【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第4讲 1.4.1有理数乘法（含解析）

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第4讲 1.4.1有理数乘法

1. 熟练掌握有理数乘法法则；
2. 理解并掌握互为倒数的概念；
3. 灵活运用运算律进行相关乘法运算.

知识点 有理数乘法
1.有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；
2.(1)若同号,则; (2)若异号,则;
3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.
(1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。
4.几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。
5.有理数乘法的求解步骤:
(1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值;
6.乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负)
7.时，的倒数是 )
8.注意:用字母表示乘数时,“”号可以写成“·”或省略, 如可以写成或.
9.有理数乘法的运算律
(1)乘法的交换律：；
(2)乘法的结合律：)；
(3)乘法的分配律：;
10.根据乘法交换律和结合律可以推出：
三个以上有理数相乘,可以任意交换因数的位置,也可先把其中的几个数相乘
11.根据分配律可以推出：
一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.


一、选择题
1.2021的倒数是(   )
A.   2021                               B. －2021                               C.                                D. 
2.计算：(-2)×3的结果是(　　)
A. -6                                          B. -1                                          C. 1                                          D. 6
3.下列运算有错误的是(   )
A. 5﹣(﹣2)=7             B. ﹣9×(﹣3)=27             C. ﹣5+(+3)=8             D. ﹣4×(﹣5)=20
4.若a＜c＜0＜b，则下列各式正确的是(   )
A. abc＜0                              B. abc=0                              C. abc＞0                              D. 无法确定
5.50个有理数相乘的积为0，那么(    )
A. 每一个因数都是0      B. 每一个因数都不为0      C. 最多有一个因数不为0      D. 至少有一个因数为0
6.下列说法中，不正确的是(   )
A. 零是绝对值最小的数                                           B. 倒数等于本身的数只有1
C. 相反数等于本身的数只有0                                  D. 原点左边的数离原点越远就越小
7.若a+b＜0，ab＜0，则(   )
A. a＞0，b＞0
B. a＜0，b＜0
C. a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D. a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值
8.实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(   )

A.                               B.                               C.                               D. 
二、填空题
9.﹣3的倒数为________．
10.计算(﹣1)×(﹣2)的结果是________。
11.从数-5，1，-3，5，-2中任取三个不同的数相乘，最大的乘积是________，最小的乘积是________．
12.若ab＜0，则 =________．
三、解答题
13.计算：                                                                   
(1) ； (2) ；



(3) ； (4) .




14.若 ， ，且 ，求 的值．




15.分别用 ， ， ， 表示有理数， 是最小的正整数， 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是数轴上到原点距离为 的点表示的数，求 的倒数.



16.已知x、y互为相反数，a、b互为倒数，m是最大的负整数，求(x＋y)﹣abm的值.




17.学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49 ×(﹣5)，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
小明：原式=﹣ ×5=﹣ =﹣249 ；
小军：原式=(49+ )×(﹣5)=49×(﹣5)+ ×(﹣5)=﹣249 ；
(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
(3)用你认为最合适的方法计算：19 ×(﹣8)





一、选择题
1.(﹣2)×2的结果是(  )
A. 4                                          B. ﹣4                                          C. 0                                          D. 1
2.的倒数是(    )
A.                                         B.                                         C. 5                                        D. 
3.下列运算错误的是(   )
A. (-2)×(-3)=6         B. ​         C. (-5)×(-2)×(-4)=-40         D. (-3)×(-2)×(-4)=-24
4.若干个不等于0的有理数相乘,积的符号(    )
A. 由因数的个数决定                                              B. 由正因数的个数决定
C. 由负因数的个数决定                                           D. 由负因数和正因数个数的差为决定
5.若一个数减去-2的差是-5，则这个数乘以-2的积是(   )
A. -6                                         B. 6                                         C. -14                                         D. 14
6.下列说法正确的是(   )
A. 同号两数相乘，取原来的符号                             B. 一个数与﹣1相乘，积为该数的相反数
C. 一个数与0相乘仍得这个数                                  D. 两个数相乘，积大于任何一个乘数
7.若ab＜0，且a﹣b＞0，则下列选项中，正确的是(    )
A. a＜0，b＜0                     B. a＜0，b＞0                     C. a＞0，b＜0                     D. a＞0，b＞0
8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是(   )

