新教材2023年高中数学第5章计数原理2排列第2课时排列数的应用课件北师大版选择性必修第一册

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第五章　计数原理§2　排列第2课时　排列数的应用必备知识 · 探新知知识点 1解排列应用题的基本思想知识点 2求解排列问题的主要方法关键能力 · 攻重难 用1，2，3，4，5，6，7这7 个数字组成没有重复数字的四位数．(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？(2)如果组成的四位数必须大于6 500，那么这样的四位数有多少个？[分析]　这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．典例1[规律方法]　解数字排列问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理计算，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当：二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．【对点训练】❶ 我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2 014是“北斗数”)，则“北斗数”中千位为3的共有_____个．[解析]　由已知得千位为3的“北斗数”的后三位之和为4，有以下四种可能：0，0，4；0，1，3；0，2，2；1，1，2；各种组合对应的排列个数分别为3，6，3，3，合计15个．15　 3名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法．(1)男、女各站在一起．(2)男生必须排在一起．(3)男生不能排在一起．(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．[分析]　解决“相邻”问题用“捆绑法”，解决“不相邻”问题用“插空法”．典例2[规律方法]　处理对象“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．对象相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个对象“捆绑”为一个大对象与其余对象全排列，然后再松绑，将这若干个对象内部全排列．对象不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻对象以外的“普通”对象全排列，然后在“普通”对象之间及两端插入不相邻对象．【对点训练】❷ (1)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 (　　)A．720　　 B．360　　C．240　　 D．120(2)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？C　 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．典例3[分析]　(1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人．(2)同(1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有A种排法，再排其他人．(3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙的站位分类．用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次都减去了)．[规律方法]　有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”．1．至多、至少间接法当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”“至少”类词语的排列问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般．②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．【对点训练】❸ 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一排，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？[分析]　因为只需从7名同学中选出5名同学参与排列，所以应对有特殊限制的元素是否被选出参与排列分类考虑，然后再利用排列的知识进行解题． (1)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则符合条件的七位数有______个．(2)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列有_____个(用数字作答)．[分析]　定序问题常用“除法”和“插空法”．典例4210　40　(2)插空法，即m个对象之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个对象，只有一种排法，然后把剩下的n个对象分类或分步插入由以上m个对象形成的空中．【对点训练】❹ 《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有______种．(用数字作答)．144　重复计数与遗漏计数致误 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有______种．典例5720　[辨析]　排列问题的重点是弄清“按怎样的顺序排列”，结合问题情境找出排序的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否把每一种情况都考虑进去了，切忌重复或遗漏．课堂检测 · 固双基1．从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 (　　)A．300种　　 B．240种C．144种　　 D．96种B　2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 (　　)A．192种　　 B．216种C．240种　　 D．288种B　3．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 (　　)A．20种　　 B．30种C．40种　　 D．60种A　4．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为_____.24