2022-2023学年湖南师大附中教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南师大附中教育集团九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城核心区建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，为判断一段纸带的两边，是否平行，小明在纸带两边，上分别取点，，并连接下列条件中，能得到的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  智能垃圾箱分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出积分可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品我市某小区个家庭一周换算的积分分别为，，，
，，，，关于这组数据，中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端恰好放在书架的第七层的顶端已知登高梯的长度为米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  解分式方程时，去分母正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在轴正半轴上依次截取为正整数，过点、、、、分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、、，连接、、、，过点、、、分别向、、、作垂线段，构成的一系列直角三角形见图中阴影部分的面积和是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  方程的解是        ．

13.  如图，≌，点，，在同一条直线上，且，，则的长是______ ．

14.  如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为______ ．

15.  如图为最受欢迎的智力游戏之一三阶魔方，三阶魔方是由个小立方块和一个三维十字连接轴组成，且六个面分别涂有不同颜色，从小立方块中任取一个，恰好有两面涂色的概率为______ ．

16.  某次会议有人参加，参加会议的每个人都可能是诚实的，也可能是虚伪的，现在知道下面两项事实：这人中，至少有名是虚伪的其中任何人中，至少有名是诚实的则这次会议活动中，诚实的人数是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
已知，求代数式的值．

19.  本小题分
如图，小睿为测量公园的一凉亭的高度，他先在水平地面点处用高的测角仪测得顶部的仰角为，然后沿方向向前走到达点处，在点处用高的测角仪测得顶部的仰角为求凉亭的高度结果精确到．
参考数据：，，，，，
 

20.  本小题分
某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：很少，有时，常常，总是将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：

请根据图中信息，解答下列问题：
填空：        ，        ，“常常”对应扇形的圆心角度数为        ；
请你补全条形统计图；
为了共同进步，张老师从被调查的类和类学生中各选出两人，再从两组中分别选取一位学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好组合成功即“很少”和“总是”的两人为一组的概率．

21.  本小题分
如图，已知是的直径，点在上，连接、，在的延长线上取一点，使得，连接．
求证：直线是的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同已知篮球的单价比足球单价的倍少元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为：．
足球和篮球的单价各是多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？

23.  本小题分
如图，已知正方形，边长，点为对角线上任一点，连接，过点作交于点．
求证：；
若，求四边形的面积．

24.  本小题分
对于一个函数，如果在该函数图象上至少存在一点，那么我们不妨称这个函数为攀登函数，称这个点为该函数的攀登星请根据以上规定尝试完成以下问题：
试判断函数是不是攀登函数，如果是，请求出攀登星；若不是，请说明理由；
已知一次函数是攀登函数且有唯一的攀登星，请求出该函数的解析式及攀登星；
已知二次函数是攀登函数，两个攀登星记为、，，函数最小值为，且，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，已知、是半径为的的两条弦，且，的延长线交于点，连接、．

证明：；
连接，当是直角三角形时，求的长；
试探究的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
记、、的面积分别为、、，若，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．
本题考查了求一个数的绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、球的主视图和左视图均为全等的圆，不符合题意；
B、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；
C、圆锥的主视图和左视图均为全等的三角形，符合题意；
D、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；．
故选：．
找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可．
此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图和左视图所看的位置．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，和是邻补角，不能证明，不符合题意；
B、，和是同旁内角，同旁内角相等不能证明，不符合题意；
C、，和属于内错角，内错角互补不能证明，不符合题意；
D、，
同旁内角互补两直线平行，符合题意．
故选：．
根据平行线的判定定理进行判断即可．
本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式不能合并，错误；
B、原式，错误；
C、原式，正确；
D、原式，错误，
故选：．
原式各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

7.【答案】 

【解析】解：某小区个家庭一周换算的积分出现次数最多的是分，出现次，因此众数是分，
将某小区个家庭一周换算的积分从小到大排列，处在中间位置的一个数是分，因此中位数是分，
故选：．
根据中位数、众数的定义，找出出现次数最多的数，以及从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，米，，
，
米，
故选：．
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以计算出书架第七层顶端离地面的高度．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
故选：．
根据等式的性质方程两边都乘得出，再得出选项即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，
设，，，，
，，在反比例函数的图象上，
，，，
；
；

；
；
；

，
．
故选：．
由可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为点的坐标为，把，，代入反比例函数的解析式即可求出、、的值，再由三角形的面积公式可得出、、的值，故可得出结论．
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
由于多项式有二项，没有公因式，考虑运用平方差公式分解．
本题考查了因式分解的平方差公式，两项若没有公因式，一般考虑平方差公式
【解答】
解：

