2022-2023学年河南省郑州市中原区、二七区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州市中原区、二七区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列是我国某四个高校校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列多项式能分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图天平右盘中的每个砝码的质量都是，则物体的质量的取值范围在数轴上可表示为(    )
 

A.  B.
C.  D.

5.  下列说法：真命题的逆命题一定是真命题；
等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
如果，，是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数；
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”其中，正确的说法有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.  将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点使，则符合要求的作图痕迹是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，，，是斜边上的高，，那么的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某种饮料的零售价为每瓶元，现凡购买瓶以上含两瓶，超市推出两种优惠销售方法：“一瓶按原价，其余瓶按原价的七折优惠”；“全部按原价的八折优惠”你在购买相同数量饮料的情况下，要使第一种销售方法比第二种销售方法优惠，则至少要购买这种饮料(    )

A. 瓶 B. 瓶 C. 瓶 D. 瓶

10.  如图，中，，，，将沿轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图，图，则旋转到图时直角顶点的坐标是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  “已知点在直线上，利用尺规作图过点作直线”的作图方法如下：如图，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作直线则直线这样作图的理由是______ ．

12.  如图，已知直线过点，过点的直线交轴于点，则不等式的解集为______ ．

13.  若，则           ．

14.  若不等式组的整数解共有个，则的取值范围是______．

15.  如图，在锐角中，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
分解因式：；
解不等式组．

17.  本小题分
求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在中，为锐角，，______ ．
求证：______ ．
证明：______ ．

18.  本小题分
如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过点，两直线交于点．
求，，的值；
根据图象，直接写出的解集．

19.  本小题分
如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．
将先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，在图中画出第二次平移后的图形；
将绕点按逆时针方向旋转，在图画出旋转后的图形；
我们发现点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是______．
 

20.  本小题分
如图，，垂足为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．
求线段的长度；
求四边形的面积．

21.  本小题分
如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，，，因此，，这三个数都是“神秘数”．
猜想 ______ “神秘数”直接填“是”或者“不是”；
设两个连续偶数为和其中取正整数，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是的倍数吗？为什么？
两个连续奇数取正整数的平方差是“神秘数”吗？为什么？

22.  本小题分
为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元．
求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
若学校计划购买这两种文具共个，投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
设学校投入资金元，在的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

23.  本小题分
将一副直角三角板如图，摆放在直线上直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
如图，当为的角平分线时，求此时的值；
当旋转至的内部时，求与的数量关系；
在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于_________________直接写出答案即可．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】解：将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
则平移后得到的点是，即，
故选：．
根据平移中，点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．
本题考查坐标与图形变化平移；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不能分解因式，故A错误；
B、不能分解因式，故B错误；
C、不能分解因式，故C错误；
D、，故D正确；
故选：．
根据分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图示得
所以，
故选A．
根据图示，可得不等式组的解集，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，注意，不包括点、，用空心点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题说法错误，不合题意；
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误，不合题意；
如果，，是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数，本小题说法正确，符合题意；
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”，本小题说法正确，符合题意；
故选：．
根据逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数、反证法的一般步骤判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数、反证法的应用是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
先把各个多项式分解因式，即可得出结果。
【解答】
解：，，含有因式；
，，含有因式；
，，不含有因式；
，，含有因式；
结果中不含有因式的是选项C
故选C。  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．
由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】
解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形的内角和求出，根据余角的定义求出，根据含度角的直角三角形性质求出，，求出即可．
本题主要考查的是含度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出，．
 

9.【答案】 

【解析】解：设购买这种饮料瓶，
由题意可得：，
解得，
为正整数，
的最小值为，
即要使第一种销售方法比第二种销售方法优惠，则至少要购买这种饮料瓶，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等式关系，列出相应的不等式，注意瓶数为整数．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
根据图形，每个图形为一个循环组，，
所以，图的直角顶点在轴上，横坐标为，
所以，图的顶点坐标为，
又图的直角顶点与图的直角顶点重合，
图的直角顶点的坐标为．
故选：．
根据勾股定理求出的长度，然后根据图形不难发现，每个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合，所以，第个图形的直角顶点与第个图形的直角顶点重合，然后求解即可．
本题考查了坐标与图形的变化旋转，仔细观图形，判断出旋转规律“每个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键．
 

11.【答案】三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 

【解析】解：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．注：此题答案不唯一．
故答案为：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
根据等腰三角形的性质三线合一或垂直平分线的定义即可得出结论．
本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的定义和性质等知识，解题的关键是理解题意，记住等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义和性质，属于基础题，中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，；当时，，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
利用函数图象，写出在轴下方且函数的函数值小于函数的函数值对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

13.【答案】 

【解析】

解：任何数的平方一定大于或等于，
，
时，，
时，则，
若，则．
【分析】先判断出的符号，进而判断出不等式的方向即可．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；还要注意两边同乘以时的情况．  

14.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的整数解有个，
整数解为、、、，
的取值范围是，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解情况可得的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
是的平分线，
，
是点到直线的最短距离垂线段最短，
，，
．
的最小值是．
故答案为：．
作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
 

16.【答案】解：

；
，
解，得，
解，得．
原不等式的解集为：． 

【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解；
利用解一元一次不等式组的一般步骤求解即可．
本题考查了整式的因式分解、一元一次不等式组，掌握因式分解的提公因式法和公式法、一元一次不等式组的一般解法是解决本题的关键．
 

17.【答案】于   
过点作于，
，
，
，
，
，
，
 

【解析】已知：在中，为锐角，，于，
求证：，
证明：过点作于，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：于，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
．
根据题意写出已知和求证；根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据同角的余角相等即可证得．
本题考查的是命题的证明，掌握等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余是解题的关键．
 

18.【答案】解：把代入，得，
解得，
即的值是；
把，代入，
，
解得，
由图象可得，
的解集是． 

【解析】根据点在直线直线：上，可以求得的值；
根据直线过点和点，即可求得直线的解析式；
根据图象可得，在点的右侧，直线在直线的上方，在点的左侧，直线对应的函数值大于，从而可以直接写出的解集．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是．
故答案为．
利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、即可；
确定的中点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

20.【答案】解：由旋转得，，
是等边三角形
过点作于点

，

在中，，


，
 

【解析】由旋转的性质可得，，可求，由勾股定理和直角三角形的性质可求的长．
利用面积和差关系可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
 

21.【答案】不是 

【解析】解：不能表示成两个连续偶数的平方差，
不是神秘数；
是；
理由如下：，
这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，
设这两个连续奇数为：，为正整数，
，
而由知“神秘数”是的奇数倍，
不是的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
根据定义进行判断即可；
根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数；
运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
此题主要考查了因式分解的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
 

22.【答案】解：设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得：

解得
答：购买一个甲种文具元，一个乙种文具元；
根据题意得：
，
解得，
是整数，
，，，，．
有种购买方案；
，
，
随的增大而增大，
当时，元，
．
答：购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少资金是元． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式．
设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，根据“购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元”列方程组解答即可；
根据题意列不等式组解答即可；
求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
 

23.【答案】解：如图，，，

，
平分，
，
，
答：此时的值是；
当旋转至的内部时，如图，与的数量关系是：；

理由是：由旋转得：，
，，
；
或或或 

【解析】解：见答案；
见答案；
分四种情况：
当时，如图，，

；
当时，如图，则，

，
；
当时，如图，则，

，
；
当时，如图，

，
，
；
当时，

综上，的值是或或或．
故答案为：或或或
先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值；
分别表示与的度数，相减可得数量关系；
分五种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论．
本题是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系，该类问题就简单多了．