湖南省名校联盟2023届高三下学期5月冲刺压轴大联考数学试卷Word版含答案

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名校联盟·2023届高三5月冲刺压轴大联考

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则集合中元素个数为（    ）

A．1 B．2 C．2023 D．2024

2．已知复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

3．阅读下列材料：有理数都能表示成（，且与互质）的形式，从而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数．

例如：．循环小数化成分数为（    ）

A． B． C． D．

4．在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（    ）

A．3 B．6 C．7 D．9

5．已知是直线的倾斜角，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥．已知某圆锥的内切球半径等于1，则该圆锥体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右两支于两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，则下列命题正确的是（    ）

A．该简谐运动的初相为

B．该简谐运动的频率为

C．前6秒该质点的位移为

D．当时，位移随着时间的增大而增大

10．下列说法中正确的是（    ）

A．已知离散型随机变量，则

B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158

C．若，则事件与相互独立

D．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过0.05

附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值

11．已知圆，直线，则（    ）

A．直线恒过定点

B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线

C．对任意实数，直线都与圆相交

D．直线被圆截得的弦长的最小值为

12．在棱长为1的正方体中，为正方体表面上的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（    ）

A．点的轨迹确定的图形是平面图形

B．点的轨迹长度为

C．的最小值为

D．当点在侧面上时，的最小值为1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．2023年5月湖南省部分高三学生参加高三第一次模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且．若参加此次联考的学生共有80000人，则数学成绩超过100分的人数大约为__________．

14．若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为__________．

15．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为正的直线与抛物线相交于两点，且．若过点的圆与直线相切于第一象限的点，则的值为__________．

16．已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

在中，分别是角所对的边，向量，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求外接圆半径的最小值．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱台中，，．

（1）证明：平面平面；

（2）设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

华为云服务是华为公司在ICT领域通过30多年的技术攻坚和经验积累，将产品解决方案开放给用户，为用户提供集个人数据同步、云相册、手机找回等多种基础云功能，旨在为消费者提供一站式易用、快捷、智能、安全的个人数据管理服务．华为云服务采用按需使用、按需付费的一站式IT计算资源租用服务．据调查，在某一地区自2016年至2022年以来，7年的使用用户数如下表所示：（x表示年度，2016年度记为1，2017年度记为2，…，依次类推，2022年度记为7；y表示该年度使用的用户数，单位：千户）．

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

（1）根据散点图判断，在这7年内，与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为该地区华为云用户数（千户）关于年度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；并根据表中数据，求关于的经验回归方程，估计2023年度用户数（保留到千户位）；

（2）该地区按用户使用华为云服务的时间，从高到低评为三个等第的星级，其中连续使用华为云5年以上的用户评为“五星用户”，三年以上五年以下的用户评为“三星用户”，其它用户评为“星级用户”，每位用户年服务费按星级从高到低依次为50元、70元、90元．为了拓展用户数量，该地区今年推出一项用户星级升级的抽奖活动，每位用户可抽奖两次，每次抽奖有的概率升两级，有的概率升一级，还有的概率不升级，最高升为“五星用户”．现某家庭有2位华为云用户，其中甲是“三星用户”，乙是“星级用户”，求今年该家庭支付华为云服务费的分布列与数学期望．

参考数据：

其中．

参考公式：经验回归直线方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为．

21．（本小题满分12分）

已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离等于其离心率．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与椭圆相切，且与双曲线的左、右支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点．为坐标原点，记的面积分别为，当时，求直线的方程．

22．（本小题满分12分）

已知函数与分别是与的导函数．

（1）证明：当时，方程在上有且仅有一个实数根；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

天壹名校联盟·2023届高三5月冲刺压轴大联考·数学

参考答案、提示及评分细则

1．【答案】A

【解析】集合，∴，元素个数为1．故选A．

【命题意图】本题考查简单的对数不等式的解法及集合的交集运算，考查数学运算的核心素养．

【难度】容易．

2．【答案】B

【解析】，

所以要使为纯虚数，则，解得：．故选B．

【命题意图】本题考查复数的概念及复数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．

【难度】容易．

3．【答案】D

【解析】．故选D．

【命题意图】本题是选用教材《选择性必修第二册》第57页第14题改编，考查等比数列的求和，渗透数列的极限，等比数列各项和，考查数学运算与数学抽象的核心素养，提醒学生回归教材，重视基础，适度延展．

