第4章 幂函数、指数函数与对数函数【过习题】-2022-2023学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册）

单元复习 第四章 幂函数、指数函数与对数函数

1．已知幂函数，则m＝（    ）．

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】形如的函数称为幂函数，根据此定义给出表示幂函数的条件.

【详解】形如的函数称为幂函数，

令，解得．

故选：C.

2．若，，则下列不等式中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】举例判断A；结合指数函数单调性判断B；结合对数函数定义域判断C；利用判断D.

【详解】当，时，，但，故A错误；

因为在是单调递增函数，所以当，则，故B正确；

因为的定义域为，所以当时，不存在与，故C错误；

当时，，故D错误.

故选：B

3．若，则实数的取值范围是（     ）

A． B．或

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数单调性即可求解.

【详解】解：由题意得：，解得：，

故选：A.

4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．

【详解】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

故选：．

5．下列函数中：①；②；③；④．其中图像不经过原点的函数的个数为（    ）

A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．

【答案】B

【分析】根据函数解析式依次判断即可.

【详解】①，当时，，经过原点；

②的定义域为，故不经过原点；

③的定义域为，故不经过原点；

④，当时，，经过原点.

综上，经过原点的函数有2个.

故选：B.

6．如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的单调性结合特值法进行判断即可.

【详解】当时，幂函数在上单调递减，

当时，幂函数在上单调递增，

可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，

当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，

当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，

令，分别代入，，得到，，

因为，可知曲线、对应的值分别为、.

故选：A.

7．若正实数，，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数函数与指数函数的性质先得出的大小与范围，再确定各选项的对错．

【详解】.因为，即，

则，，

则，，则，所以，，，A，B，C项错误；，，，D项正确.

故选：D．

8．若函数为指数函数，则a的取值范围是________

【答案】 或，

【分析】根据指数函数的定义即可求解.

【详解】 为指数函数，则 或，解得： 或，

故答案为： 或，

9．关于x的不等式的解集为__________

【答案】

【分析】由对数的运算性质与换元法求解

【详解】

令，则，解得，

则，解得，

故答案为：

10．函数的图象必经过定点________.

【答案】

【分析】由恒成立可直接得到定点坐标.

【详解】恒成立，的图象必过定点.

故答案为：.

11．方程的解为___________．

【答案】##

【分析】利用对数的运算性质有，进而求解即可.

【详解】由且，则，故.

故答案为：

12．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最大值为___________.

【答案】##0.125

【分析】由对数函数性质求定点坐标，再根据点在直线上有，应用基本不等式求的最大值，注意等号成立条件.

【详解】由题设恒过，又在直线上，

所以，则，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为.

故答案为：

13．设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．

【答案】

【详解】因为x，y，z为正数，可设，

则，

因为，所以，

所以，即．

故答案为：．

14．比较下列各组中两个值的大小：

①log31.9，log32；

②log23，log0.32；

③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)；

④log50.4，log60.4.

【答案】（1）log31.9<log32；（2）log23>log0.32；（3）答案见解析；（4）log50.4<log60.4.

【详解】解：（1）因为y＝log3x在上严格递增，所以log31.9<log32.

（2）因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.

（3）当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上严格递增，所以logaπ>loga3.14；

当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上严格递减，所以logaπ<loga3.14.

综上，当a>1时，logaπ>loga3.14；

当0<a<1时，logaπ<loga3.14.

（4）在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图像，再作出直线x＝0.4，

观察图像可得log50.4<log60.4.

15．比较下列几组值的大小：

（1）和；    

（2）和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）由于

因为在R上严格递减，且0<<1，－ >－，

所以.

（2）由于，，

因为在R上严格递增，且， >，所以

即

16．已知幂函数在上是减函数，．

(1)求的解析式；

(2)若， 求的取值范围．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）根据幂函数定义及单调性可得参数的值；

（2）根据（1）可得，构造函数，结合定义域与单调性解不等式.

【详解】（1）由函数为幂函数得，解得或，

又函数在上是减函数，则，即，

所以，

；

（2）由（1）得，

所以不等式为，

设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，

所以，解得，

所以的取值范围是.

17．已知幂函数经过点．

(1)求此幂函数的表达式和定义域；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，定义域为；；(2).

（1）

解：设，则，可得，解得，

所以，，

由可得，所以，函数的定义域为.

（2）

解：由幂函数的性质可知，函数的定义域为，且在定义域上为减函数，

由可得，可得.

18．设，其中为实数．

（1）设集合，集合，若，化简集合、集合并求实数的取值范围；

（2）若集合中的元素有且仅有2个，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【详解】解：（1）化简，

又，所以

（2）由，

得等价于，且，

设，在上严格增，在上严格减，g(1)=1,g(3)=3,g(x)在(0,3)内的图象如图所示.

由题意等价于直线与函数在上恰有两个交点，

此时.

19．已知函数的定义域是.

（1）求实数的取值范围;

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）因为函数的定义域是，

所以恒成立，

则，解得，的取值范围为.

（2），即，

因为，所以，即，解得，

故不等式的解集为.

20．已知函数（其中）的图象如下图所示，则的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.

【详解】解：由图象可知：，

因为，所以由可得：，

由可得：，

由可得：，

因此有，

所以函数是减函数，，所以选项A符合，

故选：A

21．设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ）

A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3

【答案】B

【分析】由幂函数过点，根据两个幂函数的定义域的情况进行分类分析可得答案.

【详解】和是两个不同的幂函数，设，

由幂函数过点，

当和的定义域均为时，它们的图象的交点有，，还可能有

当和中至少有一个的定义域为时，它们的图象的交点有

当和中一个的定义域为，另一个的定义域为时，它们的图象的交点有.

