2022-2023学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（下）段考数学试卷（3月份）(含解析）

2022-2023学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（下）段考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在根式、、、、中与是同类二次根式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  下列方程中没有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  若、是一元二次方程的两个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  关于的方程，有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  如果代数式有意义，那么的取值范围是______ ．

12.  方程是关于的一元二次方程，则 ______ ．

13.  若，则______．

14.  若，则 ______ ．

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）

15.  已知，，求代数式的值：
；
．

16.  已知关于的一元二次方程．
Ⅰ证明：不论为何值时，方程总有实数根．
Ⅱ为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

四、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算题：
；
．

18.  本小题分
去年月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有头猪患病．
每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？
如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过头？

19.  本小题分
已知是关于的一元二次方程的一个根．
求．
求此方程的另一个根．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
求实数的取值范围；
若，求的值．

21.  本小题分
根据要求解答下列问题：
方程的解为______ ；
方程的解为______ ；
方程的解为______ ；
根据以上方程特征及解的特征猜想：方程的解为______ ，并用配方法解方程进行验证；
根据以上探究得出一般结论：关于的方程的解为______ ．

22.  本小题分
阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：
；等运算都是分母有理化．根据上述材料，
化简：
计算：
．

23.  本小题分
某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量双与降低价格元之间存在如图所示的函数关系．
求出与的函数关系式；
公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；
D、中，被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
利用二次根式的定义进行解答即可．
本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如的式子叫做二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：．与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B.与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项正确．
故选D．
根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
【解答】
解：，
，
．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：、、，
在这一组数中与是同类二次根式有两个，即、．
故选B．
先把各二次根式化成最简二次根式后，再进行判断即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键．
分别计算出每个方程的判别式的值，从而得出答案．
【解答】
解：方程中，，此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
B.方程中，，此方程没有实数根，故本选项符合题意；
C.方程中，，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D.方程中，，此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：把方程看作关于的一元二次方程，
所以或，
所以，．
故选：．
先把方程看作关于的一元二次方程，利用题中的解得到或，然后解两个一元一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：每人要赠送张相片，有个人，
全班共送：，
故选：．
根据题意得：每人要赠送张相片，有个人，然后根据题意可列出方程．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送张相片，有个人是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据数轴可知：
 ，，且，
，
，
，
 故选：．
首先能根据数轴看出：，，且的绝对值大于的绝对值，化简和即可．
解此题的关键是确定的大小及之间的关系，利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简，难点是确定的大小及之间的关系，题目很好，有一定难度．
 

9.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，即，
则原式．
故选：．
根据题意，利用根与系数的关系及方程解的定义确定出关系式，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，解得：，
，，
又，
，，
则：，
，即：，
解得：，
综上，的取值范围为：．
故选：．
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围．
此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到，．
 

11.【答案】且 

【解析】解：由被开方数大于等于，分母不等于，可知：且，
解得：的取值范围是且．
根据二次根式的性质和分式的意义，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和分式的性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
，且，
解得；
故答案是：．
根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值．
本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
则，
即，
解得或不合题意，舍去，
．
故答案是．
设，则原方程转化为关于的一元二次方程，即，然后解关于的方程即可．
本题考查换元法解一元二次方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：有题意得：，
解得：，
，即：，等式两边平方得：；
原式．
故答案为：．
、都是非负数，其和为零，则每项均为零，即可得和，对的等式变形即可求出，等式两边平方得：，本题即可求解．
本题考查的是非负数和为零的、分式性质，难点在求的过程，是难度大一些的题目．
 

15.【答案】解：，，
，，



；
，，
，，




． 

【解析】根据、的值可以求得所求式子的值；
根据、的值可以求得所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
 

16.【答案】Ⅰ证明：

，
不论为不为的何值时，，
，
方程总有实数根；
Ⅱ解方程得，，
，，
方程有两个不相等的正整数根，
或，不合题意，
． 

【解析】Ⅰ求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
Ⅱ利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出的值．
本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；
，
，，，
，
，
，． 

【解析】根据二次根式的乘法和除法运算法则进行计算，再合并同类项即可．
利用公式法解方程即可．
本题考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪．
头．
，
患病的猪会超过头，
答：患病的猪会超过头． 

【解析】设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，根据一头猪患病经过两轮传染后共有头猪患病，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据第三轮又被感染的猪的只数经过两轮感染后患病的猪的只数，即可求出结论，再进行比较即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
即，
解得，．
故的值是或；
当时，
，即，
解得，．
当时，
，即，
解得，．
故另一根为． 

【解析】将代入解析式即可求出的值；
把的值代入方程，从而解出另一根．
本题考查了一元二次方程的解，要知道，一元二次方程的解使得方程左右两边相等．
 

20.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根和，
，
，
，
由题意得，，
，
，
，
，
，
，，
由知道，
． 

【解析】根据一元二次方程有两个实数根得到，求出的取值范围；
首先根据根与系数关系的关系得到，，然后得到，求出的值即可．
本题考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是把转化为关于的一元二次方程，此题还要掌握一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个的实数根．
 

21.【答案】  ，  ，  ，  ， 

【解析】解：，
，
，
所以；
故答案为：；
，
，
或，
所以，；
故答案为：，；
，
，
或，
所以，；
故答案为：，；
方程的解为，；
用配方法解方程过程如下：
，
，
，
，
所以，；
故答案为：，；
关于的方程的解为，．
故答案为：，．
利用因式分解法解三个方程即可；
利用中各方程特征及解的特征得到方程的解为和；
利用前面的解的规律解决问题．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

22.【答案】解：；



；



． 

【解析】直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案；
利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案；
利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案．
此题主要考查了分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．
 

23.【答案】解：设与的函数关系式为 ，
由图可知其函数图象经过点和，
将其代入 得，，
解得，
与的函数关系式为；
由题意得 ，
整理得 ，
解得：，；
当时，售价为元，
当时，售价为元，
优惠力度最大，
取，
答：当每双运动鞋的售价为元时，企业每天获得的销售利润达到元并且优惠力度最大；
公司每天能获得元的利润，理由如下：
要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：；
依题意，得 ，
整理得 ，
解得：；
降价元时，公司每天能获得元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的． 

【解析】由题意，设与的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．