衡水中学新高二开学检测卷数学试题01

2020年衡水中学新高二开学检测卷

数学试题

本试卷共22题，满分150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 

2．答题时请按要求用笔。  

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2、在8件同类产品中，有6件是正品，2件次品，从这8件产品中任意抽取2件产品，则下列说法正确的是

A．事件“至少有一件是正品”是必然事件

B．事件“都是次品”是不可能事件

C．事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件

D．事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件

3、某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（    ）

A． B． C． D．

4、已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ）

A． B． C． D．

5、已知过点和的直线与直线平行，则的值为（    ）

A． B．0 C．2 D．10

6、函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7、已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

8、已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（多选题）下列命题为真命题的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

10、下列化简正确的是(    )

A． B．

C． D．

11、如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．平面ABCD

C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等

12、定义运算，设函数，则下列命题正确的有（    ）

A．的值域为

B．的值域为

C．不等式成立的范围是

D．不等式成立的范围是

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、若，则_______.

14、在正三棱柱ABC  A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，则三枝锥A1  BB1C1 的体积为______.

15、某校为了解高一学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在[90,100]的学生人数为8，则=__________；估计该校高一学生此项体育测试平均成绩为__________．

16、在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是______.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、如图，在三棱锥P  ABC 中，PA平面ABC，PC  AB，D，E分别为BC，AC的中点.求证:

(1) AB / /平面PDE ;

(2)平面PAB平面PAC .

18、已知函数，在一个周期内的图象如下图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）设，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和.

19、已知三角形中，点在线段上，且，延长到，使.设，.

（1）用表示向量，；

（2）设向量，求证：，并求的值

20、某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： ，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

21、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.

22、已知函数.

（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）求所有的实数a，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；

参考答案

1、【答案】D

【解析】，，

，，.故选：D.

2、【答案】D

【解析】因为抽取的两件产品有可能都是次品，所以A、B错；

因为事件“至少一个正品”包含事件“都是正品”，所以C错；

因为事件“至少一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互为对立事件，所以D正确，综上所述，故选D．

3、【答案】A

【解析】因为射击一次命中目标的概率为，所以射击一次未命中目标的概率为，

因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为，

因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，

所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，解得.故选：A

4、【答案】A

【解析】由三角函数的定义得，，因此，.故选：A.

5、【答案】A

【解析】∵直线的斜率等于，
∴过点和的直线的斜率也是，
，解得，故选：A.

6、【答案】D

【解析】为奇函数，.

，.

故由，得.

又在单调递减，，.故选：D

7、【答案】A

【解析】由题意可得,，

，，．故A正确．

8、【答案】D

【解析】由题意得圆的圆心为，半径，

易知直线恒过点，直线恒过，且，

点的轨迹为，圆心为，半径为，

若点为弦的中点,位置关系如图：

.

连接，由易知.

，

.故选：D.

9、【答案】BCD

【解析】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；

选项B: ，所以本命题是真命题；

选项C: ，所以本命题是真命题；

选项D: ，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.

10、【答案】CD

【解析】

中，，则错误；

中，，则错误；

中，，则正确；

中，，则正确.故选：

11、【答案】AD

【解析】A．由题意及图形知，当点F与点重合时，故选项A错误；

B．平面ABCD，由正方体的两个底面平行，

平面，故有平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；

C．三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；

D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的．故选：AD

12、【答案】AC

【解析】由函数，有,

即，作出函数的图像如下，

根据函数图像有的值域为，

若不等式成立，由函数图像有

当即时成立，

当即时也成立.

所以不等式成立时，.故选：AC.

13、【答案】

【解析】，且，

可得.故答案为：.

14、【答案】

【解析】因为正三棱柱,则底面,是等边三角形

又因为,则三棱柱各棱长均为2,

则,

故答案为：

15、【答案】50    76.4   

【解析】

因为从体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩，

且成绩在的学生人数为8，

根据直方图的性质得，，则，

由，得，

估计该校高一学生此项体育测试平均成绩为

，故答案为.

16、【答案】

【解析】如图，设，圆心坐标为，可得，

，，

，，解得，，

即的长是.

故答案为：

17、【解析】（1）分别为的中点,

,

平面,平面,

平面

（2）平面,平面,

,

,,平面,

平面,

平面平面

18、【答案】（1），（2）或；当时，两根之和；当）时，两根之和.

【解析】（1）观察图象可得：，

因为f(0)=1,所以.

因为，

由图象结合五点法可知，对应于函数y=sinx的点，

所以

．

（2）如图所示，．作出直线．

方程有两个不同的实数根转化为：函数．

与函数图象交点的个数．

可知：当时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线对称，两根和为．

当时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线对称，两根和为．

19、【答案】（1），（2）证明见解析；

【解析】（1）为的中点，，

可得，

而,

（2）由（1）得

故，故

20、【答案】(1)0.4.(2)20人.(3) .

【解析】(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为

(0.02+0.04)×10=0.6 ,

样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.

∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为

，

分数在区间内的人数为．

所以总体中分数在区间内的人数估计为．

（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为

，

所以样本中分数不小于70的男生人数为

所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为

21、【答案】(1)证明见解析；(2) [0，＋∞)；(3)4，x－2y＋4＝0.,

【解析】(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令 解得 ,

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．

(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－ ，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解得k＞0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).

(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，

得A ，B(0,1＋2k).

依题意得解得k＞0.

∵S＝ ·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|

＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是k＞0且4k＝ ，即k＝，∴Smin＝4，

此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

22、【解析】（1）∵函数.

由于在R上是连续的增函数，

所以只要当时为增函数且当时也为增函数；

即，解得，则a的范围为.

（2）由题意得对任意的实数，恒成立，

即，当恒成立，

即，

∴，

∴，

故且在上恒成立，

即在时，只要的最大值且的最小值即可，

而当时，为增函数，；

当时，为增函数，，

∴.

所以满足条件的所有.