  

12.【答案】， 

【解析】解：，
或，
所以，．
故答案为：，．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

13.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图形可知，三阶魔方的个小立方块里一面涂色有个，两面涂色有个，三面涂色有个，
恰好有两面涂色的概率为，
故答案为：．
由图形可知，三阶魔方的个小立方块里两面涂色有个，利用概率公式进行计算即可得到答案．
本题考查了概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：假设这人中，有名是虚伪的，
这与其中任何人中，至少有名是诚实的相矛盾，
所以这人中，至多有名是虚伪的，
所以这人中，有名是虚伪的，有名是诚实的．
故诚实的人数是．
故答案为：．
假设这人中，有名是虚伪的，这与其中任何人中，至少有名是诚实的相矛盾，从而得到这人中，至多有名是虚伪的，进一步即可求解．
本题考查抽屉原理的应用，难度较大，关键是反证法的应用，这种方法经常在数学证明时使用，同学们要注意掌握．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质进行化简，再进行加减运算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，涉及有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，即，
原式． 

【解析】原式前两项利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：延长交于点，如图所示，
由题意可得，
，，，，
，
，，
，
，
解得，
，
即凉亭的高度约为． 

【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得的长，然后即可求得的长．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，求出的长．
 

20.【答案】     

【解析】解：调查的总人数是：人，
，
，
“常常”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：，，；

常常的人数有：人，
补全条形统计图如图所示：


画图如下：

共有种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有种，
则所选两位同学恰好组合成功即“很少”和“总是”的两人为一组的概率是．
“有时”的有人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出、的值，“常常”所对应的圆心角的度数为的；
求出“常常”的人数，即可补全条形统计图；
画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】证明：是的直径，

，
又，
，
∽，
，
，
，
，
即，
又是的半径，
直线是的切线；

在中，
，
，
，则，
又，
，
，
． 

【解析】首先根据题意证明出∽，然后得到，进而得到，即可求解；
首先根据和求出，，然后利用求出，进而可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质与解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质和判定以及三角函数是解题的关键．
 

22.【答案】解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：足球的单价为元，篮球的单价为元．
设购买篮球个，则购买足球个，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
的最大值为．
答：学校最多可以购买个篮球． 

【解析】设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据用相同的费用购买的足球数量与购买的篮球数量之比为：，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出足球的单价，再将其代入中即可求出篮球的单价．
设购买篮球个，则购买足球个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：过点作交于点，交于点，

四边形是正方形，
，
，，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：在等腰直角三角形中，，
根据勾股定理得，
，
四边形的面积． 

【解析】过点作交于点，交于点，根据正方形的性质和已知条件先证明四边形为矩形，进而得出，通过证明≌，利用全等三角形的性质证明即可；
根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理得，再根据四边形的面积求解即可．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，则，
解得：，
该函数是攀登函数，且攀登星为；
一次函数是攀登函数，
，
，
一次函数有唯一的攀登星，
方程有两个相等的实数根，
，
，，
，
，
，
，，
解析式为，攀登星为；
二次函数是攀登函数，
，即，
该函数有两个攀登星，
，
，，
，
，
，
即，
函数最小值为，
，
即，
代入：，
，
，
令，则，
且对称轴为，
，
当时，，
，
，
，
． 

【解析】令，求出的值即可得到答案；
先根据攀登函数的定义得到，再由只有一个攀登星，可得方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；
先根据攀登函数的定义得到，再由根与系数的关系得到，；由，得到，进一步推出，；再由函数最小值为，得到，即，代入：，再由，得到，令，利用二次函数的性质求出的函数值取值范围即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，反比例函数的旋转，一次函数的性质等等，正确理解题意并灵活运用所学知识是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，

，
，
同理：，
，
即；
解：当时，

，
，
，
，
为正三角形，
，
，
，
，，
；
当时，，
；

当时，，与三角形内角和定理矛盾，所以舍去．
综上所述：或；
解：，
，
，
，
，
∽，
，
，

，
，
；
在和中，
，
≌，
作交于，设，，

，，
，
又，
，
，
，
，
，即． 

【解析】利用等腰三角形中等边对等角，或等弧所对圆周角相等来证明；
分，，三种情况，分别讨论即可；
先证∽，推出，等量代换可得，变形可得；
先证≌，推出，作交于，设，，可得，，，利用列方程，求出的值即可．
本题属于圆内综合题，考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题，能够综合运用上述知识点是解题的关键．