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【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题01 等腰三角形分类讨论问题综合应用（附详细解析）
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这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题01 等腰三角形分类讨论问题综合应用（附详细解析），共40页。学案主要包含了新方法解读，典例分析，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
专题01 等腰三角形分类讨论问题综合应用
在初中阶段，等腰三角形是一种特殊的三角形，其角有顶角、底角之分，边有腰、底边之分。就是因为这种特殊性，在解决具体问题时，如果理不清题意，往往会出现漏解或错解，因此，在求解等腰三角形的相关问题时一定要考虑到可能出现的所有情况，进行分类讨论，分类解决。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文主要从以下几种情形进行分析。
【新方法解读】
类型一：腰和底不明时需讨论
类型二：顶角和底角不明时需讨论
类型三：涉及中线、高位置的讨论
类型四：等腰三角形个数的讨论
类型五：动点引起的分类讨论
【典例分析】
【考点1 腰和底不明时需分类】
【典例1】（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（ ）
A．26 B．26或34 C．34 D．20
【变式1-1】（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定
【变式1-2】（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【变式1-3】（2022秋•东莞市校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长等于（ ）
A．21 B．21或27 C．55 D．27
【考点2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°
【变式2-1】（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【变式2-2】（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（ ）
A．70° B．55° C．60° D．70°或55°
【考点3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2022秋•临高县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边BC的长．
【变式3-1】（2022秋•东平县校级期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．无法确定
【变式3-2】（2022秋•綦江区校级月考）在△ABC中，AB＝BC，AB边上的中线CD将△ABC的周长分为15和6两个部分，求△ABC的三边长分别为（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3
【变式3-3】（2022秋•沙洋县期中）在△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm．
（1）求AB的取值范围；
（2）若AC上的中线BD将这个三角形的周长分成8cm和12cm两部分，求BC的长．
【典例4】（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°
【变式4-1】（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70°
【变式4-2】（2022秋•东昌府区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．50° B．27° C．64°或27° D．63°或27°
【变式4-3】（2022秋•右玉县期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．55°或125° B．55° C．125° D．35°或55°
【考点4 等腰三角形个数的讨论】
【典例5】（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式5-1】（2022秋•五华区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA与x轴的夹角为60°，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【变式5-2】（2020秋•金平区校级期末）坐标平面上有点A（0，3），B（6，0），坐标轴上存在 个点C，使△ABC为等腰三角形．
【考点5 动点引起的分类】
【典例6】（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
【变式6-1】（2020秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
【夯实基础】
1．（2022秋•宜州区期中）若等腰三角形的一边长为2，周长为10，则它的腰长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．不能确定
2．（2022秋•包河区校级期中）已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3 B．8 C．3或8 D．8或5.5
3．（2022秋•南宁月考）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）
A．30° B．75° C．30°或75° D．60°
4．（2022秋•黄陂区校级期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
5．（2022秋•龙马潭区期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6和12两部分，则等腰三角形的底边长（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2或10
6．（2022秋•泰州月考）若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm
7．（2022秋•平桂区 期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
8．（2022秋•硚口区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的大小是（ ）
A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°
9.（2022秋•北关区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为6与15两部分，求三角形各边长．
10．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
11．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【能力提升】
