【期末常考压轴题】苏科版八年级数学下册-专题17 反比例函数与几何图形的综合问题压轴题五种模型 全攻略讲学案

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专题17 反比例函数与几何图形的综合问题压轴题五种模型全攻略
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目录
【典型例题】 1
【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】 1
【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】 11
【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】 19
【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】 27
【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】 38

【典型例题】
【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】
例题：（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图象上，且轴于点．若点的坐标为，则的值为（    ）

A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】首先根据等边三角形的性质得到，进而求出，然后利用角直角三角形的性质求出，然后利用等边三角形的性质得到，利用勾股定理得到，进而得到点B的坐标，然后代入即可求出k的值．
【详解】∵为等边三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点恰好在反比例函数的图象上，
∴，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求得点B的坐标是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考阶段练习）如图，等腰直角三角形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C在反比例函数的图象上，且轴．若点C的坐标为，则的值为 （    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过点C作于点D，由等腰直角三角形的性质可知，轴．由点在反比例函数的图象上，可得．设，得点B的坐标为，代入可得，求得，即可点A的坐标为，将其代入，即可求得．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵是等腰直角三角形，即：，
则轴．

∵点在反比例函数的图象上，
∴．
设，
∴点B的坐标为，
∴，解得（不合题意，舍去），，
∴点A的坐标为，将其代入，
即：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式及等腰直角三角形的性质，添加辅助线，利用等腰三角形的性质表示出点B的坐标是解决问题的关键．
2．（2023·山东淄博·山东省淄博第六中学校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在反比例函数的图象上，且是等边三角形，若，则k的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，根据等边三角形的性质可得，根据两点之间的距离公式可得，进而得出，则，再得出，整理得出，即可求解．
【详解】解：∵点A，B都在反比例函数的图象上，
∴设，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
整理得：，
，
，
∴，解得，
∵，
∴，
，
∴，则，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，两点之间的距离公式，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，以及两点之间的距离公式．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．

【答案】/
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，

∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去) ，
∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去)，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
4．（2023·广东广州·统考一模）如图，、、、…、都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点、、、…、都在轴上，点、、、…、都在反比例函数的图象上，则点的坐标为______，点的坐标为______．

【答案】
【分析】由于是等腰直角三角形，可知直线的解析式为，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是的横坐标的两倍，从而确定点的坐标；由于，都是等腰直角三角形，则，直线可看作是直线向右平移个单位长度得到的，因而得到直线的解析式，同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是线段的中点，从而确定点的坐标；依此类推，从而确定点的坐标，即可求得点的坐标，得出规律，即可得到结果．
【详解】解：过作轴于，
∵是等腰直角三角形，
∴是的中点，
．
可得的坐标为，
的解析式为：，
，
的表达式一次项系数与的一次项系数相等，
将代入，
，
的表达式是，
与联立，解得，．
同上，，．
，，
以此类推，点的坐标为，，
∴
故答案为：，．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2023·山东济南·统考一模）已知在等腰直角三角形中，，，．

(1)如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______；
(2)如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m；
(3)如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)

(3)存在，或
【分析】（1）过C作轴，垂足为D，证明，得到，，即可得到结果；
（2）根据平移得到，，根据函数图像上的点得到，求出m值，再将代入表达式可得；
（3）求出的坐标，求出的表达式，得到与y轴交点坐标，再根据面积关系，作交y轴于点P，求出直线的表达式，得到点P坐标，再由平行线之间的距离的性质得到另一个点P坐标．
【详解】（1）解：如图，过C作轴，垂足为D，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，代入中，
得；

（2）由平移可得：，，
∵，都在反比例函数上，
∴，
解得：，
即，，
∴；
（3）存在，理由是：由平移可得，
设中点为D，则，即，
设的表达式为，
则，解得：，
∴的表达式为，
令，则，
∴直线与y轴交点为；
∵的面积是面积的一半，
∴作交y轴于点P，

设的表达式为，将D代入，
得，解得：，
∴的表达式为，
令，则，
∴，
∴点关于直线的对称直线与y轴交点为，
即，
综上：点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，图像的平移，一次函数解析式，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，（3）问较为综合，解题的关键是将面积与中点联系起来，结合平行线之间的距离求解．


【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】
例题：（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______．

