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2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第七章 §7.6 空间向量的概念与运算
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这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第七章 §7.6 空间向量的概念与运算，共26页。试卷主要包含了空间向量的有关定理，空间位置关系的向量表示等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1．空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0.( √ )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
教材改编题
1. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则下列向量中与eq \(C1M,\s\up6(—→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 C
解析 eq \(C1M,\s\up6(—→))＝eq \(C1C,\s\up6(—→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(C1C,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c.
2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
答案 B
解析 分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a))，
又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝(0，a,0)，所以eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝0，所以eq \(MN,\s\up6(→))⊥eq \(C1D1,\s\up6(—→)).
因为eq \(C1D1,\s\up6(—→))是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
答案 10
解析 ∵l1⊥l2，∴a⊥b，
∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3,5,2)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
答案 B
解析 因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝eq \f(1,2)×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1D,\s\up6(—→))等于( )
A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
B.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
D．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
答案 D
解析 eq \(A1D,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
＝－eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BB1,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝－eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案 B
解析 由b＝eq \f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
②用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))表示eq \(OC1,\s\up6(—→))，则eq \(OC1,\s\up6(—→))＝________.
答案 ①eq \(A1A,\s\up6(—→)) ②eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))
解析 ①eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→)).
②因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))．
所以eq \(OC1,\s\up6(—→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)).
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
答案 C
解析 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；
假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；
假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
答案 CD
解析 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，因为eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))＝λ(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))，即eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))，
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．
思维升华 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq \(BD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，则λ等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 eq \(BD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，即eq \(PD,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，
整理得eq \(PD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－3eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足eq \(DE,\s\up6(→))＝xeq \(DA,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(DD1,\s\up6(—→))，则|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 因为eq \(DE,\s\up6(→))＝xeq \(DA,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(DD1,\s\up6(—→))，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为eq \r(2)的等边三角形，则＝eq \f(1,2)×(eq \r(2))2×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，S△ACD＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，由等体积法得，所以eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×d＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1，解得d＝eq \f(\r(3),3)，所以|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(\r(3),3).
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 (1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值时，eq \(OQ,\s\up6(→))的坐标是______．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))
解析 ∵eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，
设eq \(OQ,\s\up6(→))＝λeq \(OP,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，
又∵eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，
∴eq \(QA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OQ,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
则eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，
当λ＝eq \f(4,3)时，eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值，
此时eq \(OQ,\s\up6(→))的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
①求线段AC1的长；
②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
③求证：AA1⊥BD.
①解 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cs 120°＝－1.
因为eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c，
所以|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝|a＋b＋c|＝eq \r(a＋b＋c2)
＝eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)
＝eq \r(1＋1＋4＋0－2－2)＝eq \r(2)，
所以线段AC1的长为eq \r(2).
②解 因为eq \(AC1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c，eq \(A1D,\s\up6(—→))＝b－c，
所以eq \(AC1,\s\up6(—→))·eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2
＝0＋1＋1－4＝－2，
|eq \(A1D,\s\up6(—→))|＝|b－c|＝eq \r(b－c2)
＝eq \r(|b|2＋|c|2－2b·c)
＝eq \r(1＋4＋2)＝eq \r(7)，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(AC1,\s\up6(—→))，eq \(A1D,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|\(AC1,\s\up6(—→))·\(A1D,\s\up6(—→))|,|\(AC1,\s\up6(—→))||\(A1D,\s\up6(—→))|)
＝eq \f(|－2|,\r(2)×\r(7))＝eq \f(\r(14),7)，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为eq \f(\r(14),7).
③证明 由①知eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，
所以eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，
即eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，
所以AA1⊥BD.
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(4\r(2),3) D.eq \f(8,3)
答案 D
解析 ∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AO，∴eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝0，
|eq \(AO,\s\up6(→))|＝eq \f(2,3)·|eq \(AB,\s\up6(→))|·sin 60°＝eq \f(2\r(3),3)，
故eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2＝|eq \(AP,\s\up6(→))|2－|eq \(AO,\s\up6(→))|2＝4－eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．
①求〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉；
②求eq \(AC,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量．
解 ①因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－2,0)．
因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－6,3\r(2)×2\r(2))＝－eq \f(1,2)，
故〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2π,3).
②因为eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,1,3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0＋1×3＋3×3＝12.
