江苏省扬州中学2022-2023学年高一数学下学期4月期中考试试卷（Word版附答案）

江苏省扬州中学2022-2023学年第二学期期中考试

高一数学

一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将所有选择题答案填涂到答题卡的指定位置）

1.复数的模为（    ）

A. B.1 C. D.

2.若，则（    ）

A. B. C. D.

3.已知向量，满足，，且，则（    ）

A. B. C.5 D.4

4.若函数在上单调递增，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

5.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若，，则的面积是（    ）

A.3  B. C. D.

6.设复数z满足：，那么（    ）

A. B. C. D.

7.在中，若，则（）

A. B. C. D.

8.设向量，的夹角为，定义若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为（    ）

A.2  B. C. D.

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）

9.对于任意的平面向量，，下列说法错误的是（    ）

A.若且，则 B.

C.若，且，则 D.

10.已知：函数，若直线与函数的图像有三个交点，，，且，则下列命题中正确的是（    ）

A.函数有两个零点0和2         B.

C.方程有6个不同的根     D.当时，方程有两个不相等的实根

11.已知复数，满足，，则有（    ）

A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.最小值

12.设的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么________.

14.若，则的值为________.

15.正边长等于，点P在其外接圆上运动，则的取值范围是________.

16.已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形.

（i）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是________：（请写出符合要求的条件的序号）①；②；③

（ii）若等腰存在“友好”三角形，且其顶角的度数为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.设，是两个不共线的向量

（1）判断与是否共线，并说明理由；

（2）已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值.

18.设复数z满足；

（1）求复数； （2）求的值.

19.已知，，其中.

（1）求证：与互相垂直；

（2）若与的模相等，求的值（k为非零的常数）.

20.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足与.

（1）若，求A的值：

（2）求B的最大值.

21.如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上泥下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且，设.

（1）用x分别表示和，并求出x的取值范围：

（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值.

22.已知定义在R上的函数同时满足：

①（，a为实数）；

②；

③当时，.

求：（1）函数的解析式；

（2）实数a的取值范围.

江苏省扬州中学2022-2023学年第二学期期中考试

高一数学

一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将所有选择题答案填涂到答题卡的指定位置）

1.【答案】：A

2.【答案】B

【解析】【详解】分析：由公式可得结果

详解：故选B.

3.【答案】C

【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y，根据向量模的坐标表示求得正确答案

【详解】根据题意，，且，则有，解可得，即，

则，故故选：C

4.【答案】D

【解析】【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出的最大值

【详解】由题意可得，令，

得，，令，得，所以的最大值为故选：D

5.【答案】C

【解析】由可得①，由余弦定理及可得

②.所以由①②得，所以.

6.【答案】B

解法1：设，由已知

由复数相等可得故选B.

解法2，由已知可得…….①取模后平方可得

，所以，代入①得，故选B.

7.【答案】：D

解：，，，

，，

8.【答案】C

【解析】设，则，

，与的夹角为，中，，，

由正弦定理可得：的半径为1，则B点为圆上与OA不重合的动点，

设，

由正弦定理可得，，，

则

当时，取得最大值，且为，选C

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）

9.【答案】ACD

【解析】A.与任何向量都共线，这里没有传递性：B中是向量数量积的分配律，所以成立而没有结合律所以D错误，向量和数是有差别，不能两边除同一向量

【详解】A.，命题不成立：C.若和、都垂直，显然，最少在模长方面没有任何关系，所以命题不成立：

D.很多时候是不成立的，如下图：

若，则与是一个分别和、共线的向量，显然命题不成立B是分配律显然成立的.所以答案是ACD

【点睛】考查向量的运算法则，不可忽略，向量运算不能乱套用.

10.答：ABD，可画出函数图像判断.

11.BD，将平方，然后用三角不等式处理。

12.【答案】ABC

【解析】A

B

C当时，与矛盾

D取满足得：

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.【答案】

14.【答案】

【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得，利用两角和的正切公式可得，然后相除可得

【详解】因为，

所以

所以.故答案为：

15.【解析】如图所示

由正边长等于，点P在其外接圆上运动，，.

，也可用化简得

，

16.答：②：

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，

17.解：（1）当时，则）.显然与共线.

当时，，与共线.

（2）解.

A，B，D三点共线，与共线，即存在实数，使得，

即是

由向量相等的条件，得，

18.答案：（1）；（2）

19.证明：（1）

与互相垂直

（2），

，

，，

而

，又，所以

20.【考点】解三角形与平面向量综合应用

【解析】（1）因为，所以，

即，所以，

因为，所以，因为，所以.

（2）因为，

所以，即，

；

因为，所以B的最大值为.

21.解（1）在中，，

由余弦定理得

又，所以①，

在，中，

由余弦定理得②，

①+②得，

①-②得，即，

又，所以，即，

又，即，所以；

（2）易知，

故，

又，设，

所以，，

利用单调性定义证明在上是增函数

所以的最大值为，即BD的最大值为10

如果直接说出上是增函数，但未给出证明，扣2分。

22.解：（1）在中，

分别令；；

得

由①+②-③，

得

（2）当时，.，

（i）当时，.

即..

（ii）当时，.即.

综上，满足条件a的取值范围.