12．（2021秋•围场县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022秋•嘉峪关期末）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
14．（2022春•九龙坡区校级月考）在周长为10的△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
15．（2021秋•蚌埠期末）已知：如图，A1，A2，A3是∠MON的ON边上顺次三个不同的点，B1，B2，B3是∠MON的OM边上顺次三个不同的点，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3．
（1）当∠MB1A2＝45°时，∠MON＝ ；
（2）若OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3，则∠MON的最小值是 ．
16．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
专题01 等腰三角形分类讨论问题综合应用
在初中阶段，等腰三角形是一种特殊的三角形，其角有顶角、底角之分，边有腰、底边之分。就是因为这种特殊性，在解决具体问题时，如果理不清题意，往往会出现漏解或错解，因此，在求解等腰三角形的相关问题时一定要考虑到可能出现的所有情况，进行分类讨论，分类解决。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文主要从以下几种情形进行分析。
【新方法解读】
类型一：腰和底不明时需讨论
类型二：顶角和底角不明时需讨论
类型三：涉及中线、高位置的讨论
类型四：等腰三角形个数的讨论
类型五：动点引起的分类讨论
【典例分析】
【考点1 腰和底不明时需分类】
【典例1】（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（ ）
A．26 B．26或34 C．34 D．20
【答案】C
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为6，底边长为14时，
∵6+6＝12＜14，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为14，底边长为6时，
∴它的周长＝14+14+6＝34；
综上所述：它的周长为34，
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【答案】A
【解答】解：分两种情况：
当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣5）＝7.5，
综上所述：此等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
【变式1-3】（2022秋•东莞市校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长等于（ ）
A．21 B．21或27 C．55 D．27
【答案】D
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为5，底边长为11时，
∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，
当等腰三角形的腰长为11，底边长为5时，
则它的周长＝11+11+5＝27，
综上所述：则它的周长等于27，
故选：D
【考点2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°
【答案】C
【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：C．
【变式2-1】（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【答案】B
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角是×（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（ ）
A．70° B．55° C．60° D．70°或55°
【答案】D
【解答】解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，底角＝70°．
故选：D．
【考点3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2022秋•临高县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边BC的长．
【解答】解法1：设AB＝AC＝2xcm，BC＝ycm，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝xcm，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴①，
解得，
∴BC＝22cm，
②，
解得，
∴BC＝14cm，
解法2、∵BD是△ABC的中线，
∴AC＝CD＝2AD，
设AD＝CD＝acm，
∴AB＝AC＝2acm，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，
①当AB+AD＝24cm时，
∴2a+a＝24，
∴a＝8，
∴BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，
②当AB+AD＝30cm时，
∴2a+a＝30，
∴a＝10，
∴BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm
【变式3-1】（2022秋•东平县校级期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：根据题意，
①当AC+AC＝15，解得AC＝10，
所以底边长＝12﹣×10＝7；
②当AC+AC＝12，解得AC＝8，
所以底边长＝15﹣×8＝11．
所以底边长等于7或11．
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•綦江区校级月考）在△ABC中，AB＝BC，AB边上的中线CD将△ABC的周长分为15和6两个部分，求△ABC的三边长分别为（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3
【答案】A
【解答】解：设底边长为x，
①BC+BD＝15时，3BD＝15，BD＝5，，
所以，AD+AC＝6，即5+x＝6，
解得x＝1，
此时，三角形的三边为：1，10，10；
②BC+BD＝6时，3BD＝6，解得BD＝2，
∴AB＝BC＝4，
∴AD+AC＝15，即2+x＝15，
解得x＝13，
此时，三角形的三边为：13，4，4（不能构成三角形，舍去），
∴三角形的三边长分别为：1，10，10．
故选：A．
【变式3-3】（2022秋•沙洋县期中）在△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm．
（1）求AB的取值范围；
（2）若AC上的中线BD将这个三角形的周长分成8cm和12cm两部分，求BC的长．
【解答】解：（1）设AB＝AC＝xcm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴BC＝20﹣（AB+AC）＝（20﹣2x）cm，
∴，
解得：5＜x＜10，
∴AB长度的取值范围为5＜x＜10；
（2）设AB＝AC＝x，BC＝y，
∵BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝．
当AB+AD＝8cm时，有，
解得，
∴三边长分别为cm，cm，cm．
当AB+AD＝12cm时，，
解得，
