知识必备09 锐角三角函数（公式、定理、结论图表）-2023年中考数学知识梳理+思维导图

知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）

考点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
　

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.

同理；；．
要点诠释：
　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
　　(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．

典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 　．　．

【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．

【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，

∴c2＝a2+b2，

∵b2＝ac，

∴c2＝a2+ac，

等式两边同时除以ac得：

＝+1，

令＝x，则有＝x+1，

∴x2+x﹣1＝0，

解得：x1＝，x2＝（舍去），

当x＝时，x≠0，

∴x＝是原分式方程的解，

∴sinA＝＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

考点二、特殊角的三角函数值

　　　利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：

要点诠释：
　　(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
　 　　、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（　　）

A．2 B．1 C． D．

【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．

【解答】解：tan45°的值等于1，

故选：B．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

考点三、锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；
　　(2)平方关系：；
　　(3)倒数关系：或；
　　(4)商数关系：．
　　要点诠释：
　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
考点四、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　　③边角之间的关系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h为斜边上的高.
要点诠释：
　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.
　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

考点五、解直角三角形的常见类型及解法

要点诠释：
　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．

（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．

【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；

（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．

【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．

理由：连接OC．

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵BC平分∠ABD，

∴∠OBC＝∠CBE，

∴∠OCB＝∠CBE，

∴OC∥BD，

∵CD⊥BD，

∴CD⊥OC，

∵OC是半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∵OC⊥DC，CD⊥DB，

∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，

∴四边形CDEJ是矩形，

∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，

∴OC⊥AE，

∴AJ＝EJ，

∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，

∴DE＝3，CD＝4，

∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，

在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，

∴r＝，

∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型

考点六、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
　　解这类问题的一般过程是：
　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
　　拓展：
　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
　　　　　　　　　　　　
　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
要点诠释：
　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.
　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：
　　　　　　
　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.

　典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（　　）米

A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500

【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．

【解答】解：设EF＝5x米，

∵斜坡BE的坡度为5：12，

∴BF＝12x米，

由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，

解得：x＝100，

则EF＝500米，BF＝1200米，

由题意可知，四边形DCFE为矩形，

∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，

在Rt△ADE中，tan∠AED＝，

则DE＝＝AD，

在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，

∴＝，

解得：AD＝600﹣750，

∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，

故选：B．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高

典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 　16　m．

（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．

则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，

在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，

设AE＝xm，则DE＝xm，

∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，

在Rt△ABC中，

tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，

解得x＝10，

∴AB＝16m．

故答案为：16．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键

典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）

（1）求点D与点A的距离；

（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；

（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．

【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

在Rt△ADC中，

∴（米），

答：点D与点A的距离为300米．

（2）过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB是东西走向，

∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，

在Rt△ADE中，

∴（米），

在Rt△BDE中，

∴（米），

∴（米），

答：隧道AB的长为米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

考点七、解直角三角形相关的知识

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

    (1)三边之间的关系：；

    (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；

    (3)边与角之间的关系：，，，．

    (4) 如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则

由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；

由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；

由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；

由△ACD∽△ABC或由△ABC面积，得ab＝ch．

(5)如图所示，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则

       ①CD＝AD＝BD＝AB；

       ②点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径R＝AB．

(6)如图所示，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．

直角三角形的面积：

①如图所示，．（h为斜边上的高）

        ②如图所示，．

典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（　　）

A．12sin15° B．12cos15° C．12sin30° D．12cos30°

【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．

【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，

∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，

∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，

∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，

∴π≈＝12sin15°，

故选：A．

【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．