第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组——八年级数学下册期末复习章节知识点梳理（北师大版）

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1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.
【考点总结】
要点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
要点诠释：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点诠释：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
要点三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点诠释：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
【例题讲解】
类型一、不等式
例1．用不等式表示
（1）a的与一1的差是非正数．
（2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．
（3）a的减去4的差不小于-6．
（4）x的2倍与y的和不大于5．
（5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20．
【答案与解析】
【分析】根据题意以及不等式的定义列不等式．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于……
【训练】用适当的符号语言表达下列关系：
2．用不等式表示：
(1)7x与1的差小于4；
(2)x的一半比y的2倍大；
(3)a的9倍与b的的和是正数．
【答案】(1)7x－1＜4 (2)x＞2y (3)9a＋b＞0
【分析】
（1）7x与1的差是7x-1，小于4，再用小于号“<”与4连接即可；
（2）x的一半记作，y的2倍记作2y，然后用大于号“>”连接即可；
（3）a的9倍记作9a，b的记作，和是正数即相加后大于0．
解：由题意得
(1)7x－1＜4； (2)x＞2y； (3)9a＋b＞0
本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．
【答案】（1）； （2）；（3）。
例2.说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：
（1）由x＞－3，得x＞－6；___________________________;
（2）由3＋x≤5，得x≤2；______________________________;
（3）由－2x＜6，得x＞－3；____________________________;
（4）由3x≥2x－4，得x≥－4.___________________________;
【答案】（1）不等式的基本性质2；（2）不等式的基本性质1；
（3）不等式的基本性质3；（4）不等式的基本性质1.
【思路点拨】根据不等式的基本性质依次分析各小题即可得到结果。
（1）由x＞－3，根据不等式的基本性质2，两边同时乘以2得x＞－6；
（2）由3＋x≤5，根据不等式的基本性质1，两边同时减去3得x≤2；
（3）由－2x＜6，根据不等式的基本性质3，两边同时除以－2得x＞－3；
（4）由3x≥2x－4，根据不等式的基本性质1，两边同时减去2x得x≥－4.
考点：本题考查的是不等式的基本性质
【训练】a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”．
（1）______． （2）________0．
（3）__________． （4）________．
（5）________． （6）_______．
（7）________． （8）_______．
【答案】（1）>；（2）>；（3）>；（4）<；（5）<；（6）>；（7）>；（8）．
解：由数轴的定义得：，
（1）不等式的两边同加上3，不改变不等号的方向，则；
（2）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则，即；
（3）不等式的两边同乘以，不改变不等号的方向，则；
（4）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；
（5）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；不等式的两边同加上1，不改变不等号的方向，则；
（6）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则；
（7）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则；
（8）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则．
【点拨】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键．
类型二、一元一次不等式
例3. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数解．
【思路点拨】不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，找出解集中的最大整数解即可．
解：，
去分母得：6x+3≤4x﹣4+12，
移项合并得：2x≤5，
系数化为1得：x≤2.5，
则不等式的最大整数解为2．
【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：
【训练】解不等式并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】
【解析】先去分母、移项、合并同类项后把x的系数化为1，即可得到不等式的解集，再利用数轴表示解集即可．
解：，
，
，
，
不等式的解集在数轴上表示如下：
．
【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的一般步骤为：先去括号，再移项，接着合并同类项，然后把系数化为1.也考查了在数轴上表示不等式的解集．
例4.随着宁波市江北区慈城古县城旅游开发的推进，到慈城旅游的全国各地游客逐年上升．深受当地老百姓喜爱的两种本土特产杨梅和年糕，也深受外地游客的青睐．现在，有两种特产大礼包的组合是这样的：若购买2筐杨梅和3盒年糕，则需花费270元；若购买1筐杨梅和4盒年糕，则需花费260元．（杨梅、年糕分别按包装筐和包装盒计价）
（1）求一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是多少元？
（2）如果需购买两种特产共12件（1筐或1盒称为1件），要求年糕的盒数不高于杨梅筐数的两倍，请你设计一种购买方案，使所需总费用最低．
【答案】（1）一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是60元、50元；（2）购买4筐杨梅，8盒年糕时，总费用最少。
【分析】
（1）设一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是x元、y元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买n筐杨梅，则购买（12﹣n）盒年糕，总费用为m元，根据题意可得n的取值范围，列出n关于m的函数，根据一次函数性质即可设计购买方案．
解：（1）设一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是x元、y元，
根据题意，得，
解得．
答：一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是60元、50元．
（2）设购买n筐杨梅，则购买（12﹣n）盒年糕，总费用为m元，
根据题意，得12﹣n≤2n，
解得n≥4，
∴m=60n+50（12﹣n）=10n+600，
∵n＞0，
∴m随n的增大而增大，
∴当n=4时，m=640，