所以它们图像交点的个数为1或2或3

故选：B

22．设，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据且可得，，，进而可得，再结合基本不等式即可求解.

【详解】，

作函数的图象如图所示：

由，可得，且，，

因为，所以，

所以，即，

因为，

所以，

即，

因为，，所以，

所以，

故选：A.

23．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.

【详解】由题意得，，故；

，

因，根据对勾函数得，因此；

由勾股数可知，又因且，故；

因此.

故选：C.

24．已知函数，若，则实数a的值为___．

【答案】10

【分析】讨论的范围，根据解析式即可求出.

【详解】因为函数，，

（1）当时，，由，可得，

则，解得a＝4，不成立；

（2）当a＞1时，，

当时，，解得a＝10，符合；

当时，，无解．

综上，实数a的值为10．

故答案为：10．

25．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．

【答案】

【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．

【详解】解：∵函数的定义域是R，

∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，

即ax＞对于任意实数x恒成立，

当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；

当x＞0时，则a＞＝，

∵x＞0，∴，则≥，

则≤，可得a＞；

当x＜0时，则a＜，

∵x＜0，∴，则＞1，

则＞1，可得a≤1．

综上可得，实数a的取值范围是．

故答案为：．

26．已知实数x、y满足，则的最小值为______．

【答案】##

【分析】根据给定等式可得，再借助“1”的妙用计算作答.

【详解】因实数x、y满足，则，且，

则有，即，且，

因此，，当且仅当，即时取“=”，

由解得：，

所以当时，取最小值.

故答案为：

27．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．

(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；

(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．

【答案】(1)a＝，b＝－3

(2)a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为．

(3)或

【分析】（1）代入点的坐标列出方程求解即可；

（2）根据图象可知函数为减函数确定的取值范围，再由可求的取值范围；

（3）作出的图象，数形结合求解即可.

【详解】（1）因为的图象过点，

所以解得a＝，b＝－3.

（2）由为减函数可知a的取值范围为(0，1)，

因为，即，

所以b的取值范围为．

（3）由题中图①可知的图象如图，

由图可知使有且仅有一个实数解的的取值范围为或.

28．已知函数.

（1）若，求的值；

（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）当时，，舍去；

当时，，即，．基础即可得出．

（2）当，时，，即，即．化简解出即可得出．

【详解】解：（1）当时，，舍去；

当时，，即，．

解得，

（2）当，时，，即，

即．

因为，所以．

由，所以．

故的取值范围是．

29．已知函数，函数的图像与的图像关于轴对称.

（1）求的解析式；

（2）解关于的不等式.

【答案】(1)( x<2)；(2)或.

【分析】(1)在函数图象上任取点，该点关于y轴对称点必在的图像，代入即可得解；

(2)由(1)及所给条件，列出对数不等式，由对数函数单调性等价转化成不等式组并求解即得.

【详解】(1)设为函数的图像上任意一点，点关于轴的对称点为，

则点必在函数的图像上，则，即，

所以的解析式为( x<2)；

(2)由及(1)可得，

因为是增函数，于是有，即，

解得或，

所以不等式的解集为或.

30．（2022·上海·模拟预测）下列幂函数中，定义域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0

【详解】对选项，则有：

对选项，则有：

对选项，定义域为：

对选项，则有：

故答案选：

31．（2022·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；

【详解】解：因为，

所以函数是一个偶函数，

又时，与是增函数，且函数值为正数，

故函数在上是一个增函数

由偶函数的性质得函数在上是一个减函数，

此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，

函数值就小，反之也成立，

考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误；

B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；

C选项是正确的，由，一定得出；

D选项由，可得出，但不能得出，不成立，

故选：C．

32．（2022·上海闵行·二模）不等式的解集为___________；

【答案】

【分析】利用指数函数的单调性解不等式，求出解集.

【详解】即，解得：

故答案为：

33．（2022·上海黄浦·二模）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．

【答案】

【分析】根据幂函数的单调性与定义域判定即可

【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故

故答案为：

34．（2021·上海金山·一模）函数的定义域是___________

【答案】

【分析】利用对数函数的定义域求法求解.

【详解】因为函数，

所以，

解得，

所以函数的定义域是，

故答案为：

35．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若函数单调递增，则实数m的最大值是 __________ .

【答案】

【分析】由题意列不等式，直接解出m的范围.

【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，

所以要使函数单调递增，

只需，解得：.

即实数m的最大值是.

故答案为：

36．（2021·上海·模拟预测）已知函数，其中且，.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若存在使，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）且.

【分析】（1）分和两种情况，利用对数不等式的运算性质以及单调性进行分析求解即可；

（2）分和两种情况，分别研究和有解问题，即可得到答案.

【详解】（1）函数，其中且，，

若，不等式，即，

即，

∴当时，，且，

解得，故不等式的解集为；

当时，，且，

解得，故不等式的解集为.

（2）因为存在使，故或，

存在使，即能成立，

当时，，即有解，

当时，，即有解，

令，则存在，且，，

所以，且，因为，

则，故，又，故在中有唯一的零点，

则，此时需要，，解得，又，

所以的取值范围为且.

37．（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数.

(1)求实数的值，并证明在上单调递增；

(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，证明见解析；(2)

【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立；

（2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.

（1）

解：因为函数是定义域为的奇函数，

则，解得，此时，

对任意的，，即函数的定义域为，

，即函数为奇函数，合乎题意，

任取、且，则，

所以，，则，

所以，函数在上单调递增.

（2）

解：由（1）可知，函数在上为增函数，

对于任意的、，都有，则，

，

因为，则.

当时，则有，解得；

当时，则有，此时.

综上所述，实数的取值范围是.