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中考数学一轮突破 基础过关 第1讲 有理数
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这是一份中考数学一轮突破 基础过关 第1讲 有理数，共9页。学案主要包含了有关概念，运算规律，科学记数法与近似数等内容，欢迎下载使用。
一、有关概念
1. 有理数的分类
(1)按有理数的意义分类
有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(整数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数（1，2，3，…）,0,负整数（－1，－2，－3，…）)),分数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正分数,负分数))))
(2)按正、负来分
有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数,正分数)),0 （0不能忽略）,负有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(负整数,负分数))))
2. 数轴三要素：________、________和________；数轴上原点表示的数是________；原点右边表示的数是________，原点左边表示的数是________．
3. 相反数：只有________不相同的________叫做互为相反数；数a的相反数是________．(特别地，0的相反数是________)；a与b互为相反数⇔________.
4. 倒数：数a(a≠0)的倒数是________．(特别地，________没有倒数)，a和b互为倒数⇔________.
二、运算规律
1. 绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点与原点的________叫做数a的绝对值，记作________．正数a的绝对值是________，负数a的绝对值是________，0的绝对值是________，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a （a>0），,0 （a＝0），,－a （a<0）.))
2. 有理数的大小比较
(1)数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数________．
(2)正数________0，负数________0，正数________一切负数．
(3)两个负数比较大小，绝对值大的________．
3. 有理数的运算法则
(1)加法法则
①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取__________的加数的符号，并用________________减去______________；
③若a，b互为相反数，则a＋b＝________；
④一个数同0相加，仍得________．
(2)加法的运算律
①加法交换律：a＋b＝________；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝____________.
※在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
a．互为相反数的两个数先相加——相反数结合法；
b．符号相同的两个数先相加——同号结合法；
c．分母相同的数先相加——同分母结合法；
d．几个数相加得到整数的数先相加——凑整法；
e．整数与整数、小数与小数相加——同形结合法．
(3)有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的________．用字母表示为：a－b＝________.
(4)乘法法则
法则一：两数相乘，同号得________，异号得________，并把绝对值________．
法则二：任何数同0相乘，都得________．
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是
________时，积是正数；负因数的个数是________时，积是负数．
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于________．
(5)乘法运算律
①乘法交换律：ab＝________.
②乘法结合律：(ab)c＝________.
③乘法分配律：a(b＋c)＝________.
(6)除法法则
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的________．
②两数相除，同号得________，异号得________，并把________相除.0除以任何一个不等于0的数，都得________．
(7)乘方
①概念：求n个________因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做________．在an中，a叫做________，n叫做________．
②性质：
a．负数的奇次幂是________，负数的________次幂是正数．
b．正数的任何次幂都是________，0的任何正整数次幂都是________．
(8)有理数的混合运算顺序
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
三、科学记数法与近似数
1．科学记数法：把一个数N表示成a×10n的形式(其中1≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))<10，n是整数)，这种记数法是科学记数法．
2．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
(贺州，第5小题，3分)某图书馆有图书约985 000册，数据985 000用科学记数法可表示为( )
A．985×103 B．98.5×104
C．9.85×105 D．0.985×106
【思路点拨】科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))<10，n为整数.
(北部湾经济区，第3小题，3分)
2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎．其中某节数学课的点击观看次数约889000次，则数据889000用科学记数法表示为( )
A．88.9×103 B．88.9×104
C．8.89×105 D．8.89×106
eq \a\vs4\al(),
相反数
(贺州，第1小题，3分)
6的相反数是( )
A．－6 B．－eq \f(1,6) C.eq \f(1,6) D．6
【思路点拨】本题只需根据相反数的概念解答即可.
(百色，第1小题，3分)
－1.5的相反数是( )
A．1.5 B．－1.5
C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
eq \a\vs4\al(),
倒 数
(玉林，第1小题，3分)
2的倒数是( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．2 D. －2
【思路点拨】∵2×eq \f(1,2)＝1，∴2的倒数是eq \f(1,2).
