【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形（原卷版+解析版）

专题14  倍长中线法与截长补短法构造全等三形

模型一：倍长中线法构造全等三角形

模型二：截长补短法构造全等三角形

【典例分析】

【模型一：倍长中线法构造全等三角形】

△ABC中 , AD是BC边中线    

方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE       

方式2：间接倍长

（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E    （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN

倍长中线法原理：

    延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相

【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　 　．

A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL

（2）求得AD的取值范围是 　 　．

A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　）

A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7

【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．

求证：AB+AD＞2AE；

【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

（2）探究应用：

如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

【模型二：截长补短法构造全等三角形】

【典例2】（2020秋•富县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC＞BD﹣CD．

【变式2-1】（2020秋•顺庆区校级期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD．

【变式2-2】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系．

【典例3】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

【变式3-1】（2012•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【变式3-2】（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．

（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；

（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．

【夯实基础】

1．（2021秋•新城区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（　　）

A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对

2．（2021秋•南充期末）如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．

求证：BE∥CF．

3．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．

（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．

（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．

4．（2021秋•汉阳区校级月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．

（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.

5．（2021秋•南召县期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是　         　．

（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．

6．已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．

7.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．”

李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：

方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝　   　即可，这就将证明线段和差问题　   　为证明线段相等问题，只要证出△　   　≌△　   　，得出∠B＝∠AED及BD＝　   　，再证出∠　   　＝　   　，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能．

方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠　   　＝∠C，再证出△　   　≌△　   　，则结论成立．

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．

8．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．

（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；

（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．