专题03 因式分解（学案含解析）-2023年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题03 因式分解（学案含解析）-2023年中考数学一轮复习（全国通用），共27页。

中考数学一轮复习学案
03 因式分解

中考命题说明


考点
课标要求
考查角度
1
因式
分解
①理解因式分解的概念；
②会用提公因式法、公式法等方法进行因式分解．
考查因式分解的两种方法．
以选择题、填空题为主．

思维导图



知识点1：因式分解的概念

知识点梳理


1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的 　乘积　的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．
2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
典型例题

【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2－x－1=x(x－1)－1 B．x2－1=(x－1)2
C．x2－x－6=(x－3) (x＋2) D．x(x－1)= x2－x
【考点】因式分解的意义
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
【例2】（3分）（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．
【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；
②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
知识点2：因式分解的方法与步骤

知识点梳理

1. 一般方法：
（1）提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．
①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
（2）运用公式法：
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．
（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．
2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
典型例题

利用提公因式法分解因式
【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（ ）
A．–3x2y2 B．–2x2y2 C．6x2y2 D．–x2y2
【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．
故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．
故选D．
【答案】D．
【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝ ．
【考点】因式分解—提公因式法
【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．
故答案为：3a (a－7b)．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
利用平方差公式分解因式
【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为 ．
【考点】因式分解—运用公式法
【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．
【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，
故答案为：(x＋2)(x－2)．
【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝ ．
【考点】因式分解—运用公式法
【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，
∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
利用完全平方公式分解因式
【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（ ）
A．x(x－4)＋4 B．(x＋2) (x－2) C．(x＋2)2 D．(x－2)2
【考点】因式分解—运用公式法
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝(x－2)2．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝ ．
【考点】因式分解—运用公式法
【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32
＝(m＋n－3)2．
故答案为：(m＋n－3)2．
【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，考查整体思想，掌握是解题的关键．
利用十字相乘法分解因式
【例9】已知二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），则b+c的值为（ ）
A．1 B．–1 C．–5 D．5
【分析】∵二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），
∴x2+bx+c＝（x–3）（x+1）＝x2–2x–3，∴b＝–2，c＝–3，故b+c＝–5．
故选C．
【答案】C．
【例10】（2022•内江）分解因式：a4－3a2－4＝ ．
【考点】因式分解—十字相乘法等
【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：a4－3a2－4
＝(a2＋1)(a2－4)
＝(a2＋1)( a＋2)( a－2)，
故答案为：(a2＋1)( a＋2)( a－2)．
【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．
利用分组分解法分解因式
【例11】因式分解：x2 – y2 –2x+2y．
【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x–y即可.
【答案】x2 – y2–2x+2y = (x2 – y2 )–( 2x–2y )
= ( x+y ) ( x –y ) –2 ( x–y )
= ( x–y ) ( x+y–2 ) ．
【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a－3ab－4＋6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)
＝a (2－3b)－2(2－3b)
＝(2－3b)(a－2)
解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)
＝2(a－2)－3b(a－2)
＝(a－2) (2－3b)
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．

【考点】因式分解的应用
【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；
（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；
（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a)
＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a)
＝(x＋a) (x－a＋1)；
（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2)
＝x (a－b)＋(a－b) 2
＝(a－b)( x＋a－b)；
（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b)
＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2)
＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab)
＝(a2＋b2) (a－b) 2，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，
∴原式＝9．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
几种方法的综合运用
【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1) ＝2022(x－1) 2．
故答案为：2022(x－1) 2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．
【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），
故答案为：5（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
知识点3：因式分解的应用

知识点梳理

因式分解的应用：
利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.
典型例题

【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是 ．
【考点】因式分解的应用
【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵
∵ab＝2，a＋b＝3，
∴原式＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为 ．
【考点】因式分解的应用
【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．
方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．
【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9
＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9
又∵a＋b＝1，
∴原式＝a－b＋2b＋9
＝a＋b＋9
＝10．
方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9
＝a2－(b2－2b＋1)＋10
＝a2－(b－1)2＋10
＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．
又∵a＋b＝1，
∴原式＝10．
【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
巩固训练

1．（2022•永州）下列因式分解正确的是　　
A． B．
C． D．
2．（2022•青海）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
3．（2022•柳州）把多项式分解因式得　　
A． B． C． D．
4．（2022•荆门）对于任意实数，，恒成立，则下列关系式正确的是　　
A． B．
C． D．
5．（2022•湘西州）因式分解：　　．
6．（2022•长春）分解因式：　　．
7．（2022•常州）分解因式：　　．
8．（2022•百色）因式分解：　　．
9．（2022•舟山）分解因式：　　．
10．（2022•贵阳）因式分解：　　．
11．（2022•江西）因式分解：　　．
12．（2022•绍兴）分解因式：　　．
13．（2022•眉山）分解因式：　　．
14．（2022•桂林）因式分解：　　．
15．（2022•黑龙江）分解因式：　　．
16．（2022•镇江）分解因式：　　
17．（2022•丽水）分解因式：　　．
18．（2022•菏泽）分解因式：　　．
19．（2022•株洲）因式分解：　　．
20．（2022•温州）分解因式：　　．
21．（2022•张家界）因式分解：　　．
22．（2022•衡阳）因式分解：　　．
23．（2022•邵阳）因式分解：　　．
24．（2022•徐州）因式分解：　　．
25．（2022•云南）分解因式：　　．
26．（2022•兰州）因式分解：　　．
27.（2022•济南）因式分解：a2＋4a＋4＝ ．
28．（2022•金华）因式分解：　　．
29．（2022•台州）分解因式：　　．
30．（2022•嘉兴）分解因式：　　．
31．（2022•宁波）分解因式：　　．
32．（2022•深圳）分解因式：　　．
33．（2022•绵阳）因式分解：　　．
34．（2022•丹东）因式分解：　　．
35．（2022•辽宁）分解因式：　　．
36．（2022•恩施州）因式分解：　　．
37．（2022•哈尔滨）把多项式分解因式的结果是 　　．
38．（2022•沈阳）因式分解：　　．
39．（2022•常德）分解因式：　　．
40．（2022•怀化）因式分解：　　．
41．（2022•扬州）分解因式：　　．
42．（2022•赤峰）分解因式：　　．
43．（2022•宁夏）分解因式：　　．
44．（2022•甘肃）因式分解：　　．
45．（2022•北京）分解因式：　　．
46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”．
例如：，是13的“和倍数”．
又如：，不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数是12的“和倍数”， ，，分别是数其中一个数位上的数字，且．在，，中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为（A），最小的两位数记为（A），若为整数，求出满足条件的所有数．
47．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 　2022　；
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．

