2023安庆示范高中高三下学期4月联考数学试题含解析

安庆示范高中2023届高三联考

数学试题

2023.4

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．复数z满足，则z的虚部为（    ）．

A．1 B． C． D．3

3．立德中学高一（2）班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中，测量某种物体的质量X服从正态分布，则下列判断错误的是（    ）．

A．   B．

C． D．

4．已知，则（    ）．

A．1 B．1或 C． D．或

5．已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）．

A． B． C．3 D．

6．对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据：

根据表中的数据，得到销量y（单位：件）与单价x（单位：元）之间的经验回归方程为，据计算，样本点处的残差为1，则（    ）．

A．76 B．75 C．74 D．73

7．已知点在直线上的射影为点B，则点B到点距离的最大值为（    ）．

A． B．5 C． D．

8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知，其中，且，则下列判断正确的是（    ）．

A．  B．

C．  D．

10．已知满足中的a，b分别是等比数列的第2项与第4项，则下列判断正确的是（    ）．

A．      B．

C．      D．A．b=2a

11．在平面直角坐标系中，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，过点P分别作两渐近线的平行线与另一支渐近线交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ）．

A．双曲线的离心率大小为 B．

C．  D．四边形的面积是1

12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为边的中点，点F为棱上一动点（异于P、C两点），则下列判断中正确的是（    ）．

A．直线与直线互为异面直线

B．存在点F，使平面

C．存在点F，使得与平面所成角的大小为

D．直线与直线所成角的余弦值的最大值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面向量，满足，，且，的夹角大小为，则在方向上的投影向量的坐标为__________．

14．已知焦点坐标为的抛物线上有两点A，B满足，以线段为直径的圆与y轴切于点，则__________．

15．三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．

16．已知函数的图象经过点，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，而且取得最大值、最小值时的自变量x值分别只有一个，则实数的取值范围是__________．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知数列满足，．

（1）请判断数列是否为等比数列并求出数列通项公式；

（2）已知6，记数列的前n项和为，求证：．

18．（本题满分J2分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，，点D为边上一点，且，求的面积大小．

19．（本题满分l2分）

体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次．已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．

（1）求甲同学通过测试的概率；

（2）若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值；

（3）为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试．若甲同学所找的搭档每次投中的概率为且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？

20．（本题满分12分）

如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面．

（1）求证：O，P，三点共线；

（2）若四边形是边长为2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．

21．（本题满分12分）

已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，函数有两个不同的零点，，求证：．

22．（本题满分12分）

已知离心率为的椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为、，上顶点为B，且的外接圆半径大小为．

（1）求椭圆C方程；

（2）设斜率存在的直线l交椭圆C于P、Q两点（P、Q位于x轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．

安庆示范高中2023届高三联考

数学试题参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．D   2．B   3．C   4．B   5．A   6．B   7．C   8．D

1．D

【解析】由条件知，，所以，故选D．

2．B

【解析】由题意知，于是，其虚部为，故选B．

3．C

【解析】根据正态分布的特点不难得出，C错误．

4．B

【解析】由条件，两边同时平方整理得，

解得或，故选B．

5．A

【解析】由题意可知，于是，

当且仅当，时，的最小值为，故选A．

6．B

【解析】由条件知当时，，

代入，解得，于是，

又，所以，即，解得，故选B．

7．C

【解析】将直线l整理得到，

于是，解得，所以直线l恒过点，

根据题意知点B在以线段为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，

半径大小为，

又，所以点B到点距离的最大值为，故选C．

8．D

【解析】由条件知，，构造函数，，

求导得，

所以函数在上单调递增，于是，

所以；

构造函数，求导得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，于是，得到，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9．ACD    10．BD     11．ACD     12．ABD

9．ACD

【解析】令，则，

于是可得，

令，则，①

令，则，②

①－②，得，解得，A正确；

①＋②，得，

所以，B错误；

又，C正确；

经计算，D正确．故选ACD．

10．BD

【解析】设，

则，，，

于是，解得，，，于是A错误，B正确；

因，所以，C错误；

由条件知等比数列的偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，

于是，故D正确．故选BD．

11．ACD

【解析】由条件知，，，双曲线离心率大小为，A正确；

设渐近线的倾斜角为，则，

于是，B错误；

设，则，不妨设，

联立，得，

同理可得，

于是

，C正确；

由得，

所以，

又，

所以四边形的面积是，D正确．故选ACD．

12．ABD

【解析】假设直线与直线共面，于是E、F、A、P四点共面，

则直线与直线共面，与直线、直线互为片面直线矛盾，

所以直线与直线互为片面直线，A正确；

当时，平面，

事实上，过点F作交于点G，连，则，

又，则平面平面，

于是存在点F，使平面，B正确；

以点D为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，设，

于是，平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，

所以，

令，则，

于是，

所以，因此不存在点F，使得与平面所成角的大小为，C错误；

，设直线与直线所成角为，

则

，

所以直线与直线所成角的余弦值的最大值为，D正确．故选ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．     14．4     15．     16．