因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(14)，
所以cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(12,\r(14)×3\r(2))＝eq \f(2\r(7),7)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \r(14)×eq \f(2\r(7),7)×eq \f(\(AB,\s\up6(→)),3\r(2))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,2,2)．
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(1)证明 以A为原点，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，B1(a,0,1)．
故eq \(AD1,\s\up6(—→))＝(0,1,1)，eq \(B1E,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，1，－1)).
因为eq \(B1E,\s\up6(—→))·eq \(AD1,\s\up6(—→))＝－eq \f(a,2)×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以eq \(B1E,\s\up6(—→))⊥eq \(AD1,\s\up6(—→))，即B1E⊥AD1.
(2)解 存在满足要求的点P，
假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
eq \(AB1,\s\up6(→))＝(a,0,1)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0)).
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥eq \(AB1,\s\up6(—→))，n⊥eq \(AE,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0，))
取x＝1，则y＝－eq \f(a,2)，z＝－a，
故n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(a,2)，－a)).
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥eq \(DP,\s\up6(→))，
则eq \f(a,2)－az0＝0，解得z0＝eq \f(1,2).
所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝eq \f(1,2).
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
跟踪训练4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
证明 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．
设BA＝a，则A(a,0,0)，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，4)).
(1)因为eq \(BA,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq \(B1D,\s\up6(—→))＝(0,2，－2)，
所以eq \(B1D,\s\up6(—→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(B1D,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0.
所以eq \(B1D,\s\up6(—→))⊥eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(B1D,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，
即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.
因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)方法一 因为eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，1))，eq \(EF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(B1D,\s\up6(—→))＝(0,2，－2)，
所以eq \(B1D,\s\up6(—→))·eq \(EG,\s\up6(→))＝0，eq \(B1D,\s\up6(—→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，
所以平面EGF∥平面ABD.
方法二 因为eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，0))，
所以eq \(GF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，∴GF∥BA，
又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，
所以平面EGF∥平面ABD.
课时精练
1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于( )
A．－6 B．6 C．－4 D．4
答案 D
解析 若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，
即3x－2－10＝0，解得x＝4.
2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))是空间的一组基底，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共面
D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底
答案 ACD
解析 对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；
对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；
对于C，若eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))是空间的一组基底，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，
则eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，即eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，
则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x，y，z),
使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，
则a，b，c也是空间的一组基底．
3. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．1 B．2
C．3 D.eq \f(\r(6),3)
答案 A
解析 由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，
eq \(BD1,\s\up6(—→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))，所以eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0＋eq \(BC,\s\up6(→))2＋0＝1.
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
答案 B
解析 对于选项A，eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(PA,\s\up6(→))·n ＝5，所以eq \(PA,\s\up6(→))与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))，所以eq \(PA,\s\up6(→))·n＝0，因此B项正确．
5. 如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝eq \r(2)，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．2eq \r(3) D．4
答案 B
解析 ∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))，
∵eq \(CA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs(180°－120°)＝eq \f(1,2)×1×2＝1.
∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝3.
6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是( )
A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直
B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为eq \f(2,3)
D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
答案 BC
解析 对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，
故a，c不垂直，故A错；
对于B，设d＝ma＋nb，
则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)＝(1，－4，－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋3n＝1，,－2m＝－4，,m＋4n＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－1，))
即2a－b＝d，故B对；
对于C，因为cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(10,3×5)＝eq \f(2,3)，
所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为eq \f(2,3)，故C对；
对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cs〈a，b〉·eq \f(b,|b|)＝3×eq \f(2,3)×eq \f(1,5)×(3,0,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，0，\f(8,5)))，故D错．
7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.
答案 2
解析 ∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，
n＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l⊥α，∴m∥n，
∴eq \f(1,2)＝eq \f(a＋2b,3)＝eq \f(a－1,3)，解得a＝eq \f(5,2)，b＝－eq \f(1,2)，
∴a＋b＝2.
8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，eq \(VP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(VC,\s\up6(→))，eq \(VM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VB,\s\up6(→))， eq \(VN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VD,\s\up6(→)).则VA与平面PMN的位置关系是________．
答案 VA∥平面PMN
解析 如图，设eq \(VA,\s\up6(→))＝a，eq \(VB,\s\up6(→))＝b，eq \(VC,\s\up6(→))＝c，则eq \(VD,\s\up6(→))＝a＋c－b，
由题意知eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(VC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c.
