2023年中考数学二轮专项练习：二次函数图像上点的坐标特征附答案

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数图像上点的坐标特征附答案

一、单选题

1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：

①2a﹣b=0；

②abc＞0；

③4ac﹣b2＜0；

④9a+3b+c＜0；

⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等实数根；

⑥8a+c＜0．

其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知二次函数 （ ）的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0 

其中正确的是（　　）

A．①② B．只有① C．③④ D．①④

3．已知二次函数y=ax2+bx－1（a≠0）的图象经过点(2，4)，则代数式1﹣2a﹣b的值为(　　)

A．-4 B．-  C． D．

4．已知抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③当 时，y随x增大而增大；④抛物线的顶点坐标为 ；⑤若方程 两根为 （ ），则 ， .其中正确结论有（　　） 

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知关于x的方程﹣x2+bx＝m的两个根分别是x1＝﹣ ，x2＝ ，若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是二次函数y＝﹣x2+bx+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2

6．如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点（0，3），与x轴的一个交点为A，连接MO，MA.以下结论：

①常数；②抛物线经过点（－2，3）；③；④当时，.

其中正确的是（　　）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④

7．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0其中正确的是（　　）  

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③

8．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＞y2＞y3　 B．y1＞y3＞y2　　　　

C．y2＞y1＞y3　 D．y3＞y1＞y2

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+5经过A（2，5），B（﹣1，2）两点，若点C在该抛物线上，则C点的坐标可能是（　　） 

A．（﹣2，0） B．（0.5，6.5）

C．（3，2） D．（2，2）

10．二次函数 （ ）的图象如图所示，对称轴为 ，给出下列结论：① ； ②当 时， ；③ ；④ ，其中正确的结论有（　　） 

A．①② B．①③ C．①③④ D．②④

11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点A（﹣2，0）、O（0，0）、B（﹣3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系正确的是（　　） 

A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．不能确定

12．已知二次函数 （ 为常数， ）当 时， ，则该函数图象的顶点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二、填空题

13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＜0；②a–b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的是　     　 （填写正确的序号）。
 

14．抛物线为常数的部分图象如图所示，设，则的取值范围是　         　．

15．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，5），且无论m为何值，不等式a+b≥am2+bm恒成立，则关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为　               　.  

16．已知点 ， 在二次函数 的图象上，若 ，则当 　     　时， .  

17．设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　                                                                                                                                  　． 

18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点A（3，0），则a﹣b+c的值为　     　.

三、综合题

19．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 

其中，m=　     　．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． 

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质． 

（4）进一步探究函数图象发现： 

①函数图象与x轴有　     　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　     　个实数根；

②方程x2﹣2|x|=2有　     　个实数根；

③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　          　．

20．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）.

（1）当时，若点在该函数图象上，求n的值.

（2）小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？

（3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：.

21．如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．

（1）当时，求b的值．

（2）抛物线上有两点和，若，且，比较的大小关系．

22．已知y关于x的二次函数y=ax2﹣bx+2（a≠0）．

（1）当a=﹣2，b=﹣4时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标．

（2）在（1）的条件下，Q（m，t）为该函数图象上的一点，若Q关于原点的对称点P也落在该函数图象上，求m的值．

（3）当该函数图象经过点（1，0）时，若A（ ，y1），B（ ，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．

23．如图，抛物线 交 轴正半轴于点A，直线 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线 ，交 轴于点B．

（1）求a，b的值．

（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为 ，△OBP的面积为S，记 ．求K关于 的函数表达式及K的范围．

24．已知，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且AB=4，顶点P(3，-4).

（1）求抛物线的解析式；  

（2）若点M在抛物线上，且△MAB的面积为24，求M点的坐标.  

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】B

12．【答案】A

13．【答案】②③

14．【答案】-6＜m＜6

15．【答案】x1＝﹣1，x2＝3

16．【答案】3

17．【答案】y= x2﹣ x+2或y=﹣ x2+ x+2

18．【答案】0

19．【答案】（1）0

（2）解：如图所示； 

（3）解：由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；

（4）3；3；2；﹣1＜a＜0

20．【答案】（1）解：当m＝2时，

∵A（8，n）在函数图象上，

∴

（2）解：由题意得，顶点是

当x＝2m时，

∴顶点在直线上

（3）证明：∵P（a+1，c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上

∴对称轴是直线

∴a+2m-2＝2m ，

∴a＝2，

∴P（3，c），

把P（3，c）代入抛物线解析式，得

∴＝＝，

∵-2<0，

∴c有最大值为，

∴c≤.

21．【答案】（1）解：当时，，

将点A的坐标代入，得，

∴，

∴

将代入，得，

∴

∵抛物线交x轴于点和，

∴

（2）解：抛物线的对称轴为直线，中点的横坐标为，

∵，

∴，即中点的横坐标大于1，

∴点Q到对称轴的距离大于点P到对称轴的距离，

∵，

∴抛物线开口向下，

∴距离对称轴越远，纵坐标越小，

∴．

22．【答案】（1）解：当a=-2，b=-4时，

y=-2x2+4x+2=-2（x-1）2+4，

∴该函数图象的顶点坐标是（1，4），对称轴为直线x=1

（2）解：点Q（m，t）关于原点对称的点的坐标P是（-m，-t），

则 ，

解得，m=±1

（3）解：∵函数的图象经过点（1，0），

∴0=a-b+2，

∴b=a+2，

∵y=ax2-bx+2，

∴函数的对称轴为直线x== ，

当a＞0时， ＜ + ＜ + ，

∵ + - = ， + -（ + ）= ，A（ ，y1），B（ + ，y2）是该函数图象上的两点，

∴y2＞y1，

当a＜0时， + ＜ + ＜ ，

∵ -（ + ）=- ， + -（ + ）=- ，A（ ，y1），B（ + ，y2）是该函数图象上的两点，

∴y1＞y2

23．【答案】（1）解 ；将x=2代入y=2x得y=4

∴M（2，4）

由题意得 ，

∴

（2）解 ：如图，过点P作PH⊥x轴于点H

∵点P的横坐标为m，抛物线的函数表达式为y=-x2+4x

∴PH=-m2+4m

∵B（2，0），

∴OB=2

∴S= OB·PH= ×2×（-m2+4m）=-m2+4m

∴K= =-m+4

由题意得A（4，0）

∵M（2，4）

∴2＜m＜4

∵K随着m的增大而减小，

∴0＜K＜2

24．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点P(3，-4)， 

∴抛物线的对称轴为直线x=3.

又在x轴上所截得的线段AB的长为4，

∴点A、B到对称轴的距离为2.

∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(5，0).

设抛物线的解析式为：y=a(x-3)2-4.

将点B(5，0)代入可得:0=a(5-3)2-4.

解得a=1.

故抛物线的解析式为：y=(x-3)2-4，即y=x2-6x+5.   

（2）解：设点M(m，m2-6m+5)， 

∵S△MAB=24，

∴ AB•|m2-6m+5|=24，即m2-6m+5=±12.

∴m2-6m+5=12或m2-6m+5=-12.

由m2-6m+5=12得m2-6m-7=0.

解得：x1=-1，x2=7，

∴M1(-1，12)，M2(7，12)；

由m2-6m+5=-12得m2-6m+17=0.

=(-6)2-4×17=-32＜0.

∴方程无解，舍去.

综上：M1(-1，12)，M2(7，12).