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第16章《二次根式》——【期末复习】八年级数学下册章节知识点梳理（人教版）
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这是一份第16章《二次根式》——【期末复习】八年级数学下册章节知识点梳理（人教版），文件包含第16章二次根式教师版docx、第16章二次根式学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
知识点01：二次根式的概念
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
理解二次根式的概念，要把握以下四点：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．
（2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．
知识点02：二次根式有无意义的条件
知识点03：二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）．
【拓展】（1）若，则a=0，b=0；
（2）若，则a=0，b=0；
（3）若，则a=0，b=0；
（4）若，则a=0，b=0，c=0．
知识点04：代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式．例如3，x，x+y，，-ab，，x3都是代数式．
【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）．
（2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式．
知识点05：二次根式的乘法法则
（1）一般地，二次根式的乘法法则是：
．
语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
推广：①．
②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；
③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用．
（2）二次根式乘法法则的逆用
．
语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．
公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．
二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用．
推广：．
运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．
利用积的算术平方根的性质化简的步骤：
①将被开方数进行因数分解或因式分解；
②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．
知识点06：二次根式的除法法则
（1）一般地，二次根式的除法法则是：
．
语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
（2）二次根式除法法则的逆用
语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可．
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可．
知识点07：最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
知识点08：可以合并的二次根式
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并．
【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式．
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0．
【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用．
知识点09：二次根式的加减
二次根式加减的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；
（3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．
【注意】（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．
（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．
（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
知识点10：二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．
二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•峄城区期末）已知x＝﹣1，y＝+1，则分式的值是（ ）
A．2B．C．4D．2
2．（2分）（2022春•高青县期末）若，则（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
3．（2分）（2022春•钦州期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）（2021秋•邵东市期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
5．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
6．（2分）（2022春•诸城市校级期中）如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1B．k+1C．3k﹣11D．11﹣3k
7．（2分）（2021春•花山区校级月考）已知a满足|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝（ ）
A．0B．1C．2021D．2020
8．（2分）（2021春•越城区校级期中）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|等于（ ）
A．aB．﹣aC．2b+aD．2b﹣a
9．（2分）（2022春•长沙期中）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．a2＝b2
10．（2分）（2021春•宁津县期末）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣cD．2a
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021春•陵城区期中）已知y＝+8x，则的算术平方根为 ．
12．（2分）（2022春•沂源县期末）若最简二次根式与﹣是同类二次根式，则x＝ ．
13．（2分）（2021春•东宝区校级月考）＝ ．
14．（2分）（2021•新市区校级一模）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为 ．
15．（2分）（2021春•邹城市期中）若a是的小数部分，则a（a+6）＝ ．
16．（2分）（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x＝ ．
17．（2分）（2021春•西乡塘区校级月考）观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是 ．
18．（2分）（2021春•饶平县校级期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ ．
19．（2分）（2021春•永嘉县校级期末）把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 ．
20．（2分）（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是 ．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2023春•灵丘县月考）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝ ；②＝ ．
（2）应用：化简．
（3）拓展：＝ ．（用含n的式子表示，n为正整数）
22．（6分）（2023春•义乌市期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（，）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
23．（6分）（2022春•冠县期末）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）．
（1）求数对（25，4）的一对“对称数对”；
（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值．
24．（6分）（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：
把形如a+b与a﹣b、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数： 和 ；
（2）﹣2和2是共轭实数吗？若是请指出a、b的值；
（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4，请求出这两个共轭实数．
25．（6分）（2022春•高安市期中）＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
（1）化简：＝ ，＝ ；
（2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 ；
（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．
26．（6分）（2023春•莱西市期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设 其中a、b、m、n均为正整数），则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + 2；
（3）化简﹣．
27．（8分）（2022春•江都区校级月考）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．
问题：
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
28．（8分）（2022秋•丰泽区校级期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．
设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