∴三边长分别为8cm，8cm，4cm，
经检验，两种情况均符合实际情况．
综上所述，BC的长为4cm或cm．
【典例4】（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°
【答案】B
【解答】解：①如图，三角形是锐角三角形时，
∠A＝90°﹣40°＝50°
底角为：×（180°﹣50°）＝65°，
②如图2，三角形是钝角三角形时，
∵∠BAC＝90°+40°＝130°，
底角为：×（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，底角为65°或25°．
故选：B．
【变式4-1】（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70°
【答案】D
【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，
②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．
故选：D．
【变式4-2】（2022秋•东昌府区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．50° B．27° C．64°或27° D．63°或27°
【答案】D
【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故选：D．
【变式4-3】（2022秋•右玉县期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．55°或125° B．55° C．125° D．35°或55°
【答案】A
【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是90°﹣35°＝55°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是90°+35°＝125°．
故选：A．
【考点4 等腰三角形个数的讨论】
【典例5】（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【解答】解：如图，
以A为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有一个交点，
以B为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有两个交点，与y轴有两个交点，
作AB的垂直平分线，与x轴，y轴各有一个交点，
∴这样的P点有7个，
故选：D．
【变式5-1】（2022秋•五华区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA与x轴的夹角为60°，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】A
【解答】解：如图：
由题意得：∠AOP＝60°，
∵△AOP是等腰三角形，
∴△AOP是等边三角形，
分三种情况：
当OA＝OP时，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交x轴于点P1，P2；
当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO长为半径作圆，交x轴于点P1；
当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交x轴于点P1；
综上所述：以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有2个，
故选：A．
【变式5-2】（2020秋•金平区校级期末）坐标平面上有点A（0，3），B（6，0），坐标轴上存在 个点C，使△ABC为等腰三角形．
【答案】8
【解答】解：如图所示，
以A为圆心，以AB的长为半径画弧与坐标轴分别交于C、D、E，此时C、D、E三个点都满足题意；
以B为圆心，AB的长为半径画弧与坐标轴分别交于F、G、H，此时三个点都满足题意；
作线段AB的垂直平分线与坐标轴交于M、N，此时M、N两个点都满足题意；
∴一共有8个点满足题意，
故答案为：8．
【考点5 动点引起的分类】
【典例6】（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+20°，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，
∴2∠CDE＝20°，
∴∠CDE＝10°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴2∠CDE＝∠BAD，
∴∠BAD＝40°；
故答案为：40°．
（3）2β＝α，
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+α，∠AED＝∠C+β，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+α，
即∠C+β+β＝∠B+α，
∴2β＝α．
【变式6-1】（2020秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．
【变式6-2】（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
【解答】解：（1）当t＝2时，点P走过的路程为：2×2＝4（cm），
∵AB＝6cm，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣4＝2（cm），
故答案为：2；
（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，
∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
∴AP＝AB＝3（cm），
∴t＝3÷2＝1.5（秒），
②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝6cm，
∴BP＝CB﹣CD＝2（cm），
∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+2）÷2＝4（秒），
③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝6cm，
∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+8+6+6）÷2＝13（秒），
综上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒时，△CDP是等腰三角形．
【夯实基础】
1．（2022秋•宜州区期中）若等腰三角形的一边长为2，周长为10，则它的腰长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长为2时，
∵等腰三角形的周长为10，
∴等腰三角形的腰长＝×（10﹣2）＝4，
当等腰三角形的腰长为2时，
∵等腰三角形的周长为10，
∴等腰三角形的底边长＝10﹣2×2＝6，
∴等腰三角形的的三边长为2，2，6，
∵2+2＝4＜6，
∴不能组成三角形；
综上所述：它的腰长为4，
故选：B．
2．（2022秋•包河区校级期中）已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3 B．8 C．3或8 D．8或5.5
【答案】D
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8时，
∵等腰三角形的周长为19，
∴等腰三角形的底边长＝19﹣2×8＝3，
∴等腰三角形的三边长分别为8，8，3，
