山东省淄博市2020年中考数学试卷【含答案】

山东省淄博市2020年中考数学试卷

一、单选题

1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（　　）  

A．2 B．﹣2 C． D．0

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）  

A． B．

C． D．

3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）  

A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6

4．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（　　） 

A．30° B．35° C．40° D．45°

5．下列运算正确的是（　　）  

A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5

6．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）  

A． B． C． D．

7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　） 

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE

C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED

8．化简 的结果是（　　）

A．a+b B．a﹣b C． D．

9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（　　） 

A．36 B．48 C．49 D．64

10．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（　　） 

A．2π+2 B．3π C． D． +2

11．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） 

A．12 B．24 C．36 D．48

12．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　） 

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2

二、填空题

13．计算： ＝　     　．  

14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为　     　．

15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　     　．  

16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝　     　cm．

17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　     　个．  

三、解答题

18．解方程组：

19．已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．

求证：△ABC≌△DCE．

20．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　     　人；  

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；  

（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　     　，话题D所在扇形的圆心角是　     　度；  

（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？  

21．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝ （k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝ ． 

（1）求y1，y2对应的函数表达式；  

（2）求△AOB的面积；  

（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞ 的解集．  

22．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米， ≈1.4， ≈1.7等数据信息，解答下列问题： 

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？  

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？  

23．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．

（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；  

（2）求证：AB•AC＝2R•h；  

（3）设∠BAC＝2α，求 的值（用含α的代数式表示）．  

24．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+ （a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E． 

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；  

（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的 ，求点R的坐标；  

（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．  

1．A

2．D

3．C

4．C

5．B

6．D

7．B

8．B

9．A

10．C

11．D

12．A

13．2

14．1

15．m＜

16．5

17．210

18．解： ，  

①+②，得：5x＝10，解得x＝2，

把x＝2代入①，得：6+ y＝8，解得y＝4，

所以原方程组的解为 ．

利用加减消元法解答即可．

19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠B＝∠DCE，

在△ABC和△DCE中，

∴△ABC≌△DCE（SAS）．

20．（1）200

（2）解：选C的有：200×15%＝30（人），选A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人）， 

（3）25；36

（4）解：10000×30%＝3000（人）， 

答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人

21．（1）解：设直线y1＝ax+b与y轴交于点D， 

在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝ ．

∴OD＝2，即点D（0，2），

把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，

b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣ ，

∴直线的关系式为y1＝﹣ x+2；

把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣ x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，

∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），

∴k＝﹣3×4＝﹣12，

∴反比例函数的关系式为y2＝﹣ ，因此y1＝﹣ x+2，y2＝﹣ ；

（2）解：由S△AOB＝S△AOC+S△B OC＝ ×3×4+ ×3×2＝9 

（3）解：由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞ 的解集为x＜﹣3．   

22．（1）解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D， 

在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝ ，BC＝1000千米，

∴CD＝BC•sin30°＝100× ＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100× ＝50 （千米），

在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝ ＝50 （千米），

∴AB＝50+50 （千米），

∴AC+BC﹣AB＝50 +100﹣（50+50 ）＝50+50 ﹣50 ≈35（千米）．

答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；

（2）解：设施工队原计划每天修建x千米， 

依题意有， ﹣ ＝50，

解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．

答：施工队原计划每天修建0.14千米．

23．（1）解：证明：如图1，连接OD， 

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ ，

又∵OD是半径，∴OD⊥BC，

∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；

（2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H， 

∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，

又∵∠AHB＝∠ACF，

∴△ACF∽△AHB，

∴ ，

∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；

（3）解：如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD， 

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴ ＝ ，∴BD＝CD，

∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，

∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，

∵DQ＝DP，AD＝AD，

∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，

∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，

∵cos∠BAD＝ ，∴AD＝ ，∴ ＝ ＝2cosα．

24．（1）解：OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣ ＝1①，  

将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+ ②，

联立①②并解得 ，故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+ ③；

（2）解：由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）； 

∵△ADR的面积是▱OABC的面积的 ，

∴ ×AD×|yR|＝ ×OA×OB，则 ×6×|yR|＝ ×2× ，解得：yR＝± ④，

联立④③并解得， 或

故点R的坐标为（1+ ，4）或（1﹣ ，4）或（1+ ，﹣4）或（1﹣ ，﹣4）；

（3）解：作△PEQ的外接圆R， 

∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，

则△PRE为等腰直角三角形，

当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，

点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），

则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，

过点R作RH⊥ME于点H，

设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为 m，则点R（1+m，m），

S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即 ×EM•ED＝ ×MD×RQ+ ×ED•yR+  ×ME•RH，

∴ ×4×3＝ ×5× m+ ×4×m+ ×3×m，解得m＝60 ﹣84，故点P（1，120 ﹣168）．