北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件第2课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：引导学生回忆上节课学习的内容，提问学生回答下面问题.

问题1：什么叫相似三角形?

预设答案：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.

问题2：相似三角形的判定定理1的内容是什么？

预设答案：两角分别相等的两个三角形相似.

教师活动：进一步提出思考：除了定义和判定定理1还有没有其他判定相似三角形的方法？

回忆相似三角形的定义并踊跃回答问题1、2.

在上一节的基础上，引出本节课内容，继续学习三角形相似方法的探究.

环节二 探究新知

【想一想】

问题3：如果两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？

预设答案：不一定相似.

教师活动：引导学生自主画图探索，然后展示反例：两个等腰三角形有两边成比例，它们不一定相似！总结说明只有两个三角形有两边成比例一个条件，它们不一定相似.

问题4：如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？

预设答案：可以增加一个角相等；或增加另两边成比例.

教师活动：提示可以类比两个三角形全等的证明方法想一想，增加什么条件合适，引导学生展开充分的讨论交流.

在问题4的引导下，带领学生一起归纳增加什么条件可以使两个三角形相似.提出可以先探究增加一个角相等的情况，注意提示学生注意增加的一个角是什么位置的角（夹角还是一边的对角），提示进行分类讨论.

【合作探究】

探索一：两边成比例+夹角相等的两个三角形相似吗？

思考：如图在△ABC和△DEF中，且∠A=∠D.

①比较∠B与∠E的大小

②△ABC与△DEF相似吗?说说你的理由.

教师活动：教师通过多媒体动画演示，说明可以看出∠B与∠E两角相等，指出是否真的相等需要同学动手画图测量.

预设答案：①∠B=∠E.

②△ABC∽△DEF；∵∠A=∠D，又有∠B=∠E；∴△ABC∽△DEF（判定定理1）

【做一做】

教师活动：指导学生使用直尺、量角器等工具进行画图，测量.

①任意画△ABC；

②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A，

且(如取2，3等)  

③量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C吗？为什么？

④由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流.

预设答案：∠B= ∠B'、∠C= ∠C'，

△ABC∽△A′B′C′

教师活动：让学生展示画出的图形，并说明测量结果及结论.

【探究】

画△ABC与△A′B′C′，使∠A′=∠A，且都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′( 或∠C与∠C′ )的大小，△A′B′C′和△ABC有相似吗？改变k值的大小，再试一试.

教师活动：播放已知两边成比例、夹角相等，任意改变角度值及k值，另一角仍然相等的演示动画，指导学生注意观察，判断两个三角形是否相似.

    预设答案：两个三角形相似.

    【归纳】

相似三角形的判定定理2：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

符号语言：

已知 △ABC与△A′B′C′，若且∠A=∠A′，则有△ABC∽△A′B′C′.

教师活动：说明这个判定定理可以进行证明，会在后面章节的内容中学习.

【合作探究】

探索二：两边成比例+其中一边的对角相等的两个三角形相似吗？

【想一想】

如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？

教师活动：提示可以类比三角形全等的条件时画“边边角”反例图的方法考虑下.

教师再学生思考后提出下边问题：

小明和小颖分别画出了△ABC和△DEF，如图所示.

思考：①△ABC与△DEF相似吗?

②△ABG与△DEF相似吗?

预设答案：①不相似；②相似.

教师活动：动画展示两个三角形的变化过程，帮助学生理解结论.

【归纳】

两边成比例且其中一边的对角相等不能保证这两个三角形相似．

认真思考问题3，作图验证后回答问题.

在问题3回答理解的基础上思考问题4，小组交流讨论并回答.

体会分类讨论的数学方法.

思考问题，观察，预设答案尝试解答

和同伴通过画图探索，讨论验证结论，并向同学展示说明.

依据刚才的做一做，思考问题，预设答案，然后认真观察演示动画，判断一般情况下，有两边夹角相等的两个三角形是否相似.

理解记忆相似三角形的判定定理2.

结合上面的探索方法，自己画图探究讨论并展示.

结合图像思考并回答问题.

跟随老师一起总结.

加深理解两个三角形相似需要满足的条件，从最少条件(两边成比例)进行探索.

类比三角形全等条件的探索，探索三角形相似的条件，并学习分类讨论的数学方法.

承接前面的问题讨论，先考虑角.从增加夹角的条件开始思考.

引导学生通过画图、动手操作，借助几何直观对结论进行初步猜测，然后转入下一环节进行验证.

通过画图、度量、计算等，对所猜测的结论进行验证，这是用合情推理推测结论的一个重要环节.

在学生实际动手验证的基础上，用多媒体课件进行演示，可以使学生对这一结论确认不疑.

帮助学生在理解的基础上记忆判定定理2.

承接上面的讨论完成另一个问题(增加的角为对角)的情况解答，是上面探索三角形相似判定方法的继续.

强调考虑问题的全面性.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点．AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且求DE的长．

教师分析：由图可知两三角形有公共角，经已知条件计算可得即.可说明△AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到DE.

展示完整解题过程：

解：∵AE=1.5，AC=2，

又∵∠EAD=∠CAB，

∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∴

∵BC=3，    

∴

【归纳】

教师活动：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，应用这一定理应注意下面几个方面：

 (1)找等角，应注意图形中的公共角、对顶角及有公共部分的角；

 (2)等角的两边对应成比例．

 (3)判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下，夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种，而忽视了另一种．

明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.

跟随老师讲解体会理解定理2应用.

通过解决例题让学生体会应用相似三角形判定定理2的具体情境，注意引导学生阅读、理解题意.

帮助学生了解判定定理2使用场景和方法.

提醒学生解题时从哪些地方寻找.方便学生后续解题应用.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？

    2.如图，BD平分∠ABC，且AB=4，BC=6，则当BD=________时，△ABD∽△DBC.                      

3.如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件不能判定△ACP∽△ABC的是(       )

A.∠ACP=∠B       B.∠APC=∠ACB

C.        D.

4.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证：△ADE∽ △ABC.

答案：

1.(1)相似，因为两边成比例且夹角相等；

(2)不相似，因为虽有一个角相等，但该角的两边不成比例.

2. ；
3. C.

4.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

  ∴∠ABD+∠A=90°，

   ∠ACE+∠A= 90°.

  ∴ ∠ABD= ∠ACE.

又∵ ∠A= ∠A，

  ∴△ABD ∽ △ACE.

  ∴

  ∵ ∠A= ∠A，

  ∴ △ADE∽△ABC.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第93页习题4.6第2、3题

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.