【难度】容易．

4．【答案】C

【解析】∵向量在向量上的投影向量为，∴

又，

∴．故选C．

【命题意图】本题考查平面向量的基本运算，线性运算，数量积运算，投影向量的概念，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．

【难度】容易．

5．【答案】B

【解析】法一：由题意可知，（为锐角），∴，

．故选B．

法二：由题意可知，（为锐角）∴，

．故选B．

【命题意图】本题考查直线的倾斜角与斜率，同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．

【难度】容易．

6．【答案】A

【解析】设必须马上维修记为事件，则不需要马上维修为，

而表示9盏灯正常，且在9盏的中间有任意2盏都不相邻的3盏已坏的灯，

∴，∴．故选A．

【命题意图】本题考查古典概型概率的计算，对立事件概率之间的关系，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．

【难度】容易

7．【答案】C

【解析】如图，作出该几何体的轴截面得到如图所示的平面图形，

设该圆锥的内切球球心为，底面圆的圆心为点，

底面半径为，高为，

法一：由等面积法可得：，

化简得：，

又：，

∴，当且仅当，即时取等号．故选C．

法二：如图：，∴，

∴，∵，∴，

∴，当且仅当，即时取等号．

【命题意图】本题考查球与几何体的切接，基本不等式，考查直观想象与逻辑推理以及数学运算的核心素养．

【难度】中等偏难

8．【答案】B

【解析】由平面几何知识可知：，连接．

设，则，

在中，由勾股定理有，解得，

∴，

在中，由，得，

解得．故选B．

【命题意图】本题考查双曲线的定义，几何性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．

【难度】较难

9．【答案】AD

【解析】由图可知，∴，

且在内，随着的增大而增大，∴，

∴

对于A：∵，∴A正确；

对于B：∵，∴，∴，∴B错误；

对于C：当时，，∴C错误；

对于D：时，，

∴当时，位移随着时间的增大而增大，∴D正确．故选AD．

【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质以及实际应用，考查直观想象与数学建模以及数学运算的核心素养．

【难度】容易

10．【答案】BC

【解析】对于A：根据二项分布的方差公式可得：，∴，∴A错误；

对于B：，∴这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确；

对于C：∵，∴，∴，根据事件独立性的定义可知：事件与相互独立，∴C正确；

对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知：依据的独立性检验可得：变量与相互独立，这个结论错误的概率不超过0.1．∴D错误．故选BC

