第七章 平面直角坐标系【知识梳理课件】——2022-2023学年人教版数学七年级下册单元综合复习

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1.理解平面直角坐标系的意义，熟练掌握各象限内点的坐标特征．掌握一些特殊点的坐标求法；2.能建立适当的平面直角坐 标系描述物体的位置．在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化；3.在平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换；4.进一步体会数形结合的数学思想。
重点：利用点的坐标特征解决问题； 点的平移引起的点的坐标的变化规律。　
知识点一 平面直角坐标系
（二）平面直角坐标系 1、平面直角坐标系的定义 平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平方向的数轴称为x轴或横轴，习惯取向右的方向为正方向；
㈠有序数对1、有序数对的定义有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b).利用有序数对，能准确表示一个位置，这里两个数的顺序不能改变。有序数对包含的三层意义:①由两个数组成;②两数有顺序性;（a,b）与（b,a）表示的是两个不同的位置（a≠b）.③成对出现.
竖直方向上的数轴称为y轴或纵轴，习惯取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 .辨识平面直角坐标系的“三要素”：1. 两条数轴；2. 共原点；3. 互相垂直.注意：一般取向上、向右为正方向.
平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵坐标，则有序数对（a，b）叫做点P的坐标,记为P（a，b）注意：在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来；点的坐标是有序实数对，(a，b) 和(b，a)(a ≠ b) 虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置就不同.3. 平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系：(1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应.(2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.
5、象限象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 各象限的名称是一种规定，不能更改.坐标原点既在x轴上，又在y 轴上， 它是两条坐标轴唯一的公共点.注意：坐标轴上的点不属于任何象限 .
总结：平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系：4、点到坐标轴的距离任意点p（x，y）到x轴距离等于│y│；到y轴的距离等于│x│。点p（x，y）到两坐标轴距离相等，可得│x│=│y│，即x=y或x=-y
与x轴平行：横坐标不同,纵坐标相同的两个点的连线平行于x轴;与y轴平行：横坐标相同,纵坐标不同的两个点的连线平行于y轴.一、三象限角平分线的点横、纵坐标相同； 二、四象限角平分线的点横、纵坐标互为相反数 。
例1.下列说法中能确定台风具体位置的是( )A. 西太平洋 B. 北纬28°，东经135°C. 距离海南300 海里 D. 上海与南京之间
解题秘方：紧扣有序数对表示位置，需要两个数据信息进行判断.
例2.如图，平面直角坐标系中标出了A，B，C，D，E 五个点.
(1)分别写出点A，B，C，D，E 的坐标；(2)分别写出点A，B，C 到y 轴的距离.
解：点A，B，C，D，E的坐标分别为A(3，0)，B(－1，3)，C(－2，－2)，D(2，－4)，E(－5，0)．
点A，B，C到y轴的距离分别是3，1，2.
例3.在平面直角坐标系中，点P(－3，a2+1)所在象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
例4. 已知点P(8－2 m，m－1).(1)若点P 在x 轴上，求m 的值.
解：由题意得m－1＝0，∴m＝1.
(2)若点P 到两坐标轴的距离相等， 求点P 的坐标.
解：由题意得|8－2m|＝|m－1|，∴8－2m＝±(m－1)．解得m＝3或m＝7.当m＝3时，8－2m＝8－2×3＝2，m－1＝3－1＝2.∴P(2，2)．当m＝7时，8－2m＝8－2×7＝－6，m－1＝7－1＝6，∴P(－6，6)．综上所述，P点的坐标为(2，2)或(－6，6)．
(3)若点P 在第二、四象限的角平分线上，求P 的坐标.
解：由题意得8－2m＋m－1＝0，解得m＝7.∴8－2m＝－6，m－1＝6.∴P(－6，6)．
例5. 如图，建立适当的平面直角坐标系，正方形网格上点B，C 的坐标可分别表示为(0，1) ， ( 1，－1) ， 那么点A的坐标为( )A. (－1，2)B. (2，－1)C. (－2，1)D. (1，－2)
1. 下列能够准确表示某城市位置的是( )A. 东经116°B. 北纬32°C. 北偏东30°D. 东经116°，北纬32°
2. 在平面直角坐标系中分别描出下列各点：A(－6，－4)，B(－4，－3 ) ，C(－2，－2 ) ，D(0，－1 ) ，E(2，1 ) ，F(4，1 ) ，G(6，2 ) ，H(8，3 ).
3.若|a|=5,b²=16,且点M(a,b)在第二象限,则点M的坐标是 (　　)A.(5,4) B.(-5,4)C.(-5,-4) D.(5,-4)
4.已知平面直角坐标系内的不同两点A(3，a－1)，B(b+1，－2).
解题秘方：分别根据特殊位置点的坐标特征列出以a，b 为未知数的方程，求出a，b 的值或取值范围.
(1)若点A 在第一、三象限的角平分线上，求a 的值；(2)若点B 在第二、四象限的角平分线上，求b 的值；
解：∵点A 在第一、三象限的角平分线上，∴ a－1=3，∴ a=4.
∵点B 在第二、四象限的角平分线上，∴ b+1=2， ∴ b=1.
(3)若直线AB 平行于x 轴，分别求出a，b 的值或取值范围；(4)若直线AB 平行于y 轴，且AB=5，求a，b 的值.
