2022-2023学年辽宁省营口市大石桥市十五校联考八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省营口市大石桥市十五校联考八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

3.  下列四组线段中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知直角三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

6.  如图，在中，，，，于，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知实数，满足，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，三角形纸片，，，点为中点．沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕交于点已知，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

12.  一个长方形的长和面积分别是和，则这个长方形的宽为______．

13.  是一个正整数，则的最小正整数是______ ．

14.  已知等腰三角形底边长为，腰长为，则腰上的高为______．

15.  已知，则______．

16.  如图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为______ ．

17.  如图， 中，，，为边上的中线，则 ______ ．
 

18.  如图，过作且，得，再过点作且，连接，得；又过点作且，得；依此法继续作下去，得 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
；
；
．

20.  本小题分
如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
求证：是直角三角形；
求四边形的面积．

21.  本小题分
已知：，，分别求下列代数式的值：
；
．

22.  本小题分
有两名学生在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为米的树上，其中一名学生赶快搬来一架长为米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干米远，另一名学生爬上梯子去拿羽毛球问：这名学生能拿到球吗？

23.  本小题分
有一个长、宽之比为：的长方形过道，其面积为；
求这个长方形过道的长和宽；
用块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长．

24.  本小题分
阅读下面问题：
；
；
．
试求的值；
化简：为正整数；
计算：．

25.  本小题分
如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向终点运动，点从点出发沿方向以的速度向终点运动，，两点同时出发，设点的运动时间为秒．
求的长；
当时，求，两点之间的距离；
当时，求的值？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、当即时，它不是二次根式，故本选项不符合题意．
B、由于，则它无意义，故本选项不符合题意．
C、由于，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意．
D、当时，它无意义，故本选项不符合题意．
故选：．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的定义，此类题目要求理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
B、，此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、，此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、，此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，被开方数不含指数大于等于的因式，被开方数不含分母，分母中不含根号，这样的式子称为最简二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：设的第三边长为，分两种情况：
当为直角三角形的直角边时，为斜边，
由勾股定理得：，
此时这个三角形的周长；
当为直角三角形的斜边时，为直角边，
由勾股定理得：，
此时这个三角形的周长；
综上所述：此三角形的周长为或，
故选：．
先设的第三边长为，再分是斜边或为斜边两种情况讨论即可．
本题考查了勾股定理、分类讨论等知识；解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得：，
，
，
，
故选：．
由勾股定理求出，再由，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、三角形面积的计算等知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长，利用面积法解题．
 

7.【答案】 

【解析】解：实数，满足，
，
解得，
，
故的值是．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件，即可得到的值，进而得出的值．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式中的被开方数是非负数是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误，
故选：．
同类二次根式才能合并，平方差公式也适合二次根式，两个二次根式相除，只要被开方数相除即可，算术平方根是非负数．
本题考查了二次根式的混合运算，是基础知识要熟练掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
．
故选：．
首先利用勾股定理可以算出的长，再根据题意可得到，根据即可算出答案．
此题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

10.【答案】 

【解析】解：
沿过点的直线折叠，使点与点重合，
，
，
点为中点，
，，
，
，
，
故选：．
由折叠的性质可知，所以可求出，再直角三角形的性质可知，所以的长可求，再利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知：长方形的宽为：，
故答案为：．
利用长方形的面积公式计算即可．
本题考查了二次根式的除法，长方形的面积，熟记公式是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根式中，
解得：，
是一个正整数，为正整数，
或或，
解得：或或，
的最小正整数是．
故答案为：．
根据二次根式的定义得出，求出，再根据是一个正整数和为正整数得出或或，再求出答案即可．
本题考查了二次根式的定义，能求出或或是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，
过点作于，过点作于，
于，
，
，
，
在中，，
由于
．
所以应填．
已知等腰三角形的底边长和腰的长，可以求出底边上的高，再利用等面积法求出腰上的高．
在等腰三角形和直角三角形中，利用等面积法求线段的长应用非常广泛，要注意体会和应用．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】
解：，
，
解得，
，
原式．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：根据题意知正方形的面积为，正方形的面积为，
则字母所代表的正方形的面积．
故答案为：．
结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
本题考查了勾股定理，解题的关键是：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出是关键．
由等腰三角形的性质得出，，由勾股定理求出即可．
【解答】
解：，为边上的中线，
，，
．
故答案为．  

18.【答案】 

【解析】解：，，，，，，
，，，，
．
故答案为：．
根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
本题考查了勾股定理及规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；


；


；



． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘法，再算加法，即可解答；
利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，，
，
，，
，
是直角三角形；
解：，，
． 

【解析】根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答即可；
根据三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答．
 

21.【答案】解：，，
，，
则；
． 

【解析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出，，提公因式把原式变形，代入计算即可；
根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，梯子顶端距离地面的距离为：，
而，，
得出，
所以这名学生能拿到球． 

【解析】根据梯子的长和距离树干的距离求出梯子顶端距离地面的距离和米比较即可得到答案．
本题考查了勾股定理的应用，解决此类问题的关键是正确的构造直角三角形．
 

23.【答案】解：这个长方形过道的长为，宽为；
则，
，
，
，
，
，，
答：这个长方形过道的长和宽分别为、；
设这个正方形的地板砖的边长为，
则，
，
，
，
，
答：这种地板砖的边长为． 

【解析】根据比的关系设未知数，根据长方形面积列等式解出即可；
设边长为，根据块大小相同的正方形的面积等于过道的总面积列方程解出即可，注意单位．
本题考查算术平方根的应用，解题的关键是根据面积公式列方程，本题属于基础题型．
 

24.【答案】解：

；



；
原式


． 

【解析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，此式子乘以分母利用平方差公式计算即可；
乘以分母利用平方差公式计算即可；
根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用平方差公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可．
本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
 

25.【答案】解：在中，，，，
．
如图，连接，
，
，
在直角中，由勾股定理得到：；
设秒后，则
，
解得．
答：、两点运动秒，． 

【解析】在直角中，根据勾股定理来求的长度；
在直角中，根据勾股定理来求的长度；
由路程时间速度求出，，再根据等量关系：列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义．解题时，需要熟悉路程时间速度，以及变形后的公式．