中考数学二轮专题复习：图形中的二次函数解析式与复杂图象变换 (含答案)

【引例】       如图，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，若,则抛物线的解析式为                   .

【解析】       当时，，∴与轴交于，

∵，∴点的坐标为，点的坐标为

把点和代入得

解得，∴抛物线的解析式为.

【例1】         根据给定条件求出下列二次函数解析式．

⑴ 抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负；         

⑵ 抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M；                                                                                                                                                                                                                  

⑶ 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，

OB︰OC=1︰3，AE=7，且tan∠OCE=3，tan∠ABO=2，抛物线经过A，B，C.    

【解析】       ⑴．

⑵ 抛物线与y轴交点为M．

抛物线与x轴的交点为和，

它们关于直线的对称点分别为和.

由题意，可得：

，即m=2或m=3.

⑶．

【例2】         ⑴ 抛物线的最低点A的纵坐标是3；则抛物线的解析式为            .                          (2013房山二模)

⑵如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．则抛物线的解析式为               .

⑶设抛物线，其中，与轴交于、两点（在的

左侧），若点的坐标为，且，求抛物线的解析式.

【解析】       ⑴ .

⑵由题意可知：点坐标，抛物线对称轴，

∵轴，∴点坐标，∴，则．

在中，，，

∴，

∴点坐标为， 代入抛物线解析式得，解得．

∴抛物线解析式为．

⑶ 当时，得，

∵,∴．

∴或．

抛物线与轴的交点分别为、，

∵在的左侧，．

∴，．

则，．

∵，

∴．

∴．

解得．

∵，

∴．

∴抛物线的解析式为．

【引例】       在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．

⑴求该二次函数的解析式；

⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．

【解析】       ⑴ 设二次函数解析式为，

∵二次函数图象过点，

∴，得．

∴二次函数解析式为，即．

⑵ 令，得，解方程，得，．

∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．

∴二次函数图象向右平移个单位后经过坐标原点．

平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为．

【例3】         ⑴ 把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点

  和，求、的值．

⑵ 把抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，所得抛物线为

，其图象经过点，求原解析式．

【解析】       ⑴ 把向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线为

．于是，由题设得

解得

即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．

⑵ 首先，抛物线经过点，可求得，设原来的二次函数为

，

可得解得

所以原二次函数为，

即．

说明：将抛物线向右平移个单位，得到的抛物线是

；向左平移个单位得到；

向上平移个单位，得到；向下平移个单位得到．

【例4】         ⑴在同一坐标平面内，图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（　　）

A．  B．       C．  D．

⑵将抛物线绕它的顶点旋转，所得抛物线的解析式是（   ）

A．         B．

C．         D．

⑶已知抛物线的对称轴为，且与轴只有一个交点.

①求的值；

②把抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位，向下平移个单位，得到新的抛物线，求新抛物线的解析式.

【解析】       ⑴ D．⑵ D．

⑶ ①∵抛物线的对称轴为，

∴．  

∵抛物线与轴只有一个交点 ，    

∴ ．         

∴． 

②∵ ，，

∴．

∴．

沿轴翻折后得到，向右平移个单位，向下平移个单位得到抛物线的解析式为．

【引例】       已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，若是等边三角形，求的边长．

【分析】       要注意等边三角形和抛物线具有轴对称这一特性．

【解析】       点的坐标为，不妨设点在对称轴的右侧，

设抛物线的对称轴为与交于点

在中，设，

∴

把代入

（舍），

∴.

【点评】      抛物线定了，相对应的等边三角形就定了．任意抛物线都可以通过平移得到．通过设点坐标代入解析式可得等边三角形的边长为．

【例5】         如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的三个顶点、、，则的值为       ．

【解析】       连接交于点，（图略）

首先由可得点，

又根据正方形的性质可得，

所以有，

∴点，

代入抛物线解析式可得：，

解得．

【例6】         已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，点为直角坐标系内一点，若四边形是正方形，求正方形的面积．

【分析】       要注意正方形和抛物线具有轴对称这一特性．

【解析】       点的坐标为，不妨设点在对称轴的右侧，

设抛物线的对称轴交于点

在 中，设，则

∴

把代入得

解得（舍），

∴

∴正方形的面积为

【点评】      其实抛物线定了，相对应的正方形就定了．任意抛物线都可以通过平移为．通过设点坐标代入解析式可得正方形的对角线为．

【例7】         若如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；

⑴ 求抛物线n的解析式；

⑵ 设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重

合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF

的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值．

【解析】⑴ ∵抛物线的顶点为，

∴的解析式为=，

∴.

∵抛物线是由抛物线绕点旋转得到，

∴的坐标为，

∴抛物线的解析式为：，即.

⑵ ∵点与点关于点中心对称，∴.

设直线的解析式为，则

         ∴

∴.