【答案】6
【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案．
【详解】解：过点A作于，如图，

四边形为平行四边形，
轴，
四边形为矩形，
，
∵，

故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数和的图象上，则的值为（   ）

A． B．6 C． D．4
【答案】A
【分析】连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以=-k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABOC的面积=2S△OAC=6，即可求出k-2的值．
【详解】解：连接OA，如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC垂直y轴，
点A、C分别在反比例函数和的图象上，
∴=×|k|=-k，=×2=1，
∴=-k+1，
∵▱ABOC的面积=2=6．
∴-k+2=6，
∵k-2=-6，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
2．（2023春·山东济南·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，．反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，则________

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，利用平移坐标变化规律求出点C的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点A平移到点B，横坐标减2，纵坐标加1，
根据平行四边形的性质可知，点O平移到点C也是如此，
∴C点坐标为，
代入得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键是熟练运用平行四边形的性质求出反比例图象上点的坐标．
3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．

【答案】3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，

∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴ ，即，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
4．（2023·河南·模拟预测）如图，平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y（k＞0）的图象上，已知点B的坐标为（8，4），点C的横坐标为2．

(1)求反比例函数y（k＞0）的解析式；
(2)求平行四边形OABC的面积S．
【答案】(1)y
(2)16
【分析】（1）根据题意C（2，），利用平行四边形的性质得到A（6，4），代入y（k＞0）即可求得k＝6；
（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则S△COD＝S△AOE|k|，利用S＝S△COD+S梯形BCDF﹣S△AOE﹣S梯形AEFB＝S梯形BCDF﹣S梯形AEFB即可求得．
【详解】（1）解：∵平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y（k＞0）的图象上，点C的横坐标为2，
∴C（2，），
∵点B的坐标为（8，4），
∴A（6，4），
∴，
解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y．
（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则S△COD＝S△AOE|k|，
∵k＝6，
∴C（2，3），A（6，1），B（8，4），
∴CD＝3，AE＝1，BF＝4，
∴S＝S△COD+S梯形BCDF﹣S△AOE﹣S梯形AEFB
＝S梯形BCDF﹣S梯形AEFB
（3+4）（8﹣2）（1+4）（8﹣6）
＝21﹣5
＝16

【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
5．（2023·江西·九年级专题练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，其中，反比例函数的图象经过点．

(1)求的值；
(2)若点恰好落在反比例函数的图象上，求平行四边形的面积；
(3)当时，判断反比例函数的图象是否经过的中点，若经过，请说明理由，若不经过，求出与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】(1)
(2)平行四边形的面积为144
(3)反比例函数的图象经过的中点；理由见解析
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）由平行四边形的性质可用m表示出D点的坐标，从而可表示用m表示出E点的坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，则可求得C点坐标，再利用平行四边形的面积进行计算即可；
（3）由（2）可求得D点坐标，从而可求得CD的中点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
（1）
解：将点代入，得．
（2）
过点作于，过点作于，如图所示：

∵，，，
∴，
∴，，
过点作于，
∵，，
∴，，
∴点的坐标为，代入，得：，
所以，平行四边形的面积为．
（3）
∵四边形平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
设的中点为，过点作轴于点，
∴，，
∴的中点，
∵当时，，
∴反比例函数的图象经过的中点．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键，在（3）中求得C、D两点的坐标是解题的关键．


【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】
例题：（2023·广东佛山·石门中学校考一模）如图，矩形ABCD的边轴，顶点A在反比例函数上，点B、D在反比例函数上，则矩形ABCD的面积为（　　　）

A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】设点A坐标（m，），分别表示B、D的坐标，用坐标表示长和宽，再求矩形的面积即可．
【详解】解：设A点坐标为（m，），
∵ADx轴，且D在反比例函数（x＞0）上，
∴D（，），
∵ABx轴，且B在反比例函数（x＞0）上，
∴B（m，），
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数，通过设点坐标表示矩形的长和宽是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，四边形是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线，交于点D．双曲线经过点D与边，分别交于点E，点F，连接，，若四边形的面积为5，则k的值为（    ）

A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】设点D的坐标为，则，，，根据四边形的面积为：，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点D的坐标为，
∵点D为矩形对角线，的交点，
∴点D为对角线的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴点F的横坐标为，E点的纵坐标为，
∴，，
∵四边形的面积为：，
∴，
解得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，解题的关键是设出点D的坐标表示出点E和F的坐标，利用四边形的面积列方程．
2．（2023秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是5，则k的值为______．

【答案】2
【分析】过点A作轴于点，首先得出矩形的面积为：，矩形的面积为：7，利用矩形的面积是5，则求出即可．
【详解】过点A作轴于点，

∵点在双曲线上，点在双曲线上，
∴矩形的面积为：，矩形的面积为：7，
∵矩形的面积是5，
∴，解得：．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数关系的几何意义，得出矩形的面积是解题关键．
3．（2023·广东湛江·校考一模）如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E．