∵3+8＝11＞8，
∴能组成三角形；
当等腰三角形的底边长为8时，
∵等腰三角形的周长为19，
∴等腰三角形的腰长＝×（19﹣8）＝5.5，
∴等腰三角形的三边长分别为5.5，5.5，8，
∵5.5+5.5＝11＞8，
∴能组成三角形；
综上所述：等腰三角形的腰长为8或5.5，
故选：D．
3．（2022秋•南宁月考）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）
A．30° B．75° C．30°或75° D．60°
【答案】C
【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；
②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×＝75°，
∴底角为30°或75°．
故选：C．
4．（2022秋•黄陂区校级期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
【答案】C
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°，底角为（180°﹣80°）＝50°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°．
故选：C．
5．（2022秋•龙马潭区期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6和12两部分，则等腰三角形的底边长（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2或10
【答案】C
【解答】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为x，y，
由题意得或，
解得或．
∵4+4＜10，不能构成三角形，
故等腰三角形的底边长为2cm，
故选：C．
6．（2022秋•泰州月考）若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm
【答案】C
【解答】解：∵等腰三角形一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，
∴可知有两种情况：①此等腰三角形腰长与底边长为之差为3cm，②底边长与腰长之差为3cm．
又∵底边长为6cm，
∴其腰长为9m或3cm．
又∵三角形两边之和要大于第三边，可是如果要为3，则3+3＝6，不为三角形了，
故选：C．
7．（2022秋•平桂区 期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：C．
8．（2022秋•硚口区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的大小是（ ）
A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°
【答案】D
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，
故选：D．
9.（2022秋•北关区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为6与15两部分，求三角形各边长．
【解答】解：∵DB为△ABC的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝CD＝AB，
分两种情况：
当时，
解得：，
∵4+4＝8＜13，
∴不能组成三角形；
当时，
解得：，
∴三角形各边长分别为10，10，1．
10．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
【解答】解：（1）∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
分两种情况：
①，
解得：，
∴AB＝AC＝18，
∴这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9，
②，
解得：，
∴AB＝AC＝12，
∴这个等腰三角形的腰长为12，底边长为21，
综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为9或腰长为12，底边长为21，
（2）分两种情况：
当∠A＜90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为66°；
当∠A＞90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣132°）＝24°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为24°；
综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为66°或24°．
11．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12．
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合．
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【能力提升】
12．（2021秋•围场县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
13．（2022秋•嘉峪关期末）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
【答案】D
【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示，
∵CD⊥AB，CD＝AC，
取AC的中点E，连接DE，
∴DE＝AE＝CE＝AC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
故其底角为15°或75°．
故选：D．
14．（2022春•九龙坡区校级月考）在周长为10的△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
【答案】2或
【解答】解：根据题意，
①当AB﹣BC＝2时，3BC+4＝10，解得BC＝2，
则2，4，4能够组成三角形，
所以底边长为2；
②当BC﹣AB＝2时，3BC﹣4＝10，解得BC＝，
则，，能够组成三角形，
所以底边长为，
综上所述，底边长为2或．
故答案为：2或．
15．（2021秋•蚌埠期末）已知：如图，A1，A2，A3是∠MON的ON边上顺次三个不同的点，B1，B2，B3是∠MON的OM边上顺次三个不同的点，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3．
（1）当∠MB1A2＝45°时，∠MON＝ ；
（2）若OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3，则∠MON的最小值是 ．
【答案】15°；18°
【解答】解：（1）∵OA1＝A1B1＝B1A2，
∴∠MON＝∠A1B1O，∠B1A1A2＝∠B1A2A1，
∵∠B1A1A2＝∠MON+∠A1B1O，∠MB1A2＝∠MON+∠B1A2A1，
∴∠B1A1A2＝2∠MON，∠MB1A2＝3∠MON＝45°，
∴∠MON＝15°，
故答案为：15°；
（2）∵B1A2＝A2B2＝B2A3，
∴∠A2B1M＝∠A2B2B1＝3∠MON，∠B2A2A3＝∠B2A3A2，
∵∠B2A2A3＝∠MON+∠A2B2B1＝4∠MON，
∴∠MB2A3＝∠MON+∠B2A3A2＝5∠MON，