A. a＞b                                B. |a|＞|b|                                C. ab＞0                                D. a+b＞0
二、填空题
9.的倒数是   1    ．
10.计算：    1    ．
11.若a、b互为倒数，则ab-2=________．
12.若xy＞0，z＜0，那么xyz________0．
13.在数-5，1，-3，5，-2中任两个数相乘，其中最大的积是   1    ， 最小的积是   2   。
14.若a,b是整数，且ab=12 ， ＜ ，则a+b=   1    ．
三、解答题
15.计算：   
(1). (2).






16.若 、 互为相反数， 互为倒数， 是最大的负整数，求 的值.






17.已知 |a| ＝ 5， |b| ＝ 3，且ab >0，求a＋b的值




第4讲 1.4.1有理数乘法

4. 熟练掌握有理数乘法法则；
5. 理解并掌握互为倒数的概念；
6. 灵活运用运算律进行相关乘法运算.

知识点 有理数乘法
1.有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；
2.(1)若同号,则; (2)若异号,则;
3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.
(1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。
4.几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。
5.有理数乘法的求解步骤:
(1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值;
6.乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负)
7.时，的倒数是 )
8.注意:用字母表示乘数时,“”号可以写成“·”或省略, 如可以写成或.
9.有理数乘法的运算律
(1)乘法的交换律：；
(2)乘法的结合律：)；
(3)乘法的分配律：;
10.根据乘法交换律和结合律可以推出：
三个以上有理数相乘,可以任意交换因数的位置,也可先把其中的几个数相乘
11.根据分配律可以推出：
一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.


一、选择题
1.2021的倒数是(   )
A.   2021                               B. －2021                               C.                                D. 
【答案】 C
【解析】【解答】A：倒数是本身的数是1和-1，选项错误.
B：－2021是2021的相反数，选项错误.
C： ，选项正确.
D： ，选项错误.
故答案为：C
【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.
2.计算：(-2)×3的结果是(　　)
A. -6                                          B. -1                                          C. 1                                          D. 6
【答案】 A
【解析】【解答】解：(-2)×3=-2×3=-6．
故答案为：A．
【分析】根据有理数乘法法则，异号相乘，取负号，并把绝对值相乘。
3.下列运算有错误的是(   )
A. 5﹣(﹣2)=7             B. ﹣9×(﹣3)=27             C. ﹣5+(+3)=8             D. ﹣4×(﹣5)=20
【答案】 C
【解析】【解答】解： ，
  选项A不符合题意；
  ，
  选项B不符合题意；
  ，
  选项C符合题意；
  ，
  选项D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】A、减去一个数等于加上这个数的相反数，故 5﹣(﹣2)=7 ，正确，不符合题意；
B、两数相乘，同号得正，异号得出，并把绝对值相乘，故 ﹣9×(﹣3)=27 ，正确，不符合题意；
C、异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加，故 ﹣5+(+3)=-2 ，不正确，符合题意；
D、两数相乘，同号得正，异号得出，并把绝对值相乘，故 ﹣4×(﹣5)=20 ，正确，不符合题意。
4.若a＜c＜0＜b，则下列各式正确的是(   )
A. abc＜0                              B. abc=0                              C. abc＞0                              D. 无法确定
【答案】 C
【解析】【解答】∵a＜c＜0＜b ， ∴ac＞0(同号两数相乘得正)，∴abc＞0 (不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变)．
故选C．
【分析】根据两数相乘，同号得正，由a＜c＜0，得出ac＞0，然后根据不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变，由0＜b得出abc＞0。
5.50个有理数相乘的积为0，那么(    )
A. 每一个因数都是0      B. 每一个因数都不为0      C. 最多有一个因数不为0      D. 至少有一个因数为0
【答案】 D
【解析】【解答】50个有理数的积为0，则其中必有0因数，但0因数的个数不能确定，所以选D．
【分析】几个数相乘，如果其中有一个0因数积就为0．
6.下列说法中，不正确的是(   )
A. 零是绝对值最小的数                                           B. 倒数等于本身的数只有1
C. 相反数等于本身的数只有0                                  D. 原点左边的数离原点越远就越小
【答案】 B
【解析】【解答】解：由于任何数的绝对值都是非负数，所以0是绝对值最小的数，故选项A正确；±1的倒数都等于它本身，故选项B错误；相反数等于它本身的数只有0，故选项C正确；在原点左边，离原点越远数就越小，故选项D正确．
故选B．
【分析】根据绝对值、倒数、相反数的意义判断每个选项．
7.若a+b＜0，ab＜0，则(   )
A. a＞0，b＞0
B. a＜0，b＜0
C. a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D. a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值
【答案】 D
【解析】【解答】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
又∵a+b＜0，
∴负数的绝对值大于正数的绝对值．
故选D．
【分析】先根据ab＜0，结合乘法法则，易知a、b异号，而a+b＜0，根据加法法则可知负数的绝对值大于正数的绝对值，解可确定答案．
8.实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(   )