因此eq \(VA,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(PN,\s\up6(→))，∴eq \(VA,\s\up6(→))，eq \(PM,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))共面．
又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.
9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b？(O为原点)
解 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝eq \r(02＋－52＋52)＝5eq \r(2).
(2)令eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)) (t∈R)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1，－2)，
所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq \(OE,\s\up6(→))·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq \f(9,5).
因此存在点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，此时点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).
10. 如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
证明 (1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．
eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq \(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
∴eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴eq \(PD,\s\up6(→))⊥eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(PD,\s\up6(→))⊥eq \(AH,\s\up6(→))，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(3)AD＝eq \r(3)AA1＝eq \r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论不正确的是( )
A．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝2eq \(A1P,\s\up6(—→))时，B1，P，D三点共线
B．当eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(A1C,\s\up6(—→))时，eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(D1P,\s\up6(—→))
C．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝3eq \(A1P,\s\up6(—→))时，D1P∥平面BDC1
D．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5eq \(A1P,\s\up6(—→))时，A1C⊥平面D1AP
答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C(0，eq \r(3)，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，eq \r(3)，1)，D(0,0,0)，
B(1，eq \r(3)，0)，C1(0，eq \r(3)，1)，
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝2eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，
eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \(DA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
而eq \(DB1,\s\up6(—→))＝(1，eq \r(3)，1)，
∴eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB1,\s\up6(—→))，∴B1，P，D三点共线，A正确；
设eq \(A1P,\s\up6(—→))＝λeq \(A1C,\s\up6(—→))，eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－1，eq \r(3)，－1)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋λeq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－λ，eq \r(3)λ，1－λ)．
当eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(A1C,\s\up6(—→))时，有eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5λ－1＝0，
∴λ＝eq \f(1,5)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(\r(3),5)，－\f(1,5)))＝－eq \f(1,5)≠0，∴eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(D1P,\s\up6(—→))不垂直，B不正确；
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝3eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(\r(3),3)，－\f(1,3)))，
eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \(A1P,\s\up6(—→))－eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(\r(3),3)，－\f(1,3)))，
又eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)，0)，eq \(DC1,\s\up6(—→))＝(0，eq \r(3)，1)，
∴eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(DB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(DC1,\s\up6(—→))，∴eq \(D1P,\s\up6(—→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC1,\s\up6(→))共面，又D1P⊄平面BDC1，∴D1P∥平面BDC1，C正确；
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，－\f(1,5)))，从而eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))，
又eq \(AD1,\s\up6(—→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－1,0,1)·(－1，eq \r(3)，－1)＝0，
∴A1C⊥AD1，
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))·(－1，eq \r(3)，－1)＝0，
∴A1C⊥AP，∵AD1∩AP＝A，AD1，AP⊂平面D1AP，∴A1C⊥平面D1AP，D正确．
12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1－A1D1M体积不变
答案 ACD
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，eq \(D1M,\s\up6(—→))＝(3，y，－3)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
则eq \(D1M,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0，
即z＝eq \f(1,3)y(3－y)．
对于A选项，连接A1M，eq \(A1M,\s\up6(—→))＝(0，y，－3)，则eq \(A1M,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0，则eq \(A1M,\s\up6(—→))⊥eq \(MN,\s\up6(→))，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项，eq \(CM,\s\up6(→))＝(3，y－3,0)，eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项，eq \(BN,\s\up6(→))＝(0,0，z)，则线段BN长度|eq \(BN,\s\up6(→))|＝z＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＋\f(9,4)))≤eq \f(3,4)，当且仅当y＝eq \f(3,2)时等号成立，C正确；
对于D选项，连接D1M，A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝eq \f(9,2)，所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值，即D正确．
13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，eq \(C1N,\s\up6(→))＝λeq \(NC,\s\up6(→))，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
答案 15
解析 如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，
以eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MP,\s\up6(→))的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1，侧棱长为2，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，0))，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，2))，M(0,0,0)，
设Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，t))，
因为eq \(C1N,\s\up6(—→))＝λeq \(NC,\s\up6(→))，
所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ)))，
所以eq \(AB1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，2))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ))).
又因为AB1⊥MN，
所以eq \(AB1,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝0，
所以－eq \f(1,4)＋eq \f(4,1＋λ)＝0，
解得λ＝15.