∵OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3，
∴∠MB2A3的最小值是90°，
∴5∠MON的最小值是90°，
∴∠MON的最小值是18°．
故答案为：18°．
16．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
专题01 等腰三角形分类讨论问题综合应用
在初中阶段，等腰三角形是一种特殊的三角形，其角有顶角、底角之分，边有腰、底边之分。就是因为这种特殊性，在解决具体问题时，如果理不清题意，往往会出现漏解或错解，因此，在求解等腰三角形的相关问题时一定要考虑到可能出现的所有情况，进行分类讨论，分类解决。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文主要从以下几种情形进行分析。
【新方法解读】
类型一：腰和底不明时需讨论
类型二：顶角和底角不明时需讨论
类型三：涉及中线、高位置的讨论
类型四：等腰三角形个数的讨论
类型五：动点引起的分类讨论
【典例分析】
【考点1 腰和底不明时需分类】
【典例1】（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（ ）
A．26 B．26或34 C．34 D．20
【变式1-1】（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定
【变式1-2】（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【变式1-3】（2022秋•东莞市校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长等于（ ）
A．21 B．21或27 C．55 D．27
【考点2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°
【变式2-1】（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【变式2-2】（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（ ）
A．70° B．55° C．60° D．70°或55°
【考点3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2022秋•临高县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边BC的长．
【变式3-1】（2022秋•东平县校级期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．无法确定
【变式3-2】（2022秋•綦江区校级月考）在△ABC中，AB＝BC，AB边上的中线CD将△ABC的周长分为15和6两个部分，求△ABC的三边长分别为（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3
【变式3-3】（2022秋•沙洋县期中）在△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm．
（1）求AB的取值范围；
（2）若AC上的中线BD将这个三角形的周长分成8cm和12cm两部分，求BC的长．
【典例4】（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°
【变式4-1】（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70°
【变式4-2】（2022秋•东昌府区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．50° B．27° C．64°或27° D．63°或27°
【变式4-3】（2022秋•右玉县期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．55°或125° B．55° C．125° D．35°或55°
【考点4 等腰三角形个数的讨论】
【典例5】（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式5-1】（2022秋•五华区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA与x轴的夹角为60°，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【变式5-2】（2020秋•金平区校级期末）坐标平面上有点A（0，3），B（6，0），坐标轴上存在 个点C，使△ABC为等腰三角形．
【考点5 动点引起的分类】
【典例6】（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
【变式6-1】（2020秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
【夯实基础】
1．（2022秋•宜州区期中）若等腰三角形的一边长为2，周长为10，则它的腰长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．不能确定
2．（2022秋•包河区校级期中）已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3 B．8 C．3或8 D．8或5.5
3．（2022秋•南宁月考）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）
A．30° B．75° C．30°或75° D．60°
4．（2022秋•黄陂区校级期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
5．（2022秋•龙马潭区期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6和12两部分，则等腰三角形的底边长（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2或10
6．（2022秋•泰州月考）若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm
7．（2022秋•平桂区 期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
8．（2022秋•硚口区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的大小是（ ）
A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°
9.（2022秋•北关区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为6与15两部分，求三角形各边长．
10．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
11．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【能力提升】
12．（2021秋•围场县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022秋•嘉峪关期末）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
14．（2022春•九龙坡区校级月考）在周长为10的△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