A.                               B.                               C.                               D. 
【答案】 A
【解析】【解答】解：∵-4＜a＜-3，-1 ∴c-b＞0，故A正确；
，故B错误；
ac＜0，故C错误；

∴a+c＜0，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据数轴上点表示的数，可得-4＜a＜-3，-1＜b＜0，2＜c＜3，再逐一判断选项，即可得到答案.
二、填空题
9.﹣3的倒数为________．
【答案】
【解析】【解答】解：根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以 的倒数为 ．
【分析】利用倒数的定义求解即可。
10.计算(﹣1)×(﹣2)的结果是________。
【答案】 2
【解析】【解答】解：原式=1×2=2。
故答案为：2
【分析】根据同号两数相乘法则即可解答。
11.从数-5，1，-3，5，-2中任取三个不同的数相乘，最大的乘积是________，最小的乘积是________．
【答案】 75；-30
【解析】【解答】最大乘积是：(-3)×(-5)×5=75，
最小乘积是：(-2)×(-3)×(-2)=-30，
故答案为:75，-30.
【分析】根据有理数的乘法运算法则计算，再比较大小即可。
12.若ab＜0，则 =________．
【答案】 0
【解析】【解答】解：∵ab＜0，则a，b异号，
∴ =0．
故答案为：0．
【分析】根据题意得出a，b异号，进而得出答案．
三、解答题
13.计算：                                                                   
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【答案】 (1)解： =(50- )×(-5)=50×(-5)- ×(-5)=-249
(2)解： =-(8× )=-60
(3)解： =0
(4)解： =- =-(0.25×4)×
【解析】【分析】(1)由题意可将原式变为原式= ， 再用乘法对加法的分配律即可求解；
(2)多个有理数的乘法的符号法则是：偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负，根据符号法则可先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解；
(3)根据有一个数是0的多个有理数相乘的法则可得原式=0；
(4)根据多个有理数的乘法的符号法则先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解。
14.若 ， ，且 ，求 的值．
【答案】 解：因为|a| =1，|b|=4，所以a=±1，b=±4，又因为ab＜0，所以a，b的值可能为a=1，b=—4则a+b=—3；a=—1，b=4则a+b=3，所以a+b=±3
【解析】【解答】因为|a| =1，|b|=4，所以a=±1，b=±4，又因为ab＜0，所以a，b的值可能为a=1，b=—4则a+b=—3；a=—1，b=4则a+b=3，所以a+b=±3
【分析】对于符合条件的结果必须全部写出来不少不漏．
15.分别用 ， ， ， 表示有理数， 是最小的正整数， 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是数轴上到原点距离为 的点表示的数，求 的倒数.
【答案】 解：由题意得 ， ， ， ，
当 时， = =4，倒数为 ；
当 时， = ，倒数为
【解析】【分析】因为最小的正整数是1，所以a=1；最大的负整数是-1，所以b=-1；0时绝对值最小的数，所以c=0；数轴上 到原点距离为   的点有 3；然后把a、b、c、d的值代入4a+3b+2c+d计算即可求解。
16.已知x、y互为相反数，a、b互为倒数，m是最大的负整数，求(x＋y)﹣abm的值.
【答案】 解：∵x、y互为相反数，a、b互为倒数，m是最大的负整数，
∴x+y=0，ab=1，m=-1
∴(x＋y)﹣abm=0-1×(-1)=1.
【解析】【分析】根据相反数的两个数的和为0得出x+y=0，根据互为倒数的两个数的乘积等于1得出ab=1，根据最大的负整数是-1得出m=-1，从而代入计算.
17.学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49 ×(﹣5)，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
小明：原式=﹣ ×5=﹣ =﹣249 ；
小军：原式=(49+ )×(﹣5)=49×(﹣5)+ ×(﹣5)=﹣249 ；
(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
(3)用你认为最合适的方法计算：19 ×(﹣8)
【答案】 (1)解：小军解法较好
(2)解：还有更好的解法，
49 ×(﹣5)
=(50﹣ )×(﹣5)
=50×(﹣5)﹣ ×(﹣5)
=﹣250+
=﹣249
(3)解：19 ×(﹣8)
=(20﹣ )×(﹣8)
=20×(﹣8)﹣ ×(﹣8)
=﹣160+
=﹣159
【解析】【分析】(1)由凑整法可知小军解法较好；
(2)由凑整法可得原式=(50-)×(-5)，然后用乘法分配律计算即可求解；
(3)由凑整法可得原式=(20-)×(-8)，然后用乘法分配律计算即可求解.