巩固训练解析

1．（2022•永州）下列因式分解正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】因式分解的意义
【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．
【解答】解：选项，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，与没有公因式，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握是解题的关键．
2．（2022•青海）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】多项式乘多项式；因式分解提公因式法；合并同类项；完全平方公式
【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．
【解答】解：．与不是同类项不能加减，故选项计算不正确；
．，故选项计算不正确；
．，故选项计算不正确；
．，故选项计算正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．
3．（2022•柳州）把多项式分解因式得　　
A． B． C． D．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
4．（2022•荆门）对于任意实数，，恒成立，则下列关系式正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】把所给公式中的换成，进行计算即可解答．
【解答】解：，





故选：．
【点评】本题考查了因式分解运用公式法，把所给公式中的换成是解题的关键．
5．（2022•湘西州）因式分解：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．
6．（2022•长春）分解因式：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解提公因式法是解题的关键．
7．（2022•常州）分解因式：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8．（2022•百色）因式分解：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接提取公因式，进而分解因式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．
9．（2022•舟山）分解因式：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．
10．（2022•贵阳）因式分解：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
11．（2022•江西）因式分解：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接把公因式提出来即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是是解题的关键．
12．（2022•绍兴）分解因式：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．
13．（2022•眉山）分解因式：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接提取公因式，进而得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．（2022•桂林）因式分解：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接提取公因式，进而得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
15．（2022•黑龙江）分解因式：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】提取公因式，整理即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
16．（2022•镇江）分解因式：　　
【考点】因式分解提公因式法
【分析】此题只要提取公因式3即可．
【解答】解：．
【点评】此题考查公因式的提取，通过提取出相同的因式即可解出此题．
17．（2022•丽水）分解因式：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
18．（2022•菏泽）分解因式：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
19．（2022•株洲）因式分解：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了因式分解应用公式法，熟练掌握因式分解应用公式法进行求解是解决本题的关键．
20．（2022•温州）分解因式：　　．
【考点】平方差公式；因式分解运用公式法
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式是解题关键．
21．（2022•张家界）因式分解：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】根据平方差公式分解即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．（2022•衡阳）因式分解：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．
23．（2022•邵阳）因式分解：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：．
24．（2022•徐州）因式分解：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
25．（2022•云南）分解因式：　　．
【考点】平方差公式；因式分解运用公式法
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
26．（2022•兰州）因式分解：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
27.（2022•济南）因式分解：a2＋4a＋4＝ ．
【考点】因式分解—运用公式法
【分析】利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝(a＋2)2，
故答案为：(a＋2)2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
28．（2022•金华）因式分解：　　．
【考点】平方差公式；因式分解运用公式法
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
29．（2022•台州）分解因式：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
30．（2022•嘉兴）分解因式：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：．
【解答】解：．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
31．（2022•宁波）分解因式：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
32．（2022•深圳）分解因式：　　．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
33．（2022•绵阳）因式分解：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
34．（2022•丹东）因式分解：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
35．（2022•辽宁）分解因式：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：

，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
36．（2022•恩施州）因式分解：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
37．（2022•哈尔滨）把多项式分解因式的结果是 　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：

，
故答案为：．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
38．（2022•沈阳）因式分解：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：

．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
39．（2022•常德）分解因式：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．
【解答】解：

，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．
40．（2022•怀化）因式分解：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
41．（2022•扬州）分解因式：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
42．（2022•赤峰）分解因式：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
43．（2022•宁夏）分解因式：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：

．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
44．（2022•甘肃）因式分解：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
45．（2022•北京）分解因式：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”．
例如：，是13的“和倍数”．
又如：，不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数是12的“和倍数”， ，，分别是数其中一个数位上的数字，且．在，，中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为（A），最小的两位数记为（A），若为整数，求出满足条件的所有数．
【考点】因式分解的应用
【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；
（2）设，根据“和倍数”的定义表示（A）和（A），代入中，根据为整数可解答．
【解答】解：（1），
不是“和倍数”；
，
是9的“和倍数”；
（2）设，
由题意得：（A），（A），
，
，为整数，
，
，
，5，7，
，7，5，
①当，时，（舍，，
则或372；
②当，时，，
则或516；
③当，时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数为：732或372或156或516．
【点评】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．
47．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 　2022　；
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．

【考点】有理数的混合运算；因式分解的应用
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解；
（2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）

．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：，
解得，（舍去）．
故的值是9．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．