次根式的大小比较】

【典例3】（2021秋•岳麓区校级月考）比较二次根式的大小：﹣4　　﹣3（填“＜”、“＝”、“＞”）．

【变式3-1】（2020秋•昌平区期末）比较大小：

（1）　　5；

（2）　　．

【变式3-2】（2021秋•市北区期末）比较大小：　  ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．

【典例4】（1）比较与的大小；

（2）比较﹣与﹣的大小．

【变式4-1】利用分母有理化法比较大小

比较与的大小．

【变式4-2】请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大．

①﹣与﹣；

②+与+；

【考点4： 二次根式的化简求值】

【典例5】（2022•南京模拟）计算：

（1）已知，，试求x2﹣xy+y2的值．

（2）先化简，再求值：，其中．

【变式5-1】（2022秋•驻马店期中）已知：a＝+2，b＝﹣2，求：

（1）ab的值；

（2）a2+b2﹣ab的值．

【变式5-2】（2022秋•章丘区校级月考）已知，．

（1）求ab的值；

（2）求a2+b2的值．

【变式5-3】（2022春•湖北期末）求值：

（1）已知x＝﹣1，求x2+5x﹣6的值．

（2）先化简，再求值：，其中m＝．

【夯实基础】

1．（2022秋•驿城区校级期末）计算：

（1）；

（2）（2﹣1）2+（+1）（﹣1）．

2．（2022春•龙岩校级月考）计算：

（1）；      （2）；

（3）；    （4）．

3．（2022秋•平南县期末）计算：

（1）； （2）．

4．（2022秋•宣汉县校级期末）计算．

（1）；

（2）．

5．（2022秋•历城区校级期末）计算：

（1）；      （2）；

（3）．

6．（2022春•东莞市月考）已知a＝2+，b＝2﹣，试求下列各式的值．

（1）a2﹣b2；

（2）a2+2ab+b2．

7．（2022•丹棱县模拟）先化简．再从﹣1，0，1，2，中选择一个合适的x的值代入求值．

8.（2022春•黄梅县期中）计算：

（1）已知x＝2﹣，y＝2+，求代数式x2+xy+y2的值；

（2）先化简，再求值：（），其中x＝2+．

9．先化简，再求值：

（1）﹣，其中x＝﹣；

（2）÷（1﹣），其中a＝2+，b＝2﹣．

10．（2022•东平县校级开学）化简计算

（1）先化简，再求值：，其中．

【能力提升】

11．（2022春•怀仁市期中）阅读下列材料，然后解答问题：

在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简：

＝＝：（一） ＝＝：（二）

＝＝＝：（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

＝＝＝＝．（四）

请解答下列问题：

（1）请用不同的方法化简．

①参照（三）式得＝　    　；

②参照（四）式得＝　＝＝       ；

（2）化简：++；（保留过程）

（3）猜想：+++…+的值．（直接写出结论）

12．（2022春•定州市期中）阅读下列解题过程：＝＝＝﹣＝﹣2；

＝＝＝2+2；

请解答下列问题：

（1）观察上面解题过程，计算；

（2）请直接写出的结果．（n≥1）

（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．

13．（2021秋•盐湖区期末）阅读下列解题过程：

＝＝＝﹣1；

＝＝＝﹣．

请回答下列问题：

（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．

①＝        ；②＝　   　；

（2）应用：求++++…+的值；

（3）拓广：﹣+﹣＝　﹣1　．

14．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】

材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．

例如：化简

解：

材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n．

例如：化简

解：+1

【理解应用】

（1）填空：化简的结果等于 　  　．

（2）计算：

①；

②．