(1)求k的值及直线的解析式；
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，则，由轴对称的性质推出当最小时，的周长最小，即此时三点共线，求出直线的解析式为，再求出当时，，即可得到．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，
∴，
由轴对称的性质可知，
∴的周长，
∵是定值，
∴当最小时，的周长最小，即此时三点共线，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．

【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称——最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是的中点，过点D的反比例函数图像交于E点，连接．若，．

(1)求过点D的反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)x轴上是否存在点P使为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，或
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，得点坐标，然后再利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）先求点的坐标，得出的长，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据已知先设，然后根据为直角三角形，分两种情况进行讨论：①当时；②当时；然后分别进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
设反比例函数解析式为，
∵点D在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵D为的中点，且，
∴，
∴E点横坐标为8，且E在反比例函数图像上，
在中，令，可得，
∴，
∴，且，
∴；
（3）解：∵P在x轴上，
∴可设，
∵为锐角，
∴当为直角三角形时，有或，且点P在x轴正半轴上，
①当时，则轴，此时P点坐标为；
②当时，由，，
∴，且，，
由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或．
【点睛】此题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的方法、性质与公式，灵活运用分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．

例如，图1中，矩形ABCD的边ADBCx轴，ABCDy轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．
解决问题：
(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号）
(2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；
(3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
【答案】(1)①③
(2)y＝x
(3)见解析
【分析】（1）根据反比例函数图像上点的坐标的特征可得答案；
（2）根据矩形的性质和反比例函数图像上点的坐标的特征可得A（2，4），，从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式；
（3）设A（m,），C（n,），则B（m, ），D（n, ），利用待定系数法求出直线BD的解析式可得答案．
【详解】（1）①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4），
∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24，
∴A、C满足同一个反比例函数，
②∵A（1，5），C（2，3），
∴1×5＝5，2×3＝6，
∴A、C不满足同一个反比例函数，
③∵A（3，4），C（2，6），
∴3×4＝12，2×6＝12，
∴A、C满足同一个反比例函数，
∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，
故答案为：①③；
（2）解：∵点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，
∴A（2，4），，
∴D（，4），
设直线BD的解析式为y＝ax+b，
则，
∴，
∴y＝x；
（3）证明：∵A、C在反比例函数（k≠0）上，
设A（m,），C（n,），则B（m, ），D（n, ），
设直线BD的解析式为＝cx+d，
则，
∴，
即y＝x，
∴直线BD过原点．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标的特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随矩形”满足的两个条件是解题的关键．


【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】
例题：（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则的值为__________．

【答案】3
【分析】连接交于，由菱形的性质可知．根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值；
【详解】解：连接交于．

四边形是菱形，
，
菱形的面积，
顶点在反比例函数 的图象上，
，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．

【答案】
【分析】过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示和点B向下平移个单位的点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可解题．
【详解】解：过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，

在中，
，，
则，，
点B向下平移个单位的点为，即
则有
解得，
∴，
∴反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，坐标与图形的性质、菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
2．（2023春·福建泉州·九年级校联考期中）如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点，两点，若，，则________．

【答案】/
【分析】根据函数的图象关于直线对称，可知直线，即可求出，接着推论出，进而证明是含角的直角三角形，即可求出，代入反比例函数直接求出即可．
【详解】连接，过作于，过作于，
∵函数的图象关于直线对称，
∴，
设，
将代入，
∴，解得或，
∵，
∴，
∴，，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将代入，
可得，解得．
故答案为：.

【点睛】此题考查反比例函数的几何综合，解题关键是先根据对称性求出点坐标，然后根据菱形的性质推论出角的直角，即可分别求出三边的长，得到点坐标，最后将点的坐标代入解析式直接求解．
3．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点．以AB为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限．求点D的坐标．

【答案】
【分析】利用待定系数法求得一次函数的解析式，然后求得点A的坐标，利用勾股定理求得，由菱形的性质得出，即可求得点D的坐标为．
【详解】解：∵一次函数图象与x轴相交于点，
∴，解得，
∴一次函数为，
把点代入得，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求一阐述解析式，勾股定理，以及菱形的性质，求出点A的坐标是解答本题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
【答案】(1)y
(2)或
【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值；
（2）设点M的坐标，根据的面积是菱形面积的，列方程解出即可．
【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图1所示．

∵点的坐标为，
，

∵四边形为菱形，
，
三点共线，
∴点坐标为．
∵点在反比例函数y的图象上，
；
∴y；
（2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为y，