14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cs∠EAF＝________，EF＝________.
答案 eq \f(2,5) eq \f(\r(6),2)
解析 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为1，
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，
cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→)),|\(AE,\s\up6(→))||\(AF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(2,5)，
∴cs∠EAF＝eq \f(2,5)，
EF＝|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(6),2).
15．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，
eq \(DE,\s\up6(→))＝(4，－4,2)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(4λ，－4,0)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(4,4，－4)，eq \(PE,\s\up6(→))＝(4,0，－2)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up6(→))＝4x－4y＋2z＝0，,n·\(DF,\s\up6(→))＝4λx－4y＝0，))
取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，
设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(PC,\s\up6(→))＝4a＋4b－4c＝0，,m·\(PE,\s\up6(→))＝4a－2c＝0，))取a＝1，得m＝(1,1,2)，
∵平面DEF⊥平面PCE，
∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝eq \f(3,5).
16.如图，在三棱锥P－ABC 中，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，|eq \(PA,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝4|eq \(AB,\s\up6(→))|2.
(1)求证：AB⊥平面PAC；
(2)若M 为线段PC 上的点，设eq \f(|\(PM,\s\up6(→))|,|\(PC,\s\up6(→))|)＝λ，当λ 为何值时，直线PC⊥平面MAB?
(1)证明 因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以PA⊥AB，AB⊥AC，
因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
(2)解 当M为PC的中点，即λ＝eq \f(1,2)时，直线PC⊥平面MAB.
如图，以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
由|eq \(PA,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝4|eq \(AB,\s\up6(→))|2可得PA＝AC＝2AB.
设AP＝2，则P(0,0,2)，A(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,1,0)，M(1,0,1)．
eq \(PC,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)．
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝2×1＋0×0＋(－2)×1＝0，
所以eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(AM,\s\up6(→))，
即PC⊥AM.
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝2×(－1)＋0×1＋(－2)×(－1)＝0，
所以eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(MB,\s\up6(→))，即PC⊥BM.
又因为AM∩BM＝M，AM，BM⊂平面MAB，
所以PC⊥平面MAB.
故当λ＝eq \f(1,2)时，PC⊥平面MAB.名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
长度相等而方向相反的向量
共线向量(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角余弦值
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))
eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up6(→))
知识梳理
1．空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0.( √ )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
教材改编题
1. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则下列向量中与eq \(C1M,\s\up6(—→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 C
解析 eq \(C1M,\s\up6(—→))＝eq \(C1C,\s\up6(—→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(C1C,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c.
2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
答案 B
解析 分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a))，
又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝(0，a,0)，所以eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝0，所以eq \(MN,\s\up6(→))⊥eq \(C1D1,\s\up6(—→)).
因为eq \(C1D1,\s\up6(—→))是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
答案 10
解析 ∵l1⊥l2，∴a⊥b，
∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3,5,2)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
答案 B
解析 因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝eq \f(1,2)×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1D,\s\up6(—→))等于( )
A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
B.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
D．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
答案 D
解析 eq \(A1D,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
＝－eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BB1,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝－eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案 B
解析 由b＝eq \f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
②用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))表示eq \(OC1,\s\up6(—→))，则eq \(OC1,\s\up6(—→))＝________.
答案 ①eq \(A1A,\s\up6(—→)) ②eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))
解析 ①eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→)).
②因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))．
所以eq \(OC1,\s\up6(—→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)).
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
答案 C
解析 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；
假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；
假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
答案 CD
解析 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，因为eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))＝λ(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))，即eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))，
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．
思维升华 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq \(BD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，则λ等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 eq \(BD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，即eq \(PD,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，
整理得eq \(PD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－3eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足eq \(DE,\s\up6(→))＝xeq \(DA,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(DD1,\s\up6(—→))，则|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 因为eq \(DE,\s\up6(→))＝xeq \(DA,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(DD1,\s\up6(—→))，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为eq \r(2)的等边三角形，则＝eq \f(1,2)×(eq \r(2))2×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，S△ACD＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，由等体积法得，所以eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×d＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1，解得d＝eq \f(\r(3),3)，所以|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(\r(3),3).
