【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题07 直角三角形中的锐角平分线模型（原卷版+解析版）

专题07 直角三角形中的锐角平分线模型

【模型】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知AC=6，BC=8，AD是△ABC的角平分线，求DC的长.

【解析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，

则△ACD≌△AED(AAS)，

∴AE=AC=6.

在Rt△ABC中，由勾股定理

得=10

易知EB=设DC=x，

则DE=x，DB=8 - x，

在Rt△DEB中，由勾股定理

解得x=3，∴DC=3.

【典例分析】

【典例1】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD的长吗？请写出求解过程．

【解答】解：能

∵BC2+AC2＝225，AB2＝225

∴AB2＝BC2+AC2．

∴∠C＝90°

∵折叠

∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°

∴BE＝AB﹣AE＝6cm

在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2．

∴BD2＝（12﹣BD）2+36

∴BD＝

【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，则AB的长度为　  　cm．

【答案】4

【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，

∴CD＝DE．

又∵AD＝AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC＝AE，

∴BD+DE＝BD+CD＝BC．

又∵AC＝BC，

∴AE＝BC，

∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AE+BE＝4cm，

∴AB＝4cm．

故填4

【变式1-2】如图，直角三角形纸片的两直角边AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合．求CD的长．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AC＝6cm，BC＝8cm，

∴AB＝＝＝10（cm），

∵△AED是△ACD翻折而成，

∴AE＝AC＝6cm，

设DE＝CD＝xcm，∠AED＝90°，

∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4cm，

在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，

即（8﹣x）2＝42+x2，

解得x＝3．

故CD的长为3cm．

【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为 　　．

【答案】cm

【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，

根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，

∵AC＝8，

∴CE＝AE﹣AC＝2，

即CE的长为2，

设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE，

在Rt△CDE中，根据勾股定理得

CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，

解得x＝，

即CD长为cm．

故答案为：cm．

【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．

（1）求BC的长；

（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；

（3）当AP＝CQ时，求t的值？

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，

∴BC＝＝24cm．

（2）如图，连接PQ，

BP＝7﹣2＝5，

BQ＝6×2＝12，

在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ＝＝13（cm）；

（3）设t秒后，AP＝CQ．则

t＝24﹣6t，

解得 t＝．

答：P、Q两点运动秒，AP＝CQ．

【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；

（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时，（cm），

①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，

BP＝BC＝8，

∴t＝8，

②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，

在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，

在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，

∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，

解得：t＝，

综上所述，t＝8或；

（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，

由勾股定理得：BC＝＝8（cm），

∵△ABP为等腰三角形，

当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；

当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；

当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，

在Rt△ACP中，由勾股定理得：

PC2+AC2＝AP2，

∴（8﹣x）2+62＝x2，

解得x＝，

∴t＝．

综上所述：t的值为16或10或．

【夯实基础】

1．（2022•雁塔区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（　　）

A．7 B．8 C．4 D．4

【答案】D

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，

由勾股定理得：DE＝＝＝5，

∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠CAD＝∠ADE，

∴AE＝DE＝5，

∴AC＝AE+EC＝8，

∴AD＝＝＝4，

故选：D．

2．（2021秋•定州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（　　）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】D

【解答】解：作DE⊥AB于E，

∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝DC＝3，

故选：D．

3．（2022秋•海曙区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为（　　）

A．4 B． C． D．5

【答案】B

【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠CDA＝90°，

∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，

∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF＝∠FAD，

∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，

∴CE＝CF，

∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，

∴FC＝FG，

∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，

∴BC＝，

在Rt△ACF和Rt△AGF中，

，

∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），

∴AC＝AG＝9，

设CE＝x，则FC＝FG＝x，BF＝12﹣x，BG＝15﹣9＝6，

∵FG2+BG2＝BF2，即x2+62＝（12﹣x）2，

解得x＝，

即CE＝，

故选：B．

4．（2021秋•鹿城区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边的高线，则BD的长为 　　．

【答案】

【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，

∵AB＝AC＝5，BC＝8，

∴BE＝EC＝4，

∴AE＝，

∵，

∴，

∴BD＝，

故答案为：．

5．（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是　  　．

【答案】8cm

【解答】解：连接BE，

∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，

∴∠C＝∠BDE＝90°，

在Rt△BCE与Rt△BDE中，

，

∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），

∴DE＝CE，

∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，

∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣8＝8（cm），

故答案为：8cm．

6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC＝BD，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，则△ADE的周长是　 　．

【答案】6cm

【解答】解：如图，连接BE．

∵DE⊥AB，

∴∠BDE＝90°，

∴∠BDE＝∠C＝90°．

在Rt△BDE与Rt△BCE中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），

∴CE＝DE，

∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AD+AC＝AB﹣BC+AC＝5﹣3+4＝6（cm）．

故答案是：6cm．

7．（2021秋•连云港期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　  　．

【答案】

【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD，

∴AE是CD的垂直平分线．

∴CE＝DE．

∴∠ADE＝∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝15．

∴BD＝AB﹣AD＝6．

∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，

∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，

∴9×12＝9CE+15DE，

∴DE＝，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：

BE＝＝＝，

故答案为：．

8．（2021秋•东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；

（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时，（cm），

①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，

BP＝BC＝8，

∴t＝8，

②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，

在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，

在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，

∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，

解得：t＝，

综上所述，t＝8或；

（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，

由勾股定理得：BC＝＝8（cm），

∵△ABP为等腰三角形，

当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；

当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；

当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，

在Rt△ACP中，由勾股定理得：

PC2+AC2＝AP2，

∴（8﹣x）2+62＝x2，

解得x＝，

∴t＝．

综上所述：t的值为16或10或．

9．（2021秋•揭东区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．

（1）求证：△BDC是直角三角形；

（2）求AC的长．

【解答】证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，

∴BC2＝BD2+CD2，

∴△BDC为直角三角形；

（2）设AB＝x，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB＝AC＝x，

∵AC2＝AD2+CD2，

即x2＝（x﹣5）2+122，

解得：x＝16.9，

∴AC＝16.9．

【能力提升】

10．（2022•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．

（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；

（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．

【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∵BC＝10，

∴BD＝5，

Rt△ABD中，∵AB＝13，

∴AD＝＝＝12，

在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴DF＝BD＝5，

∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；

（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，

在△CHB和△AEF中，

，

∴△CHB≌△AEF（SAS），

∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，

∴∠CEF＝∠CHE，

∴CE＝CH，

∵BD＝CD，FD⊥BC，

∴CF＝BF，

∴∠CFD＝∠BFD＝45°，

∴∠CFB＝90°，

∴EF＝FH，

在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，

∴BF2+EF2＝AE2．

11．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．

（1）求BF的长；

（2）直接写出DE的长．

【解答】解：（1）∵AB＝AC＝13，F是BC中点，

∴AF⊥BC，BF＝CF，

∵AF＝12，

∴CF＝，

∴BF＝5；

（2）连接CD，

∵BF＝CF＝5，

∴BC＝10，

∴S△ABC＝BC•AF＝60；

∵AD＝BD，

∴S△ADC＝S△BCD＝S△ABC＝30，

即AC•DE＝30，

∴DE＝．