一、单选题
1.(﹣2)×2的结果是(  )
A. 4                                          B. ﹣4                                          C. 0                                          D. 1
【答案】 B
【解析】【解答】解：(﹣2)×2=-4．
故答案为：B．
【分析】直接运用有理数乘法法则计算即可．
2. 的倒数是(    )
A.                                         B.                                         C. 5                                        D. 
【答案】 A
【解析】【解答】解：∵(-5)×(- )=1，
∴-5的倒数是- ．
故答案为：A．
【分析】根据乘积为1的两个数叫做互为倒数，即可得出答案。
3.下列运算错误的是(   )
A. (-2)×(-3)=6         B. ​         C. (-5)×(-2)×(-4)=-40         D. (-3)×(-2)×(-4)=-24
【答案】 B
【解析】【解答】 ，所以选择B．

【分析】在进行乘法运算时应先根据符号法则确定符号．
4.若干个不等于0的有理数相乘,积的符号(    )
A. 由因数的个数决定                                              B. 由正因数的个数决定
C. 由负因数的个数决定                                           D. 由负因数和正因数个数的差为决定
【答案】 C
【解析】【分析】可根据有理数乘法运算的符号法则进行判断。
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；
当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
故选C。
【点评】本题考查了有理数的乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
5.若一个数减去-2的差是-5，则这个数乘以-2的积是(   )
A. -6                                         B. 6                                         C. -14                                         D. 14
【答案】 D
【解析】【解答】解：∵-7-(-2)=-5，
∴-7×(-2)=14
故答案为：D.
【分析】首先利用差加减数等于被减数算出这个数，进而根据有理数的乘法法则，用这个数乘以-2即可得出答案.
6.下列说法正确的是(   )
A. 同号两数相乘，取原来的符号                             B. 一个数与﹣1相乘，积为该数的相反数
C. 一个数与0相乘仍得这个数                                  D. 两个数相乘，积大于任何一个乘数
【答案】 B
【解析】【解答】解：A、应为同号两数相乘，积为正，故本选项错误；
B、一个数与﹣1相乘，积为该数的相反数正确，故本选项正确；
C、应为一个数与0相乘等于0，故本选项错误；
D、两个数相乘，积大于任何一个乘数错误，故本选项错误．
故选B．
【分析】根据有理数的乘法运算法则对各选项分析判断利用排除法求解．
7.若ab＜0，且a﹣b＞0，则下列选项中，正确的是(    )
A. a＜0，b＜0                     B. a＜0，b＞0                     C. a＞0，b＜0                     D. a＞0，b＞0
【答案】 C
【解析】【解答】因为ab＜0，所以a、b异号.又因为a－b＞0，所以a＞0，b＜0.选项C符合题意.
【分析】利用已知ab＜0，可得出a、b异号，再根据a﹣b＞0，可得出a＞b，从而可确定出a、b的取值范围。
8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是(   )