13．

【解析】根据条件知在方向上的投影向量的坐标为．

14．4

【解析】由条件知，抛物线C的方程为，

根据以线段为直径的圆与y轴切于点得，

于是，根据知，

所以．

15．

【解析】由已知得到是以为斜边的直角三角形，

因为，所以点P在平面内的射影是的外心，

即斜边的中点，且平面平面，

于是的外心即为三棱锥的外接球的球心，

因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径．

因为，，

所以，

于是，

根据正弦定理知的外接圆半径R满足，

所以三棱锥的外接球半径大小为，

因此三棱锥的外接球的表面积为．

16．

【解析】由条件知，于是，

又，所以，，

当时，因，所以，要满足条件，

则，解得；

当时，因为，所以，要满足条件，

则，解得，

综上，实数的取值范围是．

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17．（本题满分10分）

解：（1）由条件，

可得，（2分）

因，所以数列不是等比数列，（3分）

于是，所以数列通项公式．（4分）

（2）由（1）知，（5分）

于是，（6分）

则，（7分）

两式相减得

，（9分）

所以，于是，原不等式得证．（10分）

18．（本题满分12分）

解：（1）由正弦定理可得，（2分）

根据余弦定理得，（4分）

又，所以．（5分）

（2）因为，，

又，解得，（6分）

由余弦定理得，

于是，（7分）

因为，所以，（8分）

在中，由正弦定理得，

所以，（10分）

于是，

所以的面积大小为．（12分）

19．（本题满分12分）

解：（1）由条件知甲同学通过测试的概率为．（2分）

（2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为，（3分）

根据题意乙同学通过测试的概率为，

所以乙同学没有通过测试的概率为，（4分）

由出知得，20，40，

因，

，

，

于是

（6分）

所以．（6分）

（3）由题意知甲投中1次，其搭档投中2次的概率为；（8分）

甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率为；（9分）

甲投中3次，其搭档投中与否的概率为，（10分）

所以甲同学通过测试的概率为，

根据题意可知，则，（11分）

又，所以当时，可以提高甲同学通过测试的概率．（12分）

20．（本题满分12分）

解：（1）证明：连交于，连．

在平行六面体中，且，

所以四边形是平行四边形，且，

又O，分别为BD，的中点，所以，，

所以四边形是平行四边形，于是，（2分）

因为平面平面，平面平面，

平面平面，

所以，（4分）

因为，都经过点O，所以O，P，三点共线．（5分）

（2）解：由（1）可知，所以．

作平面于Q，于E，于F，连，，，

则，，由，得，

又，所以平面，于是，

同理，

所以≌，，

所以点Q在上，且，所以点Q与O重合，于是．（7分）

以点O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，于是，

又，所以，，

设平面的法向量为，

则，于是可得，

不妨令，则，（9分）

平面的一个法向量为，（10分）

，（11分）

所以二面角大小的余弦值为．（12分）

21．（本题满分12分）

（1）解：函数的定义域为，

求导得，（1分）

当时，，所以函数在上单调递增；（2分）

当时，令，，

于是当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增．（3分）

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在单调递增．（4分）

（2）证明：令，则，

令，求导得，

则函数在上单调递减，在上单调递增，，

当时，函数的图象与直线有两个不同的交点，且．（6分）

要证，

只需证明，，（7分）

要证，即证，

两边同时平方，只需证明，

因为是函数的一个零点，所以，即，

所以只需证明，即证，①

构造函数，，求导得，

于是所数在上单调递增，所以，因此①式成立；（9分）

同理可证成立．

要证，又，只需证明，即证，②

构造函数，，求导得，

于是函数在上单调递减，所以，因此②式成立．

因此原不等式成立．（12分）

22．（本题满分12分）

解：（1）根据椭圆C的离心率为知，，

在中，，，

由正弦定理得，（2分）

解得，，，（3分）

所以椭圆C的方程为．（4分）

（2）由条件知直线l的斜率不为0，

设直线，，，

联立，得，

于是，，（*）（6分）

因为，，，

所以，

同理，于是，，

因为，所以，

即．

又直线l的斜率存在，所以，于是，

所以，即，（8分）

又，，

所以，

整理得，

将（*）式代入上式，得，

化简整理得，

又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得，

所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，

于是直线l恒过定点．（10分）

当时，，，

的面积

，（11分）

令，因为直线l的斜率存在，则，，

于是，

又函数在上单调递减，

所以面积的取值范围为．（12分）