2023年河南省新乡市封丘县中考数学一模试卷（含解析)

2023年河南省新乡市封丘县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  经文化和旅游部数据中心测算，今年春节假期全国国内旅游出游亿人次，实现国内旅游收入亿元，其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列立体图形中，可能被一个平面截出的截面是矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法不正确的是(    )

A. 为了解中央电视台开学第课的收视率，采用抽样调查
B. 为调查某单位职工学历情况占整体的百分比，采用扇形统计图
C. 为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，采用抽样调查
D. 为调查某校初一班级学生的校服尺码，采用全面调查

6.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D. 无解

7.  如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则所满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  丽丽与雯雯相约去天文馆参观，该馆有、两个入口，有、、三个出口，他们从同一入口进入后分散参观，结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，以保持木杆水平动力动力臂阻力阻力臂改变弹簧测力计与中点的距离单位：，观察并记录弹簧测力计的示数单位：有什么变化小明根据实验得到的下列结论中，不正确的是(    )

A. 与的函数关系式为 B. 当时，
C. 当时， D. 保持木杆水平，的最小值为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个与轴正半轴相交的直线的表达式______ ．

12.  若将点向右平移个单位长度，得到点，则与点关于轴对称的点的坐标是______ ．

13.  如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点若，则的度数等于______ ．

14.  如图，在菱形中，，、分别是边，上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接若的最小值为，则的长为______ ．

15.  如图，在中，，，，点、分别在边、上，，，将绕点旋转，点、旋转后的对应点分别是、，当、、三点共线时，的度数为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
化简：．

17.  本小题分
某校为了解八年级学生的身高状况，随机抽取名男生、名女生进行身高调查根据所得数据绘制如图统计图表根据图表中提供的信息，回答下列问题：

求身高在之间的男生人数，并补全直方图．
男生身高的中位数落在        组，女生身高的中位数落在        组填组别字母序号
已知该校八年级共有男生人，女生人，请估计八年级身高不足的学生数．

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
的值为______ ，的值为______ ．
请用无刻度的直尺和圆规，过点作，交轴于点要求：不写作法，保留作图痕迹
求点的坐标．

19.  本小题分
利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视年月，河南省发改委下发关于年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知，共个风电项目进入河南省新能源前期项目库风电机组主要由塔杆和叶片组成如图，图是从图引出的平面图王丹同学站在处测得塔杆顶端的仰角是，她又沿方向水平前进米到达山底处，在山顶处发现当一叶片到达最高位置时，测得叶片的顶端的仰角是点、、在同一直线上已知塔杆的高为米塔杆与叶片连接处的长度忽略不计，山高为米，，，求叶片的长度答案精确到米，参考数据：，，
 

20.  本小题分
洛阳是著名的牡丹之乡，有许多吟咏赞美牡丹的诗句留传于世，唐代诗人刘禹锡就有“唯有牡丹真国色，花开时节动帝京”的诗句，宋代诗人李正封的一句“国色朝酣酒，天香染夜衣”更使牡丹获得了“国色天香”的称号月植树节，某公司为改善工作氛围，计划采购甲、乙两种牡丹花苗，组织员工团建种植牡丹已知购买株甲种花苗和株乙种花苗共需元；购买株甲种花苗和株乙种花苗共需元．
购买的甲、乙两种花苗每株的价格分别是多少？
若该公司计划购买甲、乙两种花苗共株，且购买乙种花苗的数量不少于甲种花苗数量的设购买甲种花苗株，则当为何值时，购买花苗的总费用最低，最低费用为多少元？

21.  本小题分
水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，如图所示是一种水车的实物图，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成，某数学兴趣小组对其进行了研究，示意图如图所示，为立式水轮，水轮在水流的作用下，将水送至处，再经水槽送至处水渠，为水轮与水面的交汇处连接，，，交于点，连接，已知，与相切．
求证：为等腰三角形．
若米，米，且，求水渠离水面的高度．
 

22.  本小题分
已知抛物线是常数与轴相交于点和点，顶点为．
求抛物线的表达式．
若直线是常数与抛物线相交于点，与线段相交于点，当取最大值时，求点的坐标．
当时，若的最大值与最小值之差为，直接写出的值．

23.  本小题分
综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图，矩形纸片的边长，将矩形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为，然后展开，与交于点．
第二步：如图，将矩形纸片沿过点的直线再次折叠，使落在对角线上，点的对应点恰好与点重合，折痕为，将矩形纸片展平，连接．
问题解决：
在图中，______，______；
在图中，______；从图中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
将上面的矩形纸片沿过点的直线折叠，点的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为，则的取值范围是______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，
直尺对边互相平行，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等可得，再根据平角等于列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，可能被一个平面截出的截面是矩形的是圆柱体，
故选：．
根据几何体截面的概念求解即可．
本题考查的是几何体截面的形状，截面的形状既与被截几何体有关，还与截面的角度和方向有关．认真观察图中的截面是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、为了解中央电视台开学第课的收视率，采用抽样调查，正确，不符合题意；
B、为调查某单位职工学历情况占整体的百分比，采用扇形统计图，正确，不符合题意；
C、为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，采用全面调查，原说法错误，符合题意；
D、为调查某校初一班级学生的校服尺码，采用全面调查，正确，不符合题意．
故选：．
根据抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图的优点，逐个判断各选项，即可进行解答．
本题主要考查了抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图的优点，解题的关键是熟练掌握抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图可以清晰的反应各部分占总体的百分比．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
由得，，
由得，，
不等式组的解集为：．
故选：．
先分别求出不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是要遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选C．
根据题意得到，得到有关的方程即可求出的值．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，
她们恰好从同一出口走出的概率为．
故选：．
先画出树状图，共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，再根据概率公式，计算即可得出结果．
本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：矩形沿折叠，使点落在边的点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，，则，，
，
，
，
，，
，即，
解得：，负值舍去，
，，
矩形的面积．
故选：．
首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．
此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，三角形函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 