15．（2021秋•蚌埠期末）已知：如图，A1，A2，A3是∠MON的ON边上顺次三个不同的点，B1，B2，B3是∠MON的OM边上顺次三个不同的点，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3．
（1）当∠MB1A2＝45°时，∠MON＝ ；
（2）若OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3，则∠MON的最小值是 ．
16．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
专题01 等腰三角形分类讨论问题综合应用
在初中阶段，等腰三角形是一种特殊的三角形，其角有顶角、底角之分，边有腰、底边之分。就是因为这种特殊性，在解决具体问题时，如果理不清题意，往往会出现漏解或错解，因此，在求解等腰三角形的相关问题时一定要考虑到可能出现的所有情况，进行分类讨论，分类解决。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文主要从以下几种情形进行分析。
【新方法解读】
类型一：腰和底不明时需讨论
类型二：顶角和底角不明时需讨论
类型三：涉及中线、高位置的讨论
类型四：等腰三角形个数的讨论
类型五：动点引起的分类讨论
【典例分析】
【考点1 腰和底不明时需分类】
【典例1】（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（ ）
A．26 B．26或34 C．34 D．20
【答案】C
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为6，底边长为14时，
∵6+6＝12＜14，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为14，底边长为6时，
∴它的周长＝14+14+6＝34；
综上所述：它的周长为34，
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【答案】A
【解答】解：分两种情况：
当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣5）＝7.5，
综上所述：此等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
【变式1-3】（2022秋•东莞市校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长等于（ ）
A．21 B．21或27 C．55 D．27
【答案】D
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为5，底边长为11时，
∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，
当等腰三角形的腰长为11，底边长为5时，
则它的周长＝11+11+5＝27，
综上所述：则它的周长等于27，
故选：D
【考点2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°
【答案】C
【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：C．
【变式2-1】（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【答案】B
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角是×（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（ ）
A．70° B．55° C．60° D．70°或55°
【答案】D
【解答】解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，底角＝70°．
故选：D．
【考点3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2022秋•临高县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边BC的长．
【解答】解法1：设AB＝AC＝2xcm，BC＝ycm，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝xcm，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴①，
解得，
∴BC＝22cm，
②，
解得，
∴BC＝14cm，
解法2、∵BD是△ABC的中线，
∴AC＝CD＝2AD，
设AD＝CD＝acm，
∴AB＝AC＝2acm，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，
①当AB+AD＝24cm时，
∴2a+a＝24，
∴a＝8，
∴BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，
②当AB+AD＝30cm时，
∴2a+a＝30，
∴a＝10，
∴BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm
【变式3-1】（2022秋•东平县校级期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：根据题意，
①当AC+AC＝15，解得AC＝10，
所以底边长＝12﹣×10＝7；
②当AC+AC＝12，解得AC＝8，
所以底边长＝15﹣×8＝11．
所以底边长等于7或11．
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•綦江区校级月考）在△ABC中，AB＝BC，AB边上的中线CD将△ABC的周长分为15和6两个部分，求△ABC的三边长分别为（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3
【答案】A
【解答】解：设底边长为x，
①BC+BD＝15时，3BD＝15，BD＝5，，
所以，AD+AC＝6，即5+x＝6，
解得x＝1，
此时，三角形的三边为：1，10，10；
②BC+BD＝6时，3BD＝6，解得BD＝2，
∴AB＝BC＝4，
∴AD+AC＝15，即2+x＝15，
解得x＝13，
此时，三角形的三边为：13，4，4（不能构成三角形，舍去），
∴三角形的三边长分别为：1，10，10．
故选：A．
【变式3-3】（2022秋•沙洋县期中）在△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm．
（1）求AB的取值范围；
（2）若AC上的中线BD将这个三角形的周长分成8cm和12cm两部分，求BC的长．
【解答】解：（1）设AB＝AC＝xcm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴BC＝20﹣（AB+AC）＝（20﹣2x）cm，
∴，
解得：5＜x＜10，
∴AB长度的取值范围为5＜x＜10；
（2）设AB＝AC＝x，BC＝y，
∵BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝．
当AB+AD＝8cm时，有，
解得，
∴三边长分别为cm，cm，cm．
当AB+AD＝12cm时，，
解得，
∴三边长分别为8cm，8cm，4cm，
经检验，两种情况均符合实际情况．
综上所述，BC的长为4cm或cm．
【典例4】（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°
【答案】B
【解答】解：①如图，三角形是锐角三角形时，
∠A＝90°﹣40°＝50°
底角为：×（180°﹣50°）＝65°，
②如图2，三角形是钝角三角形时，