(桂林，第1小题，3分)
eq \f(2,3)的倒数是( )
A.eq \f(3,2) B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
eq \a\vs4\al(),
绝对值
(柳州，第1小题，3分)
－eq \f(1,5)的绝对值是( )
A. 5 B．－5
C．－eq \f(1,5) D.eq \f(1,5)
【思路点拨】∵－eq \f(1,5)＜0，∴－eq \f(1,5)的绝对值为－(－eq \f(1,5))＝eq \f(1,5).
(贺州，第1小题，3分)
－2的绝对值是( )
A．－2 B．2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
有理数的运算顺序及符号的确定
(北部湾经济区，第19小题，6分)
计算：－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))＋32÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－4))×2.
(柳州，第19小题，6分)
计算：16×eq \f(1,2)－8＋2eq \r(4).
1. (湘潭)下列各数中是负数的是( )
A.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3)) B．－3 C．－(－3) D.eq \f(1,3)
2. (桂林)若海平面以上1 045米，记做＋1 045米，则海平面以下155米，记做( )
A．－1 200米 B．－155米
C．155米 D．1 200米
3. (柳州) 是我国全面建成小康社会收官之年，我市将全面完成剩余19700贫困人口脱贫的任务．用科学记数法将数据19700表示为( )
A．0.197×105 B. 1.97×104
C．19.7×103 D．197×102
4. (河南)成人每天维生素D的摄入量约为0.0 000 046克．数据“0.0 000 046”用科学记数法表示为( )
A．46×10－7 B．4.6×10－7
C．4.6×10－6 D．0.46×10－5
5. (长春)如图，数轴上表示－2的点A到原点的距离是( )
A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
6. (贵港) 计算：3－7＝________.
7. (南京)－2的相反数是________；eq \f(1,2)的倒数是________．
8. (连云港)我市某天的最高气温是4 ℃，最低气温是－1 ℃，则这天的日温差是______℃.
9. (聊城)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)－\f(1,2)))÷eq \f(5,4)＝________．
第1讲 有 理 数
【基础梳理】
一、2.原点 正方向 单位长度 0 正数 负数
3．符号 两个数 －a 0 a＋b＝0
4.eq \f(1,a) 0 ab＝1
二、1.距离 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) a －a 0
2．(1)大 (2)大于 小于 大于 (3)反而小
3.(1)①相同 绝对值 ②绝对值较大 较大的绝对值 较小的绝对值 ③0 ④这个数
(2)①b＋a ②a＋(b＋c)
(3)相反数 a＋(－b)
(4)正 负 相乘 0 偶数 奇数 0
(5)①ba ②a(bc) ③ab＋ac
(6)①倒数 ②正 负 绝对值 0
(7)①相同 幂 底数 指数 ②负数 偶 正数 0
【重点突破】
[例1]C [变式1]C [例2]A [变式2]A
[例3]A [变式3]A [例4]D [变式4]B
[例5]解：原式＝1＋9÷(－3)×2＝－5
[变式5]解：原式＝8－8＋2×2＝4.
【达标检测】
1．B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.－4 7.2 2 8.5 9.－eq \f(2,3)
课标要求
(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．
(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))的含义(这里a表示有理数)．
(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)．
(4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．
(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、计算题的形式来考查，分值为3～10分．主要考查的内容：有理数的分类、绝对值、相反数、倒数、科学记数法、乘方、有理数的大小比较和意义等．其中绝对值、科学记数法、倒数和相反数出现频次比较多．预测2021年中考依然以这几个知识点为主来考查，建议加强对概念的理解并有针对性做练习加以理解和巩固.
小结
本题主要考查如何用科学记数法表示一个较大的数，解题的关键是如何确定a和n的值.
小结
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“－”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.
小结
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.