答：购买4筐杨梅，8盒年糕时，总费用最少．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数与实际问题等知识．解决本题关键是认真审题，根据题意确定数量关系，并应用数量关系确定所用数学知识解决问题．
【训练】计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米施工任务：若甲工程队先单独施工天，再由乙工程对单独施工天，则可以完成米的施工任务．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
（2）该河道全长米，若两队合作工期不能超过天，乙工程队至少施工多少天？
【答案】（1）甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；（2）乙工程队至少施工天
【分析】
（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据等量关系列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设乙工程队施工a天，根据不等量关系，列出一元一次不等式，即可求解．
解：（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，
根据题意得：，解得：，
答：甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；
（2）设乙工程队施工a天，
根据题意得：80a+50（90-a）≥6000，
解得：a≥50，
答：乙工程队至少施工天
【点拨】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．
类型三、一元一次不等式组
例5.解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【答案】不等式组的的解集为，数轴见解析
【分析】先分别求解不等式，再根据数轴表示不等式解集的方法准确画出图形即可．
解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的的解集为．
【点拨】
本题考查解不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，准确求解不等式组并理解数轴表示解集的细节是解题关键．
【训练】解不等式组：，并写出负整数解．
【答案】-3≤x＜-1，该不等式组的负整数解有-3、-2
【分析】
根据求出两个不等式的解集，然后取公共解集，再写出负整数解即可．
解：
解①，得x≥-3；
解②，得x＜-1
∴该不等式组的解集为-3≤x＜-1
∴该不等式组的负整数解有-3、-2．
【点睛】此题考查的是解一元一次不等式组，掌握不等式的解法和公共解集的取法是解题关键．
类型四、一元一次不等式与一次函数
例6. 某公司为了计算游客游览，设置了观光接驳车，如图1所示，公园设计的其中一条观光路线上设有A，B，C，D四个站点，相邻两个站点的距离是相同的，游客只能在站点上下车，一两接驳车在A，D之间匀速往返行驶，某时刻这辆接驳车从点A站出发，当运行时间为t分钟时（游客上下车的时间忽略不计），这辆接驳车与A站的距离为y千米，y与t的函数图象如图2所示．
综合上面信息，回答问题：
（1）这辆接驳车的运行速度为 千米/分钟，站点A，B之间的距离为 千米；
（2）当这辆接驳车运行到B站时，其对应的运行时间t为 分钟；
（3）小宇沿观光路线徒步游览，当他到达站点B，D之间的M处时，正好遇到开往D站的接驳车，此时他临时有事要赶回A站，于是他决定先返回走到B站，等待刚才那辆接驳车从D站开回，已知小宇步行的平均速度为0.1千米/分钟，若他能够不晚于这辆接驳车到达B站，则M处离A站的最远距离为 千米．
【答案】（1）0.5；5；（2）10分钟和50分钟；（3）
【分析】
（1）根据图像可得路程和时间，可计算出速度，再根据相邻两个站点的距离是相同的得到站点A，B之间的距离；
（2）可知接驳车运行到B站时距离A站5千米，结合图像回答即可；
（3）根据小宇走到站点B所需时间不多于接驳车到达站点B所需时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
解：（1）由题意可得：
15÷30=0.5（千米/分钟），
由于相邻两个站点的距离是相同的，
∴站点A，B之间的距离为15÷3=5千米，
故答案为：0.5；5；
（2）由图可知：当这辆接驳车运行到B站时，距离A站5千米，
由图可知：对应的运行时间t为：10分钟和50分钟，
故答案为：10分钟和50分钟；
（3）由题意可得：，
解得：x≤，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的难点是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【训练】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C． 已知点，，观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程的解是______；关于x的不等式的解集是______；
（2）直接写出关于x的不等式组的解集；
（3）若点，求关于x的不等式的解集和△ABC的面积．
【答案】(1)x=-1，；（2）-1＜x＜2；（3），．
【分析】
（1）利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
（3）两条直线相交于点C，根据点C的左右两边图像的位置可确定答案；利用三角形面积公式求得即可．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=-1，
关于x的不等式kx+b＜0的解集，为x＞2，
故答案为x=-1，x＞2；
（2）根据图象可以得到关于x的不等式组的解集-1＜x＜2；
（3）∵C(1, 3)，
根据图象可以得到关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集：
∵AB=3，
∴S△ABC=AB•yC=×3×3=．
【点拨】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
类型五、综合应用
例7.关于x的方程3x+2（3a+1）＝6x+a的解大于1，求a的取值范围．
【答案】a＞．
【分析】
解方程表示出x，由x大于1即可求出a的范围．
解：解方程3x+2（3a+1）＝6x+a，得：x＝，
根据题意得：＞1，
解得：a＞．
【点拨】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．
【训练】m为何值时，关于x的方程： 的解大于1？
【答案】
解：由，得，
∴，解得．
∴当时，关于x的方程： 的解大于1.
【训练】某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
（1）求这个月晴天的天数；
（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
【答案】（1）18天；（2）7年
【分析】
（1）设这个月晴天的天数为x，根据“某月（按30天计）共发电600度”列出关于x的方程，解之可得；
（2）设需要y年才能收回成本，根据家庭共投资3.5万元列出关于y的不等式，解之可得．
【详解】
解：（1）设这个月晴天的天数为x，
由题意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，
∴这个月晴天的天数为18．
（2）设需要y年才能收回成本，由题意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，
5238y≥35 000，
y≥6.7，
∵y取整数，
∴至少需要7年才能收回成本．
【点拨】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型．ax＝b
ax＞b
ax＜b
解：当a≠0时，；
当a＝0，b≠0时，无解；
当a＝0，b＝0时，x为任意有理数．
解：当a＞0时，；
当a＜0时，；
当a＝0，b≥0时，无解；
当a＝0，b＜0时，x为任意有理数．
解：当a＞0时，；
当a＜０时，；
当a＝0，b≤0时，无解；
当a＝0，b＞0时，x为任意有理数．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．