【命题意图】本题考查概率与统计的一些基本概念与基础知识，考查数学抽象与数据分析以及数学运算的核心素养．

【难度】容易

11．【答案】ACD

【解析】对于A：直线的方程可化为，

联立解得

所以直线恒过定点，∴A正确；

对于B：直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误；

对于C，直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；

对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，所以最短弦长为，∴D正确．故选ACD．

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学直观与逻辑推理以及数学运算的核心素养．

【难度】容易

12．【答案】BCD

【解析】如图建立空间直角坐标系，则

∵直线与的夹角为，

当点在侧面上时，，不合题意；

当点在底面和侧面上时，点到直线的距离大于的长度，此时，与的夹角大于；

当点在侧面和底面上时，可知线段满足题意；

当点在侧面上时，由，可知，此时弧为所求．

∴点的轨迹为线段，弧，

显然线段，弧不共面，∴A错误；

对于B：点的轨迹长度为，∴B正确；

对于C：若在线段上，则的最小值为1；

同理：若在线段上，则的最小值也为1；

若在弧上，则的最小值为；∴C正确；

对于D：，且，由题意设，

则，

等号当且仅当，且，即时成立．∴D正确．故选BCD．

【命题意图】本题考查空间两点间距离公式，空间几何体与平面解析几何结合问题，考查数学直观与逻辑推理以及数学运算的核心素养．

【难度】较难

13．【答案】12000

【解析】∵总体密度函数为：，∴，

由，得，

∴超过100分的人数大约为．

【命题意图】本题考查正态分布的概念以及概率计算，考查数学建模、逻辑推理以及数学运算的核心素养．

【难度】容易

14．【答案】

【解析】∵是奇函数，∴对恒成立，

即对恒成立，∴．

，

∴曲线在点处的切线方程为，化简得．

【命题意图】本题考查函数奇偶性的定义、基本求导公式以及导数的几何意义，考查逻辑推理以及数学运算的核心素养．

【难度】容易

15．【答案】

【解析】∵过点且斜率为正的直线与拋物线相交于两点，

设

联立可得，∴，∴，

由，可得，∴，

∴的方程为，

∴由在圆上，可知圆心的横坐标为，

设圆心为，则半径，

∴圆的方程为，

∵该圆与相切，，解得或（舍去），

此时圆的方程为，联立方程可求得，又由，三点的坐标易知．

【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，考查逻辑推理以及数学运算的核心素养．

【难度】中档

16．【答案】

【解析】当时，，符合题意；

当时，令，则，

可化为，

令，则，

时，单调递减，时，单调递增，

所以的最小值为，

对于任意，都有等价于即

对于①：由在上单调递增，且，

可知，即且．

在且的条件下，对②：由时，单调递减，

可得，②成立．

综上可知：实数的取值范围为．

【命题意图】本题考查导数与单调性，不等式恒成立问题，考查逻辑推理以及数学运算的核心素养．

【难度】较难

17．【答案】（1）略  （2）

【解析】（1）证明：由，可得，

∴是以3为首项，2为公差的等差数列；

（2）由（1）知：，

∴

∴

∴

．

【命题意图】本题考查等差数列的定义，通项公式，裂项求和法求简单数列的和，考查数学运算的核心素养．

【难度】容易

18．【答案】（1）  （2）

【解析】（1）∵，且，

∴，

由正弦定理知：（是外接圆半径），

∴，

∴，

即，

而是的三内角，∴，

∴；

（2）∵，∴，

，∴，

，即外接圆半径的最小值为．

【命题意图】本题考查正、余弦定理，简单的三角恒等变换，考查逻辑推理及数学运算的核心素养．

【难度】容易

19．【答案】（1）略  （2）

【解析】（1）证明：由三棱台知：，

在梯形中，取的中点，连接，

则四边形是平行四边形，

∴，

，

，

∴，∴，

又∵，∴，

∵，∴平面，

∴平面平面；

（2）解：由（1）知：平面平面；

取的中点的中点，连接，

由条件知：四边形是等腰梯形，∴，∴平面，

分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，

则在等腰梯形中，由平面几何知识可得：，

∴，

设平面的法向量，则由得

令，得，∴，

又平面的法向量，

设平面与平面的夹角为，

则．

【命题意图】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，平面与平面的夹角，空间向量的坐标运算，考查直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

【难度】容易

20．【答案】（1）时，千户

（2）甲服务费为70元的概率是，50元的概率是；

乙服务费为90元的概率是，70元的概率是，50元的概率是．

服务费的分布列为：

元

【解析】（1）由散点图可知：比较适宜，

由得：，即，是的一次函数关系，

，

，

当时，千户；

（2）由题意可知：抽奖后，

甲服务费为70元的概率是，50元的概率是；

乙服务费为90元的概率是，70元的概率是，

50元的概率是．

∴今年该家庭支付的服务费的分布列为：

元．

【命题意图】本题考查最小二乘法求非线性经验回归方程，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查数学抽象、数学建模、数据分析、逻辑推理、数学运算的核心素养．

【难度】中档

21．【答案】（1）  （2）

【解析】（1）由题意，设双曲线的半焦距为，左焦点为，

斜率为正的渐近线方程为，

则，解得，

∴双曲线的方程为；

（2）由题意可得的斜率一定存在且，设，

由可得，即．

∵直线与椭圆相切，∴，

化简得，

由可得，即．

设，

∴，∴，

，

到的距离；

由可得，由可得．

；

由可得，

∴，∴，

化简得，解得或（舍去），

此时．∴的方程为，即．

【命题意图】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．

【难度】较难

22．【答案】（1）略  （2）

【解析】（1）证明：．

当时，．

令，

令，则，

显然在上是单调递增函数，且，

∴在上有唯一零点，

且时，单调递减，

时，单调递增．

又，

，

∴在上有唯一的根，

∴在上有唯一零点，

即在上有且仅有一个实数根；

（2）∵，

令，则，

等价于：，

，

令，

则，

令，

则，

故在上单调递增，，

故即在上单调递增，．

（1）当时，，∴在上单调递增，

∴；

（2）当时，，取，

则，

∴，

∴，使得，

时，单调递减，

此时，不符合题意．

综上可知：的取值范围为．

【命题意图】本题考查导数在研究函数性质、不等式中的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．

【难度】难