第13讲第2课时《关于一次函数的分段函数的应用》（教案）人教版数学八年级下册

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方案说明

一、课前谈话

上节课我们主要学习了不同阶段不同收费的分段形式在生活中的应用，实际上不光在收费中存在分段函数的应用，在地铁、火车检票以及在行程问题中等都有应用，接下来我们就来看一下分段函数在这些方面的应用.

二、自主探究，合作交流

初步性问题

探究类型之四  检票口中的分段函数（调北师8-6例5）

例4  “五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示.

（1）求a的值．

解析：

根据“640-a分钟检票的人数+a分钟增加的人数=520”建立方程求解.

答案：

解：（1）由题意知，640-2×14a+16a=520，

解得a=10.

（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．

解析：设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出函数的解析式，再将x=20代入解析式中即可.

答案：

解：设过点（10，520）和点（30，0）的直线解析式为y=kx+b，

则 解得因此y=-26x+780.

当x=20时，y=260，

即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人.

（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？

解析：设需同时开放n个检票口，根据“640+15分钟进站人数≤n个检票口15分钟检票人数”建立不等式求解．

答案：

解：设需同时开放n个检票口，则由题意知

640+16×15≤14n×15，解得n≥4.

∵n为整数，

∴n=5.

答：至少需要同时开放5个检票口.

1.师：要怎么求a的值呢？

生：根据人数的变化来求. 在检票 a分钟时，排队人数为520人来列方程

师：你找到的等量关系是什么？

生：640-a分钟检票的人数=520

师：这位同学找到的等量关系对吗？

生：不对，每分钟还有新增加的排队检票的人.应该为640-a分钟检票的人数+a分钟增加的人数=520

生独立列方程解答,然后指定学生说说自己的解题思路.

2.分析（2）题

师：我们现在已经求出a的值，那图中两个线段的解析式能求出来了吗？

生：可以.

师：那我们怎么求检票第20分钟时，排队检票的人数呢？

生：我们之间把x=20代入10到30分钟的那段线段对应的解析式就可以.

师：说得非常说.

3.师引导学生分析（3）

师：题中有“至少”这种词说明什么？

生：我们这道题要列不等式来解决？

师：那我们可以怎么设未知数呢？

生：可以设开n个检票窗口

师：不等关系是什么？

生：不等关系：640+15分钟进站人数≤n个检票口15分钟检票人数

生独立完成解题过程.

探究类型之五 行程问题中的分段函数

例5  周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5 h后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1 h 20 min后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．

（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；

解析：路程÷时间=速度.

答案：

解：10÷0.5=20（km/h）   1-0.5=0.5（h）

答：小明骑车速度为20km/h，在甲地游玩的时间是0.5h.

（2）小明从家出发多久后被妈妈追上？此时离家多远？

解析：求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后求得它们交点坐标，即可求得小明被妈妈追上的时间和离家的距离.

答案：

解：妈妈驾车速度为20×3=60（km/h）.

设直线BC解析式为y=20x+b1，

把点B（1，10）坐标代入,得b1=-10,∴y=20x-10.

设直线DE的函数解析式为y=60x+b2，

把点D（，0）坐标代入得b2=-80,∴y=60x-80.

∴解得

∴直线DE与直线BC的交点坐标为（1.75，25）．

答：小明出发1.75 h被妈妈追上，此时离家25 km．

（3）若妈妈比小明早10 min到达乙地，求从小明家到乙地的路程．

解析：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n km，根据妈妈比小明早到10 min列出有关n的方程，即可求得n的值．

答案：

解：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n km，

由题意得,∴n=5.

∴从家到乙地的路程为5+25=30（km）．

答：小明家到乙地的路程是30km.

师：小明从家出发多久后被妈妈追上？

生：分别求出直线BC和直线DE的解析式然后求交点坐标.

师：要求的直线BC和直线DE的解析式，必须确定两个点，但是从现在图中我们知道直线上的一个点呀，那我们怎么求直线的解析式呢？

生：根据“速度=路程÷时间”我们可以知道直线BC解析式中的k就是小明骑车的速度，直线DE解析式中的k就是妈妈驾车的速度.

师：还有没有别的方法来求小明从家出发多久后被妈妈追上？

生：还可以根据追及路程问题来求，设追及时间为t,则60t =10+20×+20t ……

师：如何求小明家到乙地的路程？

生：从相遇出开始算起，已知速度和时间差，可求路程.

师：借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是解题的关键.

例6  周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发1时后达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1时50分后，妈妈驾车沿相同的路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．

（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；

答案：

解：20÷1=20（km/h）   2-1=1（h）

答：小明骑车速度为20km/h，在南亚所游玩的时间是1h.

（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．

解析：小明实际骑车的时间为（h），根据“妈妈驾车行驶的路程=小明骑自行车行驶的路程”列方程求出妈妈驾车的速度；

（下一步）求出点C的坐标，然后运用待定系数法就可以求出CD所在直线的函数解析式.

答案：解：（h），

设妈妈驾车的速度为x千米/时，

则20×=，解得x=60. （下一步）

，，∴点C的坐标为（,25）.

设直线CD的解析式为y=kx+b,

∴ 解得

∴CD所在直线函数的解析式为y=60x-110.

师：如何求妈妈的速度和直线解析式？

生：小明和妈妈到达目的地的时间是已知的，而小明的速度是知道的，所以根据路程相等可以求出，进而求出妈妈的速度和点C的坐标，进而求直线的解析式.

师：比较复杂的行程问题需要分阶段研究，就要用分段函数表示其中的数量关系，而图象上的起点、终点和转拆点就是解题关键，最后还要抓住行程问题的本质：路程=速度×时间.

类似性问题

3.钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达. 如图是该艇行驶的路程y(海里)与所用时间t(时)的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是_________.

解析：动画：描线，描紫色的线，然后出示：巡逻艇原计划的速度为80海里/时.

最后：描蓝色的线，然后出示：巡逻艇加快后的速度为100海里/时.

(下一步)

设巡逻艇原计划行驶x时到达指定海域，则根据题意可得

80x=80+100（x-2），解得x=6，

故原计划准点到达的时刻是7：00.

1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.

2、老师评价.

4. “五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地.如图是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.

(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？

(2)求出AB段图象的函数解析式；

(3)他们出发2时时，离目的地还有多少千米？

1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.

2、老师评价.

5. A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回.如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象.

（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当它们行驶了7时时，两车相遇，求乙车速度.

课件出示解析：（1）动画用手描一遍折线OCD，然后标上甲,

（下一步）分别求0≤x≤6， 6<x≤14对应的函数解析式.

(2)动画将用手描点F，然后分别出示x，y轴的垂线，最后出示文字：

将x=7代入当6<x≤14时的函数解析式中即可.

三、课堂小结：

通过今天课的学习，你都收获了哪些知识呢？相信大家对函数应用题都有了一定的了解和掌握。希望你们在以后的学习中遇到类似的问题能迎刃而解、收获更多.                     

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