设点的坐标为，
的面积是菱形面积的，
，
，
或，
或．
【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用勾股定理及菱形的性质，找出点的坐标；（2）根据反比例函数解析式设点的坐标，列方程解决问题．
5．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与x轴相交于点B．

(1)求n和k的值．
(2)根据图象，当时，求x的取值范围．
(3)如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先将代入即可求出n的值，得出，再用待定系数法求解k的值即可；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出两交点的横坐标，结合图象，即可写出x的取值范围；
（3）先求出点B的坐标，得出的长度，根据菱形的性质可得，即可写出点D的坐标．
【详解】（1）解：将点代入得：；
∴，
将点代入得：，
解得：，
∴．
（2）解：联立函数表达式，
解得．
由图象可知，当时，或．
（3）解：对于，令，则．
，
∵，
．
∵四边形是菱形，
∴，，
的坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，菱形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，以及菱形四边相等．
6．（2023春·八年级课时练习）如图，菱形的点B在y轴上，点C坐标为，双曲线的图象经过点A．

(1)菱形的边长为 　 　；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)点B关于点O的对称点为D点，过点D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，将线段绕点A逆时针旋转得线段，若点Q恰好在双曲线上，求点Q的坐标．
【答案】(1)13
(2)
(3)
【分析】（1）连接交于J．根据菱形的性质可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解；
（2）求出点A的坐标，即可求解；
（3）过点A作于T，过点Q作于R．根据点B关于点O的对称点为D点，可得点，从而得到，再证明，可得，从而得到点Q的横坐标，即可求解．
【详解】（1）解：如图1中，连接交于J．

∵四边形是菱形，
∴，
∵点C坐标为，
∴，
∴，
∴菱形的边长为13，
故答案为：13．
（2）解：∵点C坐标为，
∴，
把代入中，得到，
∴双曲线的解析式为．
（3）解：如图中，过点A作于T，过点Q作于R．

由（1）得：，
∴点，
∵点B关于点O的对称点为D点，
∴点，
∵，直线l垂直于y轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点Q的横坐标为，
∴点Q落在双曲线上，
∴．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．


【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】
例题：（2023·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______．

【答案】4
【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据反比例函数的图象经过点B，把点B的坐标代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：正方形中，
，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质与待定系数法求反比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形为正方形．则点A的坐标是______．

【答案】
【分析】设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数，的图象上得，，根据四边形为正方形得，解得，得点A的纵坐标为5，将代入，进行计算即可得．
【详解】解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，
∵点A，B分别在函数，的图象上，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴
，
，（舍），
∴点A的纵坐标为5，
将代入得，，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图像经过点．

(1)点的坐标为 　   　；
(2)求反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)y
【分析】（1）先求出正方形边长，即可得的坐标；
（2）把的坐标代入，求出值，即可得反比例函数解析式．
【详解】（1）∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
故答案为：
（2）由（1）可得，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式．
【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标和待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是求出， 的坐标和掌握待定系数法．
3．（2023春·上海·八年级专题练习）如图已知在平面直角坐标系中，正方形顶点A、B的坐标分别为和．双曲线经过点D．

(1)求双曲线的函数解析式；
(2)将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度，可以使点C正好落在双曲线上．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）作轴交轴于点，由题意得即可得，根据四边形是正方形即可得，进而证明得，，进而即可计算得到解答；
（2）作轴交轴于点，同（1）易得，得到C点坐标，进而根据题意即可求出解答．
【详解】（1）解：如图，作轴交轴于点，
由题意得，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
由此可得：，，
则有，即．
又∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
即双曲线函数解析式为；
（2）作轴交轴于点，
同（1）易得，
∴，
∴，
若平移后点C落在双曲线上，平移后纵坐标保持不变，
则y轴值不变，
，
解得，
∴平移后坐标为，
由此可得将正方形沿x轴向左平移1个单位长度即可．

【点睛】本题考查了双曲线函数于几何综合，解决本题的关键是求出双曲线函数解析式．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内．

(1)点的坐标_________；
(2)将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，点、的坐标为、或、或P(-7，0)、Q(-3,-2)．
【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；
（2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示．

∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵点，，
∴，，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
（2）设反比例函数为，
由题意得：点坐标为，点坐标为，
∵点和在该比例函数图象上，
∴，
解得：，，
∴反比例函数解析式为．
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．
以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：

①B′D′为对角线时，
∵四边形B′PD′Q为平行四边形，
∴，
解得：，
∴P（，0），Q（，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴，
解得：，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴，
解得：．
∴P（-7，0）、Q（-3，-2）.
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，
符合题意的点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．