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 (1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值时，eq \(OQ,\s\up6(→))的坐标是______．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))
解析 ∵eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，
设eq \(OQ,\s\up6(→))＝λeq \(OP,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，
又∵eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，
∴eq \(QA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OQ,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
则eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，
当λ＝eq \f(4,3)时，eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值，
此时eq \(OQ,\s\up6(→))的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
①求线段AC1的长；
②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
③求证：AA1⊥BD.
①解 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cs 120°＝－1.
因为eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c，
所以|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝|a＋b＋c|＝eq \r(a＋b＋c2)
＝eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)
＝eq \r(1＋1＋4＋0－2－2)＝eq \r(2)，
所以线段AC1的长为eq \r(2).
②解 因为eq \(AC1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c，eq \(A1D,\s\up6(—→))＝b－c，
所以eq \(AC1,\s\up6(—→))·eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2
＝0＋1＋1－4＝－2，
|eq \(A1D,\s\up6(—→))|＝|b－c|＝eq \r(b－c2)
＝eq \r(|b|2＋|c|2－2b·c)
＝eq \r(1＋4＋2)＝eq \r(7)，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(AC1,\s\up6(—→))，eq \(A1D,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|\(AC1,\s\up6(—→))·\(A1D,\s\up6(—→))|,|\(AC1,\s\up6(—→))||\(A1D,\s\up6(—→))|)
＝eq \f(|－2|,\r(2)×\r(7))＝eq \f(\r(14),7)，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为eq \f(\r(14),7).
③证明 由①知eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，
所以eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，
即eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，
所以AA1⊥BD.
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(4\r(2),3) D.eq \f(8,3)
答案 D
解析 ∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AO，∴eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝0，
|eq \(AO,\s\up6(→))|＝eq \f(2,3)·|eq \(AB,\s\up6(→))|·sin 60°＝eq \f(2\r(3),3)，
故eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2＝|eq \(AP,\s\up6(→))|2－|eq \(AO,\s\up6(→))|2＝4－eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．
①求〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉；
②求eq \(AC,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量．
解 ①因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－2,0)．
因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－6,3\r(2)×2\r(2))＝－eq \f(1,2)，
故〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2π,3).
②因为eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,1,3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0＋1×3＋3×3＝12.
因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(14)，
所以cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(12,\r(14)×3\r(2))＝eq \f(2\r(7),7)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \r(14)×eq \f(2\r(7),7)×eq \f(\(AB,\s\up6(→)),3\r(2))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,2,2)．
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(1)证明 以A为原点，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，B1(a,0,1)．
故eq \(AD1,\s\up6(—→))＝(0,1,1)，eq \(B1E,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，1，－1)).
因为eq \(B1E,\s\up6(—→))·eq \(AD1,\s\up6(—→))＝－eq \f(a,2)×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以eq \(B1E,\s\up6(—→))⊥eq \(AD1,\s\up6(—→))，即B1E⊥AD1.
(2)解 存在满足要求的点P，
假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
eq \(AB1,\s\up6(→))＝(a,0,1)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0)).
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥eq \(AB1,\s\up6(—→))，n⊥eq \(AE,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0，))
取x＝1，则y＝－eq \f(a,2)，z＝－a，
故n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(a,2)，－a)).
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥eq \(DP,\s\up6(→))，
则eq \f(a,2)－az0＝0，解得z0＝eq \f(1,2).
所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝eq \f(1,2).
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
跟踪训练4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
证明 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．
设BA＝a，则A(a,0,0)，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，4)).
(1)因为eq \(BA,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq \(B1D,\s\up6(—→))＝(0,2，－2)，
所以eq \(B1D,\s\up6(—→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(B1D,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0.
所以eq \(B1D,\s\up6(—→))⊥eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(B1D,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，
即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.
因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)方法一 因为eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，1))，eq \(EF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(B1D,\s\up6(—→))＝(0,2，－2)，
所以eq \(B1D,\s\up6(—→))·eq \(EG,\s\up6(→))＝0，eq \(B1D,\s\up6(—→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，
所以平面EGF∥平面ABD.
方法二 因为eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，0))，
所以eq \(GF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，∴GF∥BA，
又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，
所以平面EGF∥平面ABD.
课时精练
1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于( )
A．－6 B．6 C．－4 D．4
答案 D
解析 若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，
即3x－2－10＝0，解得x＝4.