∵∠BAC＝90°+40°＝130°，
底角为：×（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，底角为65°或25°．
故选：B．
【变式4-1】（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70°
【答案】D
【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，
②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．
故选：D．
【变式4-2】（2022秋•东昌府区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．50° B．27° C．64°或27° D．63°或27°
【答案】D
【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故选：D．
【变式4-3】（2022秋•右玉县期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．55°或125° B．55° C．125° D．35°或55°
【答案】A
【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是90°﹣35°＝55°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是90°+35°＝125°．
故选：A．
【考点4 等腰三角形个数的讨论】
【典例5】（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【解答】解：如图，
以A为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有一个交点，
以B为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有两个交点，与y轴有两个交点，
作AB的垂直平分线，与x轴，y轴各有一个交点，
∴这样的P点有7个，
故选：D．
【变式5-1】（2022秋•五华区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA与x轴的夹角为60°，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】A
【解答】解：如图：
由题意得：∠AOP＝60°，
∵△AOP是等腰三角形，
∴△AOP是等边三角形，
分三种情况：
当OA＝OP时，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交x轴于点P1，P2；
当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO长为半径作圆，交x轴于点P1；
当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交x轴于点P1；
综上所述：以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有2个，
故选：A．
【变式5-2】（2020秋•金平区校级期末）坐标平面上有点A（0，3），B（6，0），坐标轴上存在 个点C，使△ABC为等腰三角形．
【答案】8
【解答】解：如图所示，
以A为圆心，以AB的长为半径画弧与坐标轴分别交于C、D、E，此时C、D、E三个点都满足题意；
以B为圆心，AB的长为半径画弧与坐标轴分别交于F、G、H，此时三个点都满足题意；
作线段AB的垂直平分线与坐标轴交于M、N，此时M、N两个点都满足题意；
∴一共有8个点满足题意，
故答案为：8．
【考点5 动点引起的分类】
【典例6】（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+20°，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，
∴2∠CDE＝20°，
∴∠CDE＝10°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴2∠CDE＝∠BAD，
∴∠BAD＝40°；
故答案为：40°．
（3）2β＝α，
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+α，∠AED＝∠C+β，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+α，
即∠C+β+β＝∠B+α，
∴2β＝α．
【变式6-1】（2020秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．
【变式6-2】（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
【解答】解：（1）当t＝2时，点P走过的路程为：2×2＝4（cm），
∵AB＝6cm，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣4＝2（cm），
故答案为：2；
（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，
∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
∴AP＝AB＝3（cm），
∴t＝3÷2＝1.5（秒），
②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝6cm，
∴BP＝CB﹣CD＝2（cm），
∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+2）÷2＝4（秒），
③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝6cm，
∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+8+6+6）÷2＝13（秒），
综上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒时，△CDP是等腰三角形．
【夯实基础】
1．（2022秋•宜州区期中）若等腰三角形的一边长为2，周长为10，则它的腰长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长为2时，
∵等腰三角形的周长为10，
∴等腰三角形的腰长＝×（10﹣2）＝4，
当等腰三角形的腰长为2时，
∵等腰三角形的周长为10，
∴等腰三角形的底边长＝10﹣2×2＝6，
∴等腰三角形的的三边长为2，2，6，
∵2+2＝4＜6，
∴不能组成三角形；
综上所述：它的腰长为4，
故选：B．
2．（2022秋•包河区校级期中）已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3 B．8 C．3或8 D．8或5.5
【答案】D
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8时，
∵等腰三角形的周长为19，
∴等腰三角形的底边长＝19﹣2×8＝3，
∴等腰三角形的三边长分别为8，8，3，
∵3+8＝11＞8，
∴能组成三角形；
当等腰三角形的底边长为8时，
∵等腰三角形的周长为19，
∴等腰三角形的腰长＝×（19﹣8）＝5.5，
∴等腰三角形的三边长分别为5.5，5.5，8，
∵5.5+5.5＝11＞8，
∴能组成三角形；
综上所述：等腰三角形的腰长为8或5.5，
故选：D．
3．（2022秋•南宁月考）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）