29．（8分）（2022秋•市中区期末）观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）类型
条件
字母表示
二次根式有意义
被开方数（式）为非负数
有意义a≥0
二次根式无意义
被开方数（式）为负数
无意义a<0
知识点01：二次根式的概念
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
理解二次根式的概念，要把握以下四点：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．
（2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．
知识点02：二次根式有无意义的条件
知识点03：二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）．
【拓展】（1）若，则a=0，b=0；
（2）若，则a=0，b=0；
（3）若，则a=0，b=0；
（4）若，则a=0，b=0，c=0．
知识点04：代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式．例如3，x，x+y，，-ab，，x3都是代数式．
【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）．
（2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式．
知识点05：二次根式的乘法法则
（1）一般地，二次根式的乘法法则是：
．
语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
推广：①．
②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；
③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用．
（2）二次根式乘法法则的逆用
．
语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．
公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．
二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用．
推广：．
运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．
利用积的算术平方根的性质化简的步骤：
①将被开方数进行因数分解或因式分解；
②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．
知识点06：二次根式的除法法则
（1）一般地，二次根式的除法法则是：
．
语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
（2）二次根式除法法则的逆用
语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可．
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可．
知识点07：最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
知识点08：可以合并的二次根式
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并．
【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式．
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0．
【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用．
知识点09：二次根式的加减
二次根式加减的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；
（3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．
【注意】（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．
（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．
（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
知识点10：二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．
二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•峄城区期末）已知x＝﹣1，y＝+1，则分式的值是（ ）
A．2B．C．4D．2
2．（2分）（2022春•高青县期末）若，则（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
3．（2分）（2022春•钦州期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）（2021秋•邵东市期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
5．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
6．（2分）（2022春•诸城市校级期中）如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1B．k+1C．3k﹣11D．11﹣3k
7．（2分）（2021春•花山区校级月考）已知a满足|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝（ ）
A．0B．1C．2021D．2020
8．（2分）（2021春•越城区校级期中）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|等于（ ）
A．aB．﹣aC．2b+aD．2b﹣a
9．（2分）（2022春•长沙期中）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．a2＝b2
10．（2分）（2021春•宁津县期末）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣cD．2a
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021春•陵城区期中）已知y＝+8x，则的算术平方根为 ．
12．（2分）（2022春•沂源县期末）若最简二次根式与﹣是同类二次根式，则x＝ ．
13．（2分）（2021春•东宝区校级月考）＝ ．
14．（2分）（2021•新市区校级一模）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为 ．
15．（2分）（2021春•邹城市期中）若a是的小数部分，则a（a+6）＝ ．
16．（2分）（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x＝ ．
17．（2分）（2021春•西乡塘区校级月考）观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是 ．
18．（2分）（2021春•饶平县校级期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ ．
19．（2分）（2021春•永嘉县校级期末）把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 ．
20．（2分）（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是 ．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2023春•灵丘县月考）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝ ；②＝ ．
（2）应用：化简．
（3）拓展：＝ ．（用含n的式子表示，n为正整数）
22．（6分）（2023春•义乌市期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（，）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
23．（6分）（2022春•冠县期末）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）．
（1）求数对（25，4）的一对“对称数对”；
（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值．
24．（6分）（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：
把形如a+b与a﹣b、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数： 和 ；
（2）﹣2和2是共轭实数吗？若是请指出a、b的值；
（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4，请求出这两个共轭实数．
25．（6分）（2022春•高安市期中）＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
（1）化简：＝ ，＝ ；
（2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 ；
（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．
26．（6分）（2023春•莱西市期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设 其中a、b、m、n均为正整数），则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + 2；
（3）化简﹣．
27．（8分）（2022春•江都区校级月考）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．
问题：
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
28．（8分）（2022秋•丰泽区校级期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．
设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
29．（8分）（2022秋•市中区期末）观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）类型
条件
字母表示
二次根式有意义
被开方数（式）为非负数
有意义a≥0
二次根式无意义
被开方数（式）为负数
无意义a<0
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