2022-2023学年辽宁省大连市普兰店区部分学校九年级（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年辽宁省大连市普兰店区部分学校九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 矩形 D. 等腰梯形

2.  下列立体图形中，主视图是圆的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，点，分别在，边上，，若：：，则：(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

4.  如图，已知为的直径，点在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  把标号为，，的三个小球放入一个不透明的口袋中，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球的标号的和大于的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为万人，五月份为万人设平均每月增长率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与其深度之间的函数关系式为，这个函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，将绕点逆时针旋转，得到若，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线与与，轴正半轴交于，两点，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在学校运动会上，初三班的运动员掷铅球，铅球的高与水平距离之间函数关系式为，则此运动员的成绩是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  方程的根为______．

12.  二次函数的顶点坐标是______ ．

13.  一颗质地均匀的骰子，其六个面分别刻有、、、、、六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于的概率是______ ．

14.  如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，线段的端点在轴正半轴上，轴，点在第一象限，函数的图象交边于点，为轴上一点，连结、若，则的面积为______．

16.  如图，中，，，于，是的中点，的延长线交的延长线于，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：．

18.  本小题分
有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果；
求一次打开锁的概率．

19.  本小题分
嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如下图所示．
试写出这个函数的表达式；
当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？
当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？

20.  本小题分
已知抛物线．
求证：无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点；
若、是抛物线与轴交点的横坐标且，求的值．

21.  本小题分
某单位院内有一块长，宽的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修两条纵向平行和横向弯折的小道如图，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？注：左右小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形

22.  本小题分
如图，是的直径，点，在上，，过点的切线与的延长线相交于点，与相交于点．
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
年我国建成基站超万个，建设跑出“中国速度”某地有一个信号塔，小敏想用所学的数学知识测量信号塔的高度，如图，为了测量信号塔的高度，在地平面上点处测得信号塔顶端的仰角为，从点向点方向前进米到点，从点测得信号塔底端的仰角为，已知楼房的高度为米求信号塔的高度结果精确到米参考数据，，，，，

24.  本小题分
已知中，，，，点从点出发，沿运动，速度为，同时点从点出发，沿运动，运动速度为，一个点到达终点，另一点也停止运动．
求的长；
设的面积为，点、运动时间为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
 

25.  本小题分
综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图，在中，，求证：．

独立思考：请解答王老师提出的问题．
实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图，延长至点，使，延长交的延长线于点当时，探究和之间的数量关系，并证明”
问题解决：数学活动小组同学对问题进一步研究之后发现，当把“”改为“”时，如图，求的值请你解答．

26.  本小题分
如图，抛物线的图象与坐标轴交于、、三点，

求、两点坐标；
如图，若抛物线的顶点为，求与的面积之和；
在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，故B不符合题意；
C、圆台的主视图是梯形，故C不符合题意；
D、球的主视图是圆，故D正确；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求：的值．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先利用圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数．
本题考查了圆周角定理，解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和大于的结果有种，
两次摸出的小球标号的和大于的概率是，
故选：．
先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和大于的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：设平均每月增长率为，可列方程为：
．
故选：．
设平均每月的增长率为，根据三月份为万人，五月份为万人，每月的增长率相同，可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据，月的增长率相同，表示出月份的游客人数可列出方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意可知：，
依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．
故选C．
先根据长方体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性质解答．注意深度的取值范围．
主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；
当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
根据旋转的性质得知，为旋转角等于，则可以利用三角形内角和度数为列出式子进行求解．
【解答】
解：将绕点逆时针旋转，
，，
，
，
，
，
，解得，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，
令，则，
令，则，解得，
，，
，，
，
故选：．
根据一次函数解析式求出，两点的坐标，由锐角三角函数的定义即可求解．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，求出，两点的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即，测量运动员成绩，也就是求的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
铅球落地才能计算成绩，此时，即，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．
【解答】
解：由题意可知，把代入解析式得：
，
解得，舍去，
即该运动员的成绩是米．
故选D．  

11.【答案】， 

【解析】解：，
或，
，．
故答案为：，．
根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解，右边等于时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：．
根据顶点式的意义直接解答即可．
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为．
 