A．30° B．75° C．30°或75° D．60°
【答案】C
【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；
②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×＝75°，
∴底角为30°或75°．
故选：C．
4．（2022秋•黄陂区校级期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
【答案】C
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°，底角为（180°﹣80°）＝50°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°．
故选：C．
5．（2022秋•龙马潭区期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6和12两部分，则等腰三角形的底边长（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2或10
【答案】C
【解答】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为x，y，
由题意得或，
解得或．
∵4+4＜10，不能构成三角形，
故等腰三角形的底边长为2cm，
故选：C．
6．（2022秋•泰州月考）若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm
【答案】C
【解答】解：∵等腰三角形一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，
∴可知有两种情况：①此等腰三角形腰长与底边长为之差为3cm，②底边长与腰长之差为3cm．
又∵底边长为6cm，
∴其腰长为9m或3cm．
又∵三角形两边之和要大于第三边，可是如果要为3，则3+3＝6，不为三角形了，
故选：C．
7．（2022秋•平桂区 期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：C．
8．（2022秋•硚口区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的大小是（ ）
A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°
【答案】D
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，
故选：D．
9.（2022秋•北关区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为6与15两部分，求三角形各边长．
【解答】解：∵DB为△ABC的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝CD＝AB，
分两种情况：
当时，
解得：，
∵4+4＝8＜13，
∴不能组成三角形；
当时，
解得：，
∴三角形各边长分别为10，10，1．
10．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
【解答】解：（1）∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
分两种情况：
①，
解得：，
∴AB＝AC＝18，
∴这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9，
②，
解得：，
∴AB＝AC＝12，
∴这个等腰三角形的腰长为12，底边长为21，
综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为9或腰长为12，底边长为21，
（2）分两种情况：
当∠A＜90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为66°；
当∠A＞90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣132°）＝24°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为24°；
综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为66°或24°．
11．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12．
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合．
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【能力提升】
12．（2021秋•围场县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
13．（2022秋•嘉峪关期末）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
【答案】D
【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示，
∵CD⊥AB，CD＝AC，
取AC的中点E，连接DE，
∴DE＝AE＝CE＝AC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
故其底角为15°或75°．
故选：D．
14．（2022春•九龙坡区校级月考）在周长为10的△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
【答案】2或
【解答】解：根据题意，
①当AB﹣BC＝2时，3BC+4＝10，解得BC＝2，
则2，4，4能够组成三角形，
所以底边长为2；
②当BC﹣AB＝2时，3BC﹣4＝10，解得BC＝，
则，，能够组成三角形，
所以底边长为，
综上所述，底边长为2或．
故答案为：2或．
15．（2021秋•蚌埠期末）已知：如图，A1，A2，A3是∠MON的ON边上顺次三个不同的点，B1，B2，B3是∠MON的OM边上顺次三个不同的点，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3．
（1）当∠MB1A2＝45°时，∠MON＝ ；
（2）若OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3，则∠MON的最小值是 ．
【答案】15°；18°
【解答】解：（1）∵OA1＝A1B1＝B1A2，
∴∠MON＝∠A1B1O，∠B1A1A2＝∠B1A2A1，
∵∠B1A1A2＝∠MON+∠A1B1O，∠MB1A2＝∠MON+∠B1A2A1，
∴∠B1A1A2＝2∠MON，∠MB1A2＝3∠MON＝45°，
∴∠MON＝15°，
故答案为：15°；
（2）∵B1A2＝A2B2＝B2A3，
∴∠A2B1M＝∠A2B2B1＝3∠MON，∠B2A2A3＝∠B2A3A2，
∵∠B2A2A3＝∠MON+∠A2B2B1＝4∠MON，
∴∠MB2A3＝∠MON+∠B2A3A2＝5∠MON，
∵OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3，
∴∠MB2A3的最小值是90°，
∴5∠MON的最小值是90°，
∴∠MON的最小值是18°．
故答案为：18°．
16．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
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