10.【答案】 

【解析】解：动力动力臂阻力阻力臂，
，
，
故选项A正确，不符合题意．
当时，，
故选项B正确，不符合题意．
当时，，
故选项C错误，符合题意．
一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，
右侧最长为，
，
故选项D正确，不符合题意．
故选：．
根据动力动力臂阻力阻力臂，可得出，即，即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数与实际问题的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设一次函数的解析式为，
一次函数的图象与轴的正半轴相交，
，
符合条件的函数解析式可以为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
设函数的解析式为，再根据一次函数的图象与轴的正半轴相交可知，写出符合此条件的函数解析式即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位长度，得到点，与点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据点的平移规律得到，根据关于轴对称的点的规律即可得到点的坐标．
此题考查了点的平移规律和关于坐标轴对称点的规律，熟练掌握相关规律是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
．
，
．
为的切线，
，
．
．
故答案为：．
利用垂直的意义，对顶角相等和三角形的内角和定理求得的度数，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质求得的度数；利用切线的性质定理求得，则可求，利用三角形的内角和定理即可求得结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的意义，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

，分别为，的中点，
，且，
要使最小，只要最小，
当时，最小，
的最小值为，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可．
本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在线段上时，

，，，
，，
将绕点旋转至，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
如图：当点在线段的延长线上时，

，，
，
将绕点旋转至，
，，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，点在上，
综上，的度数为或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式；
原式

． 

【解析】分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、算术平方根的概念计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
根据分式混合运算的法则进行计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算与实数的运算，解答此题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

17.【答案】   

【解析】解：人，
身高在之间的男生有人．
补全的直方图如下：

由直方图知，男生成绩从高到底第、个数据均落在组，女生成绩从高到底第、个数据均落在组，
男生身高的中位数落在组，女生身高的中位数落在组，
故答案为：，．
人，
答：八年级身高不足的学生约有人．
求出男生身高在之间的人数，从而补全图形；
根据中位数的定义求解即可；
用男、女生的总人数分别乘以样本中身高不足的人数所占比例，再求和即可得出答案．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

18.【答案】   

【解析】解：把代入，得，
解得：；
把代入，得，
解得：．
故答案为：；；

如图所示，直线即为所作；


由知：一次函数解析式为：，
令，则，
解得：，
，
，
过点作轴于，

，
，，
，
轴，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
点在轴的负半轴上，
．
把分别代入一次与反比例函数解析式，求解即可；
根据基本作图：经过直线 上一点作已知直线的垂直作法作图即可；
先求出点坐标，求得，再过点作轴于，证明∽，得，即，求得，从而得，即可得出点坐标．
本题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，尺规基本作图过一点作直线的垂直，相似三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数解析式、尺规基本作图过一点作直线的垂直、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，过点作于点，则，．

在中，，
米，
米，
，
是等腰直角三角形，
米．
米，
米，
米．
答：叶片的长度约为米． 

【解析】过点作于点，首先得到，，然后利用三角函数值求出，然后证明出是等腰直角三角形，利用线段的和差求解即可．
此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
 

20.【答案】解：设甲种花苗的价格为每株元，乙种花苗的价格为每株元，
依题意，得，
解得．
答：甲种花苗的价格为每株元，乙种花苗的价格为每株元．
设购买花苗的总费用为元，
则由题意有且，
整理得，．
，
随的增大而减小，
当时，购买花苗的总费用最低，最低为元． 

【解析】设甲种花苗的价格为每株元，乙种花苗的价格为每株元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
设购买花苗的总费用为元，根据题意表示出总费用，然后根据购买乙种花苗的数量不少于甲种花苗数量的得到，最后利用一次函数的性质求解即可．
此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用和不等式的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
 

21.【答案】证明：连接，延长交于点，连接．
圆周角、都对着弧，
．
是的直径，
．
．
与相切，
．
．
．
，
．
．
为等腰三角形．
解：，，
∽．
．
．
在中，
，
米．
答：水渠离水面的高度为米． 

【解析】利用圆周角定理、等腰三角形的性质及角的和差关系先说明，再得结论．
先说明∽，再利用相似三角形的性质求出的长，最后在中，利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了圆的相关定理和计算，掌握切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：，在抛物线上，
，
解得，
抛物线的表达式为；
抛物线的表达式为，整理可得：，
点的坐标为，
设直线的表达式为，、，
，
解得：，
直线的表达式为，
直线是常数与抛物线相交于点，与线段相交于点，
设，，且，
，
当时，取最大值，此时，
；
抛物线的表达式为，
当时，的最小值为，
当时，若的最大值与最小值之差为，
当时，，
当时，的最大值为，
，
解得：，不符合题意，舍去，
． 

【解析】利用待定系数法即可得出答案；
利用待定系数法确定直线的表达式为，设，，且，可得，再利用二次函数的最值即可得出答案；
由抛物线的表达式可得当时，的最小值为，当时，，可知当时，的最大值为，根据的最大值与最小值之差为，可建立关于方程，求解即可．
本题考查待定系数法确定抛物线和直线的解析式，图象上点的坐标特征，两点间距离，抛物线的最值，一元二次方程的应用．掌握抛物线的最值是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
故答案为：，；
，理由如下：
设，
由可得：，，
，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
；
如图，

，
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
，
，
故答案为：．
可得，，，从而得出结果；
设，则，，，从而得出结论；
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，可得出的最小值，进而得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练地解直角三角形．