A. a＞b                                B. |a|＞|b|                                C. ab＞0                                D. a+b＞0
【答案】B
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，
|a|＞|b|，故B项正确，
∴a＜b，故A项错误，
∴ab＜0，故C项错误，
∴a+b＜0，故D项错误.
故答案为：B.
【分析】由数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，据此判断.
二、填空题
9. 的倒数是________．
【答案】
【解析】【解答】∵
∴ 的倒数是
故答案为：
【分析】将分子、分母位置交换
10.计算： ________．
【答案】 6
【解析】【解答】
故答案为：6
【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，据此计算即得.
11.若a、b互为倒数，则ab-2=________．
【答案】 -1
【解析】【解答】解：∵a、b互为倒数，
∴ab=1，
∴ab-2=1-2=-1．
故答案为：-1．
【分析】先根据倒数的定义求出ab的值，再把ab的值代入计算即可；
12.若xy＞0，z＜0，那么xyz________0．
【答案】 ＜
【解析】【解答】解：∵xy＞0，z＜0，
∴xyz＜0．
故答案为：＜．
【分析】由于xy＞0，z＜0，根据正数与负数的积为负得到xyz＜0．
13.在数-5，1，-3，5，-2中任两个数相乘，其中最大的积是________，最小的积是________。
【答案】 15；-25
【解析】【解答】解：最大的积是：(-5)×(-3)=15, 最小的积是：(-5)×5=-25.
故答案为：15，-25.
【分析】最大的积应是两个正数或两个负数相乘，取最大的积即可；最小的积应是符号相反的两个数相乘，取最小的积即可.
14.若a,b是整数，且ab=12 ， ＜ ，则a+b=________．
【答案】 ±7或±8或±13
【解析】【解答】因为 为整数， 且12=3×4=2×6=1×12，又因为 ，所以a,b的可能取值a=3,b=4, a+b=7 ， 则a=2,b=6, a+b=8；a+b=13,则a=1 ， b=13；a=-3，b=-4则a+b=-7；a=-2， b=-6,则a+b=-8；a=-1，b=-12则a+b=-13，所以a+b=±7，±8，±13

【分析】分类要不重不漏．
三、解答题
15.计算：   
(1) (2)
【答案】 (1)原式= ；
(2)原式=− ×63+ ×63− ×63=−36+7−6=−42+7=−35；
【解析】【分析】(1)根据有理数的乘法法则从左至右依次进行计算即可；
(2)首先利用分配律转化为乘法，计算乘法，然后进行加减运算.
16.若 、 互为相反数， 互为倒数， 是最大的负整数，求 的值.
【答案】 解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
∵m是最大的负整数，
∴m=-1，
∴a+b-cd-m=0+(-1)-(-1)=-1+1=0．
【解析】【分析】根据题意可得 a+b=0，cd=1，m=-1，再代入代数式求值即可。
17.已知 |a| ＝ 5， |b| ＝ 3，且ab >0，求a＋b的值
【答案】 解： ，
，
，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
故a＋b的值为8或-8.
【解析】【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而根据有理数的乘法法则判断出符合题意的a,b的值，再代入即可得出答案.