小结
本题考查绝对值的概念，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
小结
本题考查了有理数的混合运算，先算有理数的乘除法，再算有理数的加减法，在计算的过程中注意运算符号的变化.
一、有关概念
1. 有理数的分类
(1)按有理数的意义分类
有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(整数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数（1，2，3，…）,0,负整数（－1，－2，－3，…）)),分数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正分数,负分数))))
(2)按正、负来分
有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数,正分数)),0 （0不能忽略）,负有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(负整数,负分数))))
2. 数轴三要素：________、________和________；数轴上原点表示的数是________；原点右边表示的数是________，原点左边表示的数是________．
3. 相反数：只有________不相同的________叫做互为相反数；数a的相反数是________．(特别地，0的相反数是________)；a与b互为相反数⇔________.
4. 倒数：数a(a≠0)的倒数是________．(特别地，________没有倒数)，a和b互为倒数⇔________.
二、运算规律
1. 绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点与原点的________叫做数a的绝对值，记作________．正数a的绝对值是________，负数a的绝对值是________，0的绝对值是________，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a （a>0），,0 （a＝0），,－a （a<0）.))
2. 有理数的大小比较
(1)数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数________．
(2)正数________0，负数________0，正数________一切负数．
(3)两个负数比较大小，绝对值大的________．
3. 有理数的运算法则
(1)加法法则
①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取__________的加数的符号，并用________________减去______________；
③若a，b互为相反数，则a＋b＝________；
④一个数同0相加，仍得________．
(2)加法的运算律
①加法交换律：a＋b＝________；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝____________.
※在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
a．互为相反数的两个数先相加——相反数结合法；
b．符号相同的两个数先相加——同号结合法；
c．分母相同的数先相加——同分母结合法；
d．几个数相加得到整数的数先相加——凑整法；
e．整数与整数、小数与小数相加——同形结合法．
(3)有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的________．用字母表示为：a－b＝________.
(4)乘法法则
法则一：两数相乘，同号得________，异号得________，并把绝对值________．
法则二：任何数同0相乘，都得________．
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是
________时，积是正数；负因数的个数是________时，积是负数．
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于________．
(5)乘法运算律
①乘法交换律：ab＝________.
②乘法结合律：(ab)c＝________.
③乘法分配律：a(b＋c)＝________.
(6)除法法则
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的________．
②两数相除，同号得________，异号得________，并把________相除.0除以任何一个不等于0的数，都得________．
(7)乘方
①概念：求n个________因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做________．在an中，a叫做________，n叫做________．
②性质：
a．负数的奇次幂是________，负数的________次幂是正数．
b．正数的任何次幂都是________，0的任何正整数次幂都是________．
(8)有理数的混合运算顺序
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
三、科学记数法与近似数
1．科学记数法：把一个数N表示成a×10n的形式(其中1≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))<10，n是整数)，这种记数法是科学记数法．
2．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
(贺州，第5小题，3分)某图书馆有图书约985 000册，数据985 000用科学记数法可表示为( )
A．985×103 B．98.5×104
C．9.85×105 D．0.985×106
【思路点拨】科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))<10，n为整数.
(北部湾经济区，第3小题，3分)
2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎．其中某节数学课的点击观看次数约889000次，则数据889000用科学记数法表示为( )
A．88.9×103 B．88.9×104
C．8.89×105 D．8.89×106
eq \a\vs4\al(),
相反数
(贺州，第1小题，3分)
6的相反数是( )
A．－6 B．－eq \f(1,6) C.eq \f(1,6) D．6
【思路点拨】本题只需根据相反数的概念解答即可.
(百色，第1小题，3分)
－1.5的相反数是( )
A．1.5 B．－1.5
C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
eq \a\vs4\al(),
倒 数
(玉林，第1小题，3分)
2的倒数是( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．2 D. －2
【思路点拨】∵2×eq \f(1,2)＝1，∴2的倒数是eq \f(1,2).