又点坐标为，

∴S

==，

∴当时，S有最大值，

但,所以的面积S没有最大值．

精讲：抛物线的内接特殊三角形探究

【探究对象】抛物线的内接特殊三角形

【探究过程】

【探究1】以抛物线顶点为顶点的对称图形

变式1．已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，若是

等边三角形，求的边长．

变式2．变式1中，如果把换成，若是等边三角形时，

则的边长会发生怎样的变化？

变式2．前面的问题的换成等腰直角三角形或正方形时，它们的边长又会发生怎样

的变化？

总结：(1) 抛物线定了，相对应的等边三角形就定了．任意抛物线都可以通过平移得到

．通过设点坐标代入解析式可得等边三角形的边长为．

(2) 其实抛物线定了，相对应的正方形就定了．任意抛物线都可以通过平移为

．通过设点坐标代入解析式可得正方形的对角线为．

【探究2】抛物线与轴两个交点和顶点确定的三角形

变式1．已知，二次函数与轴的两个交点、都在原点右侧，顶点为。

当是等腰直角三角形时，求判别式．

变式2． 变式1中，如果把换成，是等腰直角三角形时，

判别式的值会发生变化吗？

变式3．前面的问题中当为等边三角形时，的判别式又是多

少？

变式4．前面的问题中当为顶角为120°的等腰三角形时，的判

别式又是多少？

总结：(1) 当与轴交于、两点，是顶点，当为等腰直

角三角形时，则．

(2) 当与轴交于、两点，是顶点，当为等边三

角形时，则．

(3) 当与轴交于、两点，是顶点，当为顶角为

120°的等腰三角形时，则．

【探究3】抛物线与坐标轴的三个交点确定的三角形

变式1．已知抛物线与轴正、负半轴分别交于、两点，与轴负

半轴交于点．若，，，求抛物线解析式．

分析：由双垂图联想到射影定理，结合条件易想到

，可求点坐标．再利用交点式求

解析式．

变式2．若上例中把条件，去掉，其它条件不变，则、之间满足什么关系？

变式3．请你设计一种平移方案，将平移，使其与坐标轴三个交点为直角三角形三个顶点．

分析：上下平移开口方向和对称轴不变，则、不变，只需求出平移后的解析式，再确定

平移了多少个单位．

总结：当抛物线与轴有交点、，和轴交于点，一般结论：是．

题型一  二次函数的解析式  巩固练习

【练习1】   抛物线与轴的交点为 ，且顶点在直线上，则抛物线的解析式为            .

【解析】       ，∴与轴的交点为和，∴，∴抛物线的解析式为且对称轴为，当时，，故抛物线的顶点为，把代入中得，

∴抛物线的解析式为.

【练习2】   如图，四边形是菱形，点的坐标是，以点为顶点的抛物线恰经过轴上的点、．

⑴ 求点的坐标；

⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．

【解析】       ⑴ 连接，在菱形ABCD中，，

，

由抛物线对称性可知．

∴ 都是等边三角形．

∴ ．

∴ 点的坐标为．

⑵ 由抛物线的顶点为，

可设抛物线的解析式为．

由⑴可得，把代入上式，

解得．   

设平移后抛物线的解析式为，把代入上式得．

∴平移后抛物线的解析式为．

即．

题型二  二次函数的图象变换  巩固练习

【练习3】   已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是              ．

【解析】       ．

【练习4】   二次函数的图象所示，请将此图象向右平移个单位，再向下平移个单位．

⑴ 画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式．

⑵ 求经过两次平移后的图象与轴的交点坐标，指出当满足什么条件时，函数值大于？

【解析】       ⑴ 画图如图所示：

依题意得：

∴平移后图象的解析式为：

⑵ 当时，

，

∴平移后的图象与轴交于两点，坐标分别为和

由图可知，当或时，二次函数的函数值大于．

题型三  二次函数中的特殊三角形  巩固练习

【练习5】   已知抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为、（点在点的左边），

⑴若为等腰直角三角形，求的值．

⑵在⑴的条件下，若绕点旋转，两边交抛物线于、（不与点、重合），探索和的大小关系，并证明．

【解析】       ⑴ 点的坐标为，代入得．

⑵ 结论：．

作的角平分线交于，分别从点、点引的垂线段、．

在和中，

∴，

在和中，

，

∴

即，∴．

【测试1】   把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则________________．

【答案】11

【测试2】   ⑴ 设抛物线，把它向右平移个单位，或向下移个单位，都能使抛物线与

直线恰好有一个交点，求、的值．

⑵ 把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点

和，求、的值．

【解析】⑴ 抛物线向右平移个单位后，得到．由

得方程，

即．

因为抛物线与直线恰好有一个交点，所以上述方程有两个相同的实数根，故判别式

，

得，

这时的交点为．

抛物线向下平移个单位，得到抛物线，于是得方程

，

即，

该方程有两个相同的实数根，故判别式

，

得，这时的交点为．

⑵ 把向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线为．于是，由题设得．

解得

即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．