13.【答案】 

【解析】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有种可能，而只有出现点数为，才大于，
所以这个骰子向上的一面点数大于的概率．
故答案为：．
由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为、、、、、，共有种可能，大于的点数有，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数大于的概率．
本题考查了概率公式，正确记忆随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积，
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥的侧面积的求法，解题的关键是熟记圆锥的侧面积的计算公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
函数，轴，
，
，轴，
，
，
．
故选答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义得到，根据和三角形面积公式得到，从而得到的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

16.【答案】 

【解析】解：于，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：：，
，
，，
设，则，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由条件证明∽，得到：：：，由，得到，，设，列出关于的方程求出，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，直角三角形斜边的中线，相似三角形的判定和性质，灵活应用以上知识点是解题的关键．
 

17.【答案】解：原方程变形为：，
则，即，
，
，． 

【解析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

18.【答案】解：分别用与表示锁，用、、、表示钥匙，
画树状图得：

则可得共有种等可能的结果；

一次打开锁的有种情况，
一次打开锁的概率为：． 

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
由中的树状图，可求得一次打开锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点

即；

当时，；

当时，气球将爆炸，
，即，
．
气球的体积应大于等于． 

【解析】根据气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；
把代入中的函数关系式求即可；
依题意，解不等式即可，可判断．
此题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
 

20.【答案】证明：，
由，
，
无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点；

解：根据题意得，，
，
，
，
整理得，
解得：，． 

【解析】直接利用完全平方公式得出的符号，进而得出答案；
根据根与系数的关系得到，，由变形得，则，进而得出答案．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确应用根据系数的关系是解题关键．
 

21.【答案】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得
．
整理，得．
解得，．
不合题意，舍去，
．
答：小道进出口的宽度应为米． 

【解析】设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
是的切线，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得，在中，，，
，
米，
米，
在中，，，
，
米，
米，
米，
答：信号塔的高度约为米． 

【解析】在中，，米，根据三角函数的定义得到，在中，，米，根据三角函数的定义得到，于是得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，，，，
，
又，
；
，，，．
当时，如图所示，，，
，
；
当时，如图所示，，，
，
；
当时，如图所示，过点作于点，则∽．
，，，，
，，
．
综上所述，与的函数关系式为． 

【解析】在中，利用勾股定理，可求出的长，结合，即可得出的长；
利用时间路程速度，可求出点，到达各节点所需时间，分，及三种情况考虑，当时，由点，的运动速度，可得出，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式，即可找出关于的函数关系式；当时，由点，的运动速度，可得出，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式，即可找出关于的函数关系式；当时，过点作于点，则∽，根据各边之间的关系，可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可找出关于的函数关系式．
本题考查了勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定及性质以及根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是：在中，利用勾股定理求出的长；分，及三种情况，找出关于的函数关系式．
 

25.【答案】证明：过点作于点，设交于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
解：结论：．
理由：设

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
；
解：过点作于点，过点作于点．

由可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
． 

【解析】过点作于点，设交于点想办法证明即可；
结论：设，首先证明，推出，再证明，可得结论；
过点作于点，过点作于点想办法证明，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：令，得，
解得：，，
，；
，
顶点，
如图，过点作于点，则，

，，
，
当时，，
，
，
，
故与的面积之和为；
如图，过点作于点，

，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
设，
当点在轴上方时，如图，过点作轴于点，
则，
，，
在中，，
，即，
解得：舍去，，
；
当点在轴下方时，如图，过点作轴于点，

则，
，，
，
，即，
解得：舍去，，
；
综上所述，点坐标为或 

【解析】令，解方程，即可求得点、的坐标；
过点作于点，则，再求得点的坐标，运用三角形面积公式即可求得答案；
过点作于点，运用解直角三角形求得，得出，设，分两种情况：当点在轴上方时，过点作轴于点，根据，建立方程求解即可；当点在轴下方时，过点作轴于点，同理可求得点的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点，等腰直角三角形性质，三角形面积，解直角三角形等，本题难度适中，解题关键是要分类讨论，防止漏解．