高考数学一轮复习第4章第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用学案

这是一份高考数学一轮复习第4章第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用学案，共18页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用
考试要求：1．结合具体实例，了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．
2．能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

一、教材概念·结论·性质重现
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，x≥0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：
ωx＋φ
0

π

2π
x





y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0


1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的．
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径：


由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象． (　×　)
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A． (　×　)
(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (　√　)
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为． (　√　)
2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需(　　)
A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度
C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的
D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍
B　解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．
3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
B　解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．
4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：
x
－
0



f(x)
－2
－2
－2
2
2
那么A＝________．
4　解析：由题意得f(0)＝Asin φ＝－2，f ＝－Acos φ＝－2，
所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝　　　　．

3　解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．

考点1　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式——基础性

1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是(　　)

A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
C　解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．
2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f ＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝(　　)

A． B．－
C． D．－
D　解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f ＝f(x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．
结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．
3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．

－　解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，
令k＝1可得φ＝－，
据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．
4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝Asin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．

y＝10sin＋20，x∈[6,14]　解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．
又×＝14－6，所以ω＝．
又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．

1．由图象求解析式问题，求ω的关键是求周期T，要注意观察图象，如第1题中－＝，第3题中－＝．
2．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝．
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝．
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．
考点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换——综合性

(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
B　解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．
(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y＝cos 2x的图象，则φ的值可能为(　　)
A． B．
C． D．
A　解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，
得到y＝sin＝sin＝cos
＝cos＝cos．
若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．
因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．

本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．
sin　解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．

1．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．
2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．

1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D　解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．
2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
C　解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，
所以φ－＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，
要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．

考点3　三角函数模型及其应用——应用性

(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为(　　)

A．5米 B．(4＋)米
C．(4＋)米 D．(4＋)米
D　解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．
设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．
又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cost，t≥0；
风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．
因为A(0，－3)，所以AP＝＝，
所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．


三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．

1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是(　　)

A．H＝4sin＋2
B．H＝4sin＋2
C．H＝4sin＋2
D．H＝4sin＋2
A　解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，
所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，
则点M的纵坐标为4sin，
所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．

2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．
6 000　解析：作出函数简图如图：

三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，
T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．
将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，
故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．
考点4　三角函数图象与性质的综合问题——综合性

(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数g(x)的图象关于点对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点
AD　解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，
对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．
对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．
对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．
对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是(　　)
A． B．(－2,2)
C．(－2，－) D．(－2，－1)
D　解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．
设2x＋＝t，则t∈，
题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．
所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．

已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．
1≤m＜2　解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．
因为x∈，所以2x＋∈．
要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x＋≠，此时2sin∈[1,2)，
所以1≤m＜2．

1．研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
2．方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．

1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)＝2sin
B．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数
C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数
D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称
B　解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．
因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，
所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．
把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．
因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，
所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．
把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sinx，是奇函数，故C正确．
f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．
2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为(　　)
A．2 B．
C．1 D．
A　解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，
得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．
因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．


将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
[四字程序]
读
想
算
思
求m的最小值
1．解析式如何变形？
2．平移变换的规则是什么？
3．图象关于y轴对称说明了什么
1．三角恒等变换．
2．图象的对称轴方程
转化与化归
向左平移，图象关于y轴对称

1．辅助角公式．
2．左加右减．
3．在x＝0处取得最值
y＝2sin
或y＝2cos
1．平移变换前后，解析式之间的关系．
2．正弦(或余弦)型函数图象的对称性


思路参考：构造正弦型函数的解析式．
B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得y＝2sin的图象．由x＋m＋＝kπ＋(k∈Z)，得函数y＝2sin的图象的对称轴为x＝－m＋kπ(k∈Z)．因为所得的图象关于y轴对称，所以－m＋kπ＝0(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)，则m的最小值为．

思路参考：构造余弦型函数的解析式．
B　解析：函数y＝cos x＋sin x＝2cos的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y＝2cos的图象．因为此函数图象关于y轴对称，所以y＝2cos为偶函数，易知m的最小值为．

思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．
B　解析：由解法1，得y＝2sin．因为所得的图象关于y轴对称，可得当x＝0时，y＝±2，进而sin＝±1，易知m的最小值为．

思路参考：利用函数图象．
B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．

1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．

将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为(　　)
A．0 B．
C． D．1
D　解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．
在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，
f(x)取得最大值为1．