2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))是空间的一组基底，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共面
D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底
答案 ACD
解析 对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；
对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；
对于C，若eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))是空间的一组基底，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，
则eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，即eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，
则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x，y，z),
使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，
则a，b，c也是空间的一组基底．
3. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．1 B．2
C．3 D.eq \f(\r(6),3)
答案 A
解析 由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，
eq \(BD1,\s\up6(—→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))，所以eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0＋eq \(BC,\s\up6(→))2＋0＝1.
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
答案 B
解析 对于选项A，eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(PA,\s\up6(→))·n ＝5，所以eq \(PA,\s\up6(→))与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))，所以eq \(PA,\s\up6(→))·n＝0，因此B项正确．
5. 如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝eq \r(2)，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．2eq \r(3) D．4
答案 B
解析 ∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))，
∵eq \(CA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs(180°－120°)＝eq \f(1,2)×1×2＝1.
∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝3.
6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是( )
A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直
B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为eq \f(2,3)
D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
答案 BC
解析 对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，
故a，c不垂直，故A错；
对于B，设d＝ma＋nb，
则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)＝(1，－4，－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋3n＝1，,－2m＝－4，,m＋4n＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－1，))
即2a－b＝d，故B对；
对于C，因为cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(10,3×5)＝eq \f(2,3)，
所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为eq \f(2,3)，故C对；
对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cs〈a，b〉·eq \f(b,|b|)＝3×eq \f(2,3)×eq \f(1,5)×(3,0,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，0，\f(8,5)))，故D错．
7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.
答案 2
解析 ∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，
n＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l⊥α，∴m∥n，
∴eq \f(1,2)＝eq \f(a＋2b,3)＝eq \f(a－1,3)，解得a＝eq \f(5,2)，b＝－eq \f(1,2)，
∴a＋b＝2.
8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，eq \(VP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(VC,\s\up6(→))，eq \(VM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VB,\s\up6(→))， eq \(VN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VD,\s\up6(→)).则VA与平面PMN的位置关系是________．
答案 VA∥平面PMN
解析 如图，设eq \(VA,\s\up6(→))＝a，eq \(VB,\s\up6(→))＝b，eq \(VC,\s\up6(→))＝c，则eq \(VD,\s\up6(→))＝a＋c－b，
由题意知eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(VC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c.
因此eq \(VA,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(PN,\s\up6(→))，∴eq \(VA,\s\up6(→))，eq \(PM,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))共面．
又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.
9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b？(O为原点)
解 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝eq \r(02＋－52＋52)＝5eq \r(2).
(2)令eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)) (t∈R)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1，－2)，
所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq \(OE,\s\up6(→))·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq \f(9,5).
因此存在点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，此时点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).
10. 如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
证明 (1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．
eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq \(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
∴eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴eq \(PD,\s\up6(→))⊥eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(PD,\s\up6(→))⊥eq \(AH,\s\up6(→))，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(3)AD＝eq \r(3)AA1＝eq \r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论不正确的是( )
A．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝2eq \(A1P,\s\up6(—→))时，B1，P，D三点共线
B．当eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(A1C,\s\up6(—→))时，eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(D1P,\s\up6(—→))
C．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝3eq \(A1P,\s\up6(—→))时，D1P∥平面BDC1
D．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5eq \(A1P,\s\up6(—→))时，A1C⊥平面D1AP
答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C(0，eq \r(3)，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，eq \r(3)，1)，D(0,0,0)，
B(1，eq \r(3)，0)，C1(0，eq \r(3)，1)，
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝2eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，
eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \(DA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
而eq \(DB1,\s\up6(—→))＝(1，eq \r(3)，1)，
∴eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB1,\s\up6(—→))，∴B1，P，D三点共线，A正确；
设eq \(A1P,\s\up6(—→))＝λeq \(A1C,\s\up6(—→))，eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－1，eq \r(3)，－1)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋λeq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－λ，eq \r(3)λ，1－λ)．
当eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(A1C,\s\up6(—→))时，有eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5λ－1＝0，
∴λ＝eq \f(1,5)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(\r(3),5)，－\f(1,5)))＝－eq \f(1,5)≠0，∴eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(D1P,\s\up6(—→))不垂直，B不正确；
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝3eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(\r(3),3)，－\f(1,3)))，
eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \(A1P,\s\up6(—→))－eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(\r(3),3)，－\f(1,3)))，
又eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)，0)，eq \(DC1,\s\up6(—→))＝(0，eq \r(3)，1)，
∴eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(DB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(DC1,\s\up6(—→))，∴eq \(D1P,\s\up6(—→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC1,\s\up6(→))共面，又D1P⊄平面BDC1，∴D1P∥平面BDC1，C正确；
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，－\f(1,5)))，从而eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))，
又eq \(AD1,\s\up6(—→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－1,0,1)·(－1，eq \r(3)，－1)＝0，
∴A1C⊥AD1，
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))·(－1，eq \r(3)，－1)＝0，
∴A1C⊥AP，∵AD1∩AP＝A，AD1，AP⊂平面D1AP，∴A1C⊥平面D1AP，D正确．
12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1－A1D1M体积不变
答案 ACD
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，eq \(D1M,\s\up6(—→))＝(3，y，－3)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
则eq \(D1M,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0，
即z＝eq \f(1,3)y(3－y)．
对于A选项，连接A1M，eq \(A1M,\s\up6(—→))＝(0，y，－3)，则eq \(A1M,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0，则eq \(A1M,\s\up6(—→))⊥eq \(MN,\s\up6(→))，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项，eq \(CM,\s\up6(→))＝(3，y－3,0)，eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项，eq \(BN,\s\up6(→))＝(0,0，z)，则线段BN长度|eq \(BN,\s\up6(→))|＝z＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＋\f(9,4)))≤eq \f(3,4)，当且仅当y＝eq \f(3,2)时等号成立，C正确；
对于D选项，连接D1M，A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝eq \f(9,2)，所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值，即D正确．
13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，eq \(C1N,\s\up6(→))＝λeq \(NC,\s\up6(→))，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
答案 15
解析 如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，
以eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MP,\s\up6(→))的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1，侧棱长为2，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，0))，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，2))，M(0,0,0)，
设Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，t))，
因为eq \(C1N,\s\up6(—→))＝λeq \(NC,\s\up6(→))，
所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ)))，
所以eq \(AB1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，2))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ))).
又因为AB1⊥MN，
所以eq \(AB1,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝0，
所以－eq \f(1,4)＋eq \f(4,1＋λ)＝0，
解得λ＝15.
14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cs∠EAF＝________，EF＝________.
答案 eq \f(2,5) eq \f(\r(6),2)
解析 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为1，
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，
cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→)),|\(AE,\s\up6(→))||\(AF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(2,5)，
∴cs∠EAF＝eq \f(2,5)，
EF＝|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(6),2).
15．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0
eq \(DE,\s\up6(→))＝(4，－4,2)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(4λ，－4,0)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(4,4，－4)，eq \(PE,\s\up6(→))＝(4,0，－2)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up6(→))＝4x－4y＋2z＝0，,n·\(DF,\s\up6(→))＝4λx－4y＝0，))
取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，
设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(PC,\s\up6(→))＝4a＋4b－4c＝0，,m·\(PE,\s\up6(→))＝4a－2c＝0，))取a＝1，得m＝(1,1,2)，
∵平面DEF⊥平面PCE，
∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝eq \f(3,5).
16.如图，在三棱锥P－ABC 中，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，|eq \(PA,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝4|eq \(AB,\s\up6(→))|2.
(1)求证：AB⊥平面PAC；
(2)若M 为线段PC 上的点，设eq \f(|\(PM,\s\up6(→))|,|\(PC,\s\up6(→))|)＝λ，当λ 为何值时，直线PC⊥平面MAB?
(1)证明 因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以PA⊥AB，AB⊥AC，
因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
(2)解 当M为PC的中点，即λ＝eq \f(1,2)时，直线PC⊥平面MAB.
如图，以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
由|eq \(PA,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝4|eq \(AB,\s\up6(→))|2可得PA＝AC＝2AB.
设AP＝2，则P(0,0,2)，A(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,1,0)，M(1,0,1)．
eq \(PC,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)．
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝2×1＋0×0＋(－2)×1＝0，
所以eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(AM,\s\up6(→))，
即PC⊥AM.
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝2×(－1)＋0×1＋(－2)×(－1)＝0，
所以eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(MB,\s\up6(→))，即PC⊥BM.
又因为AM∩BM＝M，AM，BM⊂平面MAB，
所以PC⊥平面MAB.
故当λ＝eq \f(1,2)时，PC⊥平面MAB.名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
长度相等而方向相反的向量
共线向量(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角余弦值
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))
eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up6(→))
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