(桂林，第1小题，3分)
eq \f(2,3)的倒数是( )
A.eq \f(3,2) B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
eq \a\vs4\al(),
绝对值
(柳州，第1小题，3分)
－eq \f(1,5)的绝对值是( )
A. 5 B．－5
C．－eq \f(1,5) D.eq \f(1,5)
【思路点拨】∵－eq \f(1,5)＜0，∴－eq \f(1,5)的绝对值为－(－eq \f(1,5))＝eq \f(1,5).
(贺州，第1小题，3分)
－2的绝对值是( )
A．－2 B．2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
有理数的运算顺序及符号的确定
(北部湾经济区，第19小题，6分)
计算：－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))＋32÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－4))×2.
(柳州，第19小题，6分)
计算：16×eq \f(1,2)－8＋2eq \r(4).
1. (湘潭)下列各数中是负数的是( )
A.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3)) B．－3 C．－(－3) D.eq \f(1,3)
2. (桂林)若海平面以上1 045米，记做＋1 045米，则海平面以下155米，记做( )
A．－1 200米 B．－155米
C．155米 D．1 200米
3. (柳州) 是我国全面建成小康社会收官之年，我市将全面完成剩余19700贫困人口脱贫的任务．用科学记数法将数据19700表示为( )
A．0.197×105 B. 1.97×104
C．19.7×103 D．197×102
4. (河南)成人每天维生素D的摄入量约为0.0 000 046克．数据“0.0 000 046”用科学记数法表示为( )
A．46×10－7 B．4.6×10－7
C．4.6×10－6 D．0.46×10－5
5. (长春)如图，数轴上表示－2的点A到原点的距离是( )
A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
6. (贵港) 计算：3－7＝________.
7. (南京)－2的相反数是________；eq \f(1,2)的倒数是________．
8. (连云港)我市某天的最高气温是4 ℃，最低气温是－1 ℃，则这天的日温差是______℃.
9. (聊城)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)－\f(1,2)))÷eq \f(5,4)＝________．
第1讲 有 理 数
【基础梳理】
一、2.原点 正方向 单位长度 0 正数 负数
3．符号 两个数 －a 0 a＋b＝0
4.eq \f(1,a) 0 ab＝1
二、1.距离 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) a －a 0
2．(1)大 (2)大于 小于 大于 (3)反而小
3.(1)①相同 绝对值 ②绝对值较大 较大的绝对值 较小的绝对值 ③0 ④这个数
(2)①b＋a ②a＋(b＋c)
(3)相反数 a＋(－b)
(4)正 负 相乘 0 偶数 奇数 0
(5)①ba ②a(bc) ③ab＋ac
(6)①倒数 ②正 负 绝对值 0
(7)①相同 幂 底数 指数 ②负数 偶 正数 0
【重点突破】
[例1]C [变式1]C [例2]A [变式2]A
[例3]A [变式3]A [例4]D [变式4]B
[例5]解：原式＝1＋9÷(－3)×2＝－5
[变式5]解：原式＝8－8＋2×2＝4.
【达标检测】
1．B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.－4 7.2 2 8.5 9.－eq \f(2,3)
课标要求
(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．
(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))的含义(这里a表示有理数)．
(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)．
(4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．
(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、计算题的形式来考查，分值为3～10分．主要考查的内容：有理数的分类、绝对值、相反数、倒数、科学记数法、乘方、有理数的大小比较和意义等．其中绝对值、科学记数法、倒数和相反数出现频次比较多．预测2021年中考依然以这几个知识点为主来考查，建议加强对概念的理解并有针对性做练习加以理解和巩固.
小结
本题主要考查如何用科学记数法表示一个较大的数，解题的关键是如何确定a和n的值.
小结
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“－”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.
小结
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.
小结
本题考查绝对值的概念，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
小结
本题考查了有理数的混合运算，先算有理数的乘除法，再算有理数的加减法，在计算的过程中注意运算符号的变化.
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