解：∵直线AB 平行于x 轴，∴ a－1=－2，b+1 ≠ 3.∴ a=－1，b ≠ 2.
∵直线AB 平行于y 轴，且AB=5，∴ b+1=3，|(a－1) －( － 2)|=5. ∴ b=2，a=4 或a=－6.
5.如图所示，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点(1，－2)，“象”位于点(3，－2)，则“炮”位于点（ ）A. (1，3) B. (－2，0) C. (－1，2) D. (－2，2)
知识点二 坐标方法的简单应用
（三）用坐标表示点的位置 1.平面直角坐标系的建立： (1) 建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴，y 轴的正方向；(2) 根据具体问题确定单位长度；(3) 在坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称.2.利用平面直角坐标系描述地理位置时应注意的问题（1）注意选择适当的位置为坐标原点，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置．（2）以正北为纵轴的正方向，可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致．（3）要注意标明适当的单位长度．（4）有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称． 同一物体、地点在不同的平面直角坐标系中，表示的坐标不同，但其相互间的位置不会变.
（四）用方向和距离表示物体的位置 (1)选取一点为参照点；(2)在该点(参照点)建立方向标； (3)确定两者之间的直线距离；(4)用方位角和距离表示出平面内的点. 一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置。此外，还可以用方向和距离表示平面内物体的位置。（五）平移 1.点(图形)平移→点的坐标变化(1)左、右平移（左减右加）：原图形上的点(x,y) ，向右平移a个单位，(x+a,y)原图形上的点(x,y) ，向左平移a个单位，(x-a,y)
(2)上、下平移（上加下减）：原图形上的点(x,y) ，向上平移b个单位，(x,y+b)　　　　　　　　　原图形上的点(x,y) ，向下平移b个单位，(x,y-b)2.图形上点的坐标变化与图形平移间的关系(1)横坐标变化,纵坐标不变：原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y)，要向右平移a个单位。　　　原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y)，要向左平移a个单位。(2)横坐标不变,纵坐标变化：原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x,y+b)，要向上平移b个单位。原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x,y-b)，要向下平移b个单位。
(3)横坐标、纵坐标都变化：原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y+b),要向右平移a个单位,向上平移b个单位；原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y-b),要向右平移a个单位,向下平移b个单位；原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y+b),要向左平移a个单位,向上平移b个单位；原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y-b),要向左平移a个单位,向下平移b个单位；
1.点到坐标轴的距离相等，则可得横纵坐标相等或互为相反数。 2.与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等； 与y轴平行的直线上的点的横坐标相等。 3.一、三象限角平分线的点横、纵坐标相同；  二、四象限角平分线的点横、纵坐标互为相反数 。 4.求三角形的面积： （1）图中可以直接求出三角形的底和高，就直接代公式求面积； （2）利用组合图形的面积和或差求面积。
例6. 小明家在学校正东200 m处，从小明家出发，向北走150 m就到了李华家. 若选取李华家为原点，分别以正东、正北方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表1 m长，则学校的坐标为（　B）
例7.如图7－20－3所示是一所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处.若教学楼位置的坐标是（－1， 1），实验楼位置的坐标是（3， －2），则图书馆位置的坐标是（　D　）
思路点拨：根据已知点的坐标得出原点的位置，进而得出其他位置的坐标.
例8.图为某公园门口看到的平面示意图,你能用坐标表示出它们的地理位置吗?若按图建立坐标系,则各景点的坐标分别为多少?
例9.如图7－20－7，一艘船在A处遇险后向相距50 n mile位于B处的救生船报警.用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置为（ 
遇险船在救生船南偏西15°的
的方向上，距离是50 n mile）
例10. 将顶点坐标为（－4，－1），（1，1），（－1，4）的三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的三角形三个顶点的坐标分别是（ ）A.（2，2），（3，4），（1，7）B.（－2，2），（4，3），（1，7）C.（－2，2），（3，4），（1，7）D.（2，－2），（3，3），（1，7）
例11.三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2).
若将△ABC向左平移 6 个单位,再向下平移 5 个单位 ，画出平移后的△ A1B1C1,并写出A1,B1,C1的坐标;
平移图形,图形上所有点坐标都发生相应变化，平移关键点即可
6.如图，从点B看点A的方向是（　　）A．南偏东43°B．南偏东47°C．北偏西43°D．北偏西47°
【解析】以B为观测中心判断A的方向即可．从点B看点A的方向是南偏东43°．
7. 如图是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(1，0)，安化县城所在地用坐标表示为(－3，－1)，那么南县县城所在地用坐标表示 .
8.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？
9.线段CD是由线段AB平移得到的.其中点A(–1，4)的对应点为C(4，4)，则点B(–4，–1)的对应点D的坐标为________.
10.如图,△ABC中任意一点P(x0,y0),经平移后对应点为P1(x0＋3,y0－5),将三角形作同样平移得到△A1B1C1.(1)求A1,B1,C1 的坐标,并在图中画出△A1B1C1;(2)求△ABC的面积.
解 :(1) ∵BC=12， S∆ABC=24， ∴OA=4，OB=OA=4， ∴B(-4，0)；
　11.已知，如图在平面直角坐标系中，S∆ABC＝24，OA＝OB，BC＝12.（1）求点B的坐标；（2）求△AOC的面积.
(2)∵BC=12，OB=4 ∴OC=8， ∴S∆AOC=8×4÷2=16