中考数学二轮复习重难点复习题型02 规律探索 类型一 数式规律（专题训练）（2份打包，原卷版+解析版）

题型二 规律探索

类型一 数式规律

1.按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．

【详解】

观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，

第个数据为：

当时的分子为，分母为

这个数为

故选：．

【点睛】

本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．

2.已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．

【详解】

解：当时，计算出，

会发现是以：，循环出现的规律，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．

3.按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．

【解析】解： ，，，，，，…，

可记为：

第项为： 故选A．

【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．

4.计算的结果是

A．     B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

原式

=．故选B．

【名师点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．

5.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是

A．0     B．1    C．7    D．8

【答案】A

【解析】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环，

∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A．

【名师点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．

6.一列数按某规律排列如下：，…，若第n个数为，则n=

A．50    B．60    C．62    D．71

【答案】B

【解析】，…

可写为：，…，

∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，

∴第n个数为，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．

【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律

7.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（    ）

A．2025 B．2023 C．2021 D．2019

【答案】B

【分析】

根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．

【详解】

解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，

∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，

根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，

∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，

故选：B．

【点睛】

本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题

8.已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=-1，-1的差倒数是．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是

A．-7.5    B．7.5    C．5.5    D．-5.5

【答案】A

【解析】∵a1=-2，∴a2=，a3=，a4==-2，…，

∴这个数列以-2，，依次循环，且-2++=-，

∵100÷3=33……1，∴a1+a2+…+a100=33×（-）-2=-=-7.5，故选A．

【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．

9.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为=-1，-1的差倒数，已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，依此类推，a2019的值是

A．5     B．-    C．    D．

【答案】D

【解析】∵a1=5，a2=，a3=，a4==5，

……∴数列以5，-，三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a2019=a3=，故选D．

【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．

10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（   ）

A．135 B．153 C．170 D．189

【答案】C

【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．

【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：

由观察发现：

又每个正方形内有：

故选C．

【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．

11.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（   ）

A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年

【答案】C

【分析】

根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．

【详解】

解：由图可知：

1620年时，镭质量缩减为原来的，

再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，

再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，

，

∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，

此时mg，

故选C．

【点睛】

本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．

12.如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．

【答案】

【分析】

根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长．

【详解】

解：点在直线上，点的横坐标为2，

点纵坐标为1．

分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；

,

类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有

，

不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：

，

，

按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，

故答案是：．

【点睛】

本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧．

13.如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．

【答案】

【分析】

先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．

【详解】

解：由题意得：，即，

，即，

，即，

，即，

观察可知，点的坐标为，其中，

点的坐标为，其中，

点的坐标为，其中，

归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，

，

点的坐标为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

14.下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．

【答案】3

【分析】

通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．

【详解】

解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，

例如：

第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，

即：；

第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，

即：；

由此规律：

故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，

即空缺数为：3，

故答案是：3．

【点睛】

本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．

15.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．

【答案】20110

【分析】根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．

【解析】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，

∴，，∴．故答案为20110．

【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．

16.根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）

A．17    B．18   C．19       D．20

【答案】B

【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去．

【解析】根据图形规律可得：

上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；

下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；

下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；

下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去。故选：B．

【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．

17.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）

A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F

【答案】D

【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．

【解析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，

因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，

这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，

k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，

设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），

由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．

故选：D．

【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.

18.按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．

【答案】bc=a

【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．

【解析】解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，故答案为：bc=a．

【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．

19.观察下列等式：；

；

；

……

根据以上规律，计算______．

【答案】

【分析】

根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．

【详解】

解：由题意可知，，

＝1+1+1+…+1﹣2021

＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021

＝2020+1﹣﹣2021

＝．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．

20.观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．

【答案】

【分析】

根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．

【详解】

由题意规律可得：．

∵

∴，

∵，

∴．

．

．

……

∴．

故．

令

②-①，得

∴=

故答案为：．

【点睛】

本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．

21.观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．

【答案】

【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．

【解析】解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣＝，

﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，

故答案为：．

【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．

22.对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________．

【答案】16    58   

【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定即可求解．

【解析】F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37，

F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89，

F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26，

F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，…

通过计算发现，F1（4）＝F8（4），

∵2019÷7＝288…3，∴F2019（4）＝F3（4）＝58；故答案为16，58．

【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．

23.a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1=4，第5个数a5=5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是__________．

【答案】6

【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：a1+a2+a3=15，a2+a3+a4=15，a3+a4+a5=15，…，an+an+1+an+2=15，

可以推出：a1=a4=a7=…=a3n+1，a2=a5=a8=…=a3n+2，a3=a6=a9=…=a3n，

所以a5=a2=5，则4+5+a3=15，解得a3=6，

∵2019÷3=673，因此a2017=a3=6．故答案为：6．

【名师点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．

24.如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是__________．

【答案】2019

【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025-6=2019，故答案为：2019．

【名师点睛】本题考查规律型——数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．

25.观察下列一组数：

a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，

它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an=__________．（用含n的式子表示）

【答案】

【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，

观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，

∴an=，故答案为：．

【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

26.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°……按此规律进行下去，则点A2019的坐标为__________．

【答案】（-22017，22017）

【解析】由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（-2，2），

A4的坐标为（-8，0），A5的坐标为（-8，-8），A6的坐标为（16，-16），A7的坐标为（64，0），…

由上可知，A点的方位是每6个循环，

与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n-1，其纵坐标为0，

与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为2n-2，

与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为2n-2，

与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为-2n-1，纵坐标为0，

与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为-2n-2，

与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为-2n-2，

∵2019÷6=336……3，

∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n-2=-22017，纵坐标为22017，

故答案为：（-22017，22017）．

【名师点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．

27.观察以下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

第5个等式：，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：__________；

（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．

【解析】（1）第6个等式为：，故答案为：．

（2），

证明：∵右边==左边．

∴等式成立，

故答案为：．

【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．

28.如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．

【答案】

【分析】

计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．

【详解】

解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），

∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入，

得：，得：x=-4，即A（-4，3），

∴OB=3，AB=4，OA==5，

由旋转可知：

OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，

∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，

∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，

设B21（a，），则OB21=，

解得：或（舍），

则，即点B21的纵坐标为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．

29.如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．

【答案】（，0）.

【分析】

根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.

【详解】

解：如图，过点N作NM⊥x轴于M

将代入直线解析式中得

∴，45°

∵90°

∴

∵

∴

∴的坐标为（2，0）

同理可以求出的坐标为（4，0）

同理可以求出的坐标为（8，0）

同理可以求出的坐标为（，0）

∴的坐标为（，0）

故答案为：（，0）.

【点睛】

本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.

30.如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．

【答案】

【分析】

由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．

【详解】

解：∵点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，

∴，，∴A1B1=1，

根据题意，OA2=2+1=3，

∴，，

同理，，，

，

……

由此规律，可得：，，

∴即，

故答案为：．

【点睛】

本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．