2023年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷01（含考试版+全解全析+参考答案）

2023年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学

仿真模拟试卷01

第一部分 （选择题 60分）

一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分．在每题四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{2,3}，则∁UM＝（　　）

A．∅ B．{2，3} C．{1，4} D．{2，3，4}

【答案】C

解：M ＝{2，3}，

则∁UM＝{1，4}．

故选：C．

2．若复数z＝（1﹣i）（2+i）（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）

A．﹣1 B．﹣i C．﹣2 D．1

【答案】A

解：∵z＝（1﹣i）（2+i）＝2+i﹣2i﹣i2＝3﹣i，

∴z的虚部为﹣1．

故选：A．

3．sin300°的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解答】解：sin300°＝sin（360°﹣60°）＝﹣sin60°＝﹣，

故选：D．

4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（　　）

A．y＝0 B． C．y＝x2 D．y＝2x

【答案】D

解：选项A，y＝0既是奇函数又是偶函数，不符合题意；

选项B，y＝是奇函数，不符合题意；

选项C，y＝x2是偶函数，不符合题意；

选项D，y＝2x是非奇非偶函数，符合题意．

故选：D．

5．已知，且，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

解：因为，，

所以，

所以，

所以．

故选：D．

6．已知log23＝a，log25＝b，则log1815＝（　　）

A． B． C．﹣a+b﹣1 D．a+b﹣1

【答案】B．

解：∵log23＝a，log25＝b，

∴log1815＝＝

＝，

故选：B．

7．在△ABC中，“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

解：在△ABC中，若A＝，则sinA＝sin＝，即“”⇒“”，

反之，在△ABC中，若sinA＝，则A＝或，故由“”不能推出“”，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

8．＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

解：，

故选：B．

9．棱长为1的正方体的外接球的表面积为（　　）

A． B．3π C．12π D．16π

【答案】B

解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，

则，故，

所以．

故选：B．

10．已知不同平面α，β，γ，不同直线m和n，则下列命题中正确的是（　　）

A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β 

C．若m⊥n，m⊥α，则n∥α D．若m∥α，n∥α，则m∥n

【答案】A

解：对于A，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故A正确；

对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能垂直，平行，故B不正确；

对于C，若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故C不正确；

对于D，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行，异面，相交，故D不正确；

故选：A．

11．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（　　）

A．87分 B．88分 C．85分 D．90分

【答案】B．

解：8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，

因为8×75%＝6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，

即（分）．

故选：B．

12．函数的最小正周期为（　　）

A． B．π C．2π D．4π

【答案】C．

解：，

所以该函数的最小正周期为，

故选：C．

13．函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　）

A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，

【答案】C．

解：直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，

由＞＞＞，

故选：C．

14．已知正数m，n满足2m×4n＝2，则的最小值为（　　）

A．3 B．5 C．8 D．9

【答案】D

解：由正数m，n满足2m×4n＝2，即2m×22n＝2m+2n＝2，

所以m+2n＝1，

所以，

当且仅当，即时，取得等号．

故选：D．

15．不等式2x2+5x﹣12＜0的解集为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B．

解:由2x2+5x﹣12＜0可得（2x﹣3）（x+4）＜0，解得，

因此，原不等式的解集为．

故选：B．

16．已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B．

解：因为是单位向量，，向量的夹角为，

所以在上的投影向量是||cos＝8×（﹣）＝﹣4．

故选：B．

17．在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（　　）

A．估计该校有40%的学生在2小时内完成课后作业 

B．抽取的学生中有10人不能在4小时内完成课后作业 

C．抽取学生课后完成作业时间的100个数据的中位数在区间（2，2.5）内 

D．抽取学生课后完成作业时间的100个数据的众数一定在区间（2，2.5）内

【答案】B．

解：对于A，估计该校在2小时内完成作业的学生占比是0.1×0.5+0.3×0.5＝0.20＝20%，故A错误；

对于B，抽取的学生不能在4小时内完成课后作业的人数是100×（0.1×0.5+0.1×0.5）＝10（人），故B正确；

对于C，抽取学生课后完成作业时间的100个数据中，第一、第二、第三组频率和为0.1×0.5+0.3×0.5+0.5×0.5＝0.45＜0.5，前四组频率和为0.45+0.4×0.5＝0.65＞0.5，

所以中位数在区间（2.5，3）内，故C错误；

对于D，学生课后完成作业时间的100个数据的众数不能由直方图确定，故D错误．

故选：B．

18．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（　　）

A．4π2 B．3π2 C．2π2 D．π2

【答案】A

解：由题意可得侧面展开图的边长为2π×1＝2π，

所以侧面展开图的面积为（2π）2＝4π2，

故这个圆柱的侧面积是4π2．

故选：A．

19．已知函数在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）

A．a≥0 B．a≤1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1

【答案】D

【解答】解：由题意得，

解得0≤a≤1．

故选：D．

20．某中学为了落实五育并举，全面发展学生的素质，积极响应党的号召，开展各项有益于德、智、体、美、劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、高三（2）班两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（　　）

A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5 

B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分 

C．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大 

D．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高

【答案】D

解：高三（1）班德、智、体、美、劳各项得分依次为9.5，9.5，9，9.5，9.25，高三（2）班德、智、体、美、劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5．

对于A：高三（2）班五项评价得分的极差为9.5﹣8.5＝1，A错误；

对于B：两班的德育得分均为9.5，两者相等，B错误；

对于C：两班的德育得分相差9.5﹣9.5＝0；两班的智育、体育和美育得分相差均为9.5﹣9＝0.5，两班的劳育得分相差9.25﹣8.5＝0.75，

故两个班的劳育得分相差最大，C错误；

对于D：高三（1）班得分的平均数为×（9.5+9.25+9.5+9+9.5）＝9.35，

高三（2）班得分的平均数为×（9.5+8.5+9+9.5+9）＝9.1，

∵9.35＞9.1，

∴高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高，D正确．

故选：D．

第二部分（非选择题  共40分）

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

21．已知向量，，且，则m＝　       ．

【答案】1或﹣5．

解：因为，所以m（m+2）﹣（5﹣2m）＝0，

整理得m2+4m﹣5＝0，

解得m＝1或m＝﹣5．

故答案为：1或﹣5．

22．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是　         　．

【答案】∃x0∈R，x02﹣x0+2＜0

 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是：“∃x0∈R，x02﹣x0+2＜0”．

故答案为：∃x0∈R，x02﹣x0+2＜0．

23．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 　  　．

【答案】

解：扇形中，弧长为l＝30，直径为d＝16，

扇形的圆心角弧度数是α＝＝＝．

故答案为：．

24．写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________．

①；

②；

③任取，，，．

【答案】（答案不唯一）

解：由题设，的对称轴为直线，在上单调递增，故可设，由，得，解得，故符合要求．

故答案为：(答案不唯一)．

三、解答题（共4小题，每小题7分，共28分，每题写出必要的解题过程和步骤）

25．（本小题满分7分）

已知幂函数（m∈N*）的图象经过点．

（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；

（2）试求满足f（1+a）＞f（3﹣）的实数a的取值范围．

【答案】（1）（1，9]

（2）根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．

解：（1）∵幂函数f（x）的图象经过点，

∴＝，即m2+m＝2，解得：m＝1或m＝﹣2，

∵m∈N*，故m＝1，

故f（x）＝，x∈[0，+∞）；

（2）∵f（x）在[0，+∞）递增，

由f（1+a）＞f（3﹣），

得，解得：1＜a≤9，

故a的范围是（1，9]．

26．（本小题满分7分）

已知，，．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在区间上的值域．

【答案】（1）π（2）[-1,2]

解：(1)∵，

∴的最小正周期．

由，，

解得，

故函数的对称轴方程为，．

(2)时，可得：，

当时，函数取得最小值为．

当时，函数取得最大值为．

所以函数在区间上的值域为．

27．（本小题满分7分）

如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB＝6，BC＝8，AC＝10，BB1＝3，E为A1C1的中点，过A、B、E的平面与B1C1交于点F．

（1）求证：点F为B1C1的中点；

（2）四边形ABFE是什么平面图形？说明理由，并求其面积．

【答案】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理，证明A1B1∥平面ABFE，A1B1∥EF，可得点F为B1C1的中点；

（2）四边形ABFE是直角梯形，先判断四边形ABFE是梯形；再判断梯形ABFE是直角梯形，从而计算直角梯形ABFE的面积．

解：（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1∥AB，

A1B1⊄平面ABFE，∴A1B1∥平面ABFE，

又EF⊂平面A1B1C1，∴A1B1∥EF，

又E为A1C1的中点，∴点F为B1C1的中点；

（2）四边形ABFE是直角梯形，理由为：

由（1）知，EF∥AB，且EF＝A1B1＝AB，

∴四边形ABFE是梯形；

又侧棱B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AB；

又AB＝6，BC＝8，AC＝10，

∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，

又B1B∩BC＝B，∴AB⊥平面B1BCC1；

又BF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥BF；

∴梯形ABFE是直角梯形；

由BB1＝3，B1F＝4，∴BF＝5；

又EF＝3，AB＝6，

∴直角梯形ABFE的面积为S＝×（3+6）×5＝．

28．（本小题满分7分）

阅读下面题目及其解答过程．

已知函数，

（1）求与的值；

（2）求的最大值．

解：（1）因为，所以＝    ①    ．

因为，所以＝    ②    ．

（2）因为时，有，

而且，所以在上的最大值为    ③    ．

又因为时，有，

而且    ④    ，所以在（0，＋∞）上的最大值为1．

综上，的最大值为    ⑤    ．

以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“”或“”）．

【答案】（1）①A   ；   ②B；（2）③A     ； ④A     ； ⑤B．

【解析】

【详解】

解：因为，

（1）因为，所以，

因为，所以

（2）因为时，有，

而且，所以在上的最大值为．

又因为时，有，

而且，所以在上的最大值为1．

综上，的最大值为．