2023年四川省广元市利州区中考数学零诊试卷（含解析）

2023年四川省广元市利州区中考数学零诊试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有万的卡塔尔投资亿美元修建各项设施数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在下列各式的计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某校举行“喜迎中国共产党建党周年”党史知识竞赛，下表是名决赛选手的成绩这名决赛选手成绩的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一个圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为线，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，抛物线的对称轴是直线，且过点，有下列结论：；；；；其中正确的结论为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  分解因式：        ．

10.  若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是______ ．

11.  如图，，且：：，则与是位似图形，与的位似比为______．

12.  分式方程的解为______．

13.  如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的长为        ．

14.  已知，则        ．

15.  若关于的方程的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则的值为______．

16.  如图，点是▱边的中点，连接、交于点现假设可在▱区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为        ．

17.  如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米身高为米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳绳子甩到最高时超过他的头顶，则的取值范围是        ．

18.  如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为______ ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  计算：
；
解不等式组．

20.  年月在新冠疫情的背景下，成都各大中小学纷纷开设网络课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，我校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”，“重视”，“比较重视”，“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图；根据图中信息，解答下列问题；
在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角度数为        ，并补全条形统计图；
我校共有学生人，请你估计我校对视力保护“非常重视”的学生人数；
对视力“非常重视”的人有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性学生的概率．
 

21.  如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度：的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米即米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为参考数据：，，
求点到点的水平距离的长；
求楼的高度．

22.  如图，在中，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若点是的中点，求的值．

23.  如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求抛物线的表达式；
是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的横坐标．
 

24.  新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世研究表明，在棉花成长周期内，随着棉花的不断成熟，成长高度与成长时间天的函数关系大致如图所示．
求与的函数关系式．
棉花在成长过程中，第天时，开始进入吐絮期试求出第天时，棉花成长的高度．

25.  如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．
求、的值；
如图，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点若，求的值．
如图，在的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似不含全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

26.  【问题发现】
如图，在正方形中，是上一点点与，不重合，交于点，交于点试猜想线段，和之间的数量关系，并证明；
【延伸探究】
在其余条件不变的基础上延长，交于点，连接，，交于点，如图求证：；
【问题解决】
如图是一块边长为米的正方形钢板由于磨损，该钢板的顶点，，均不能使用，王师傅计划过点裁出一个形如四边形的零件，其中点，，分别在，，边上，且为的中点，交于点，连接，求王师傅能裁出四边形的最大面积是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
的相反数是．
故选：．
先根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，再根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．
本题主要考查了相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是同类项，不能合并，故选项错误；
B.，选项正确；
C. ，故选项错误；
D. ，故选项错误．
故选：．
利用合并同类项的法则，单项式乘多项式以及积的乘方、幂的乘方，平方差公式即可判断．
本题考查平方差公式，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项，解题关键在于掌握运算法则．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要判定≌，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定≌，而添加后则不能．
【解答】
解：添加，根据，能判定≌，故A选项不符合题意；
B.添加，根据，能判定≌，故B选项不符合题意；
C.添加，根据，能判定≌，故C选项不符合题意；
D.添加时，不能判定≌，故D选项符合题意；
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：分出现了次，出现的次数最多，
所以这名决赛选手成绩的众数是．
故选：．
直接根据众数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：的半径为，
四边形是正方形，，
是的直径，
，
，，
，
解得：，
即的内接正方形的边长等于．
故选：．
根据正方形与圆的性质得出，以及，进而得出正方形的边长即可．
本题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据“若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【解答】
解：依题意，得：．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴是直线，且过点，
对称轴，
则有，
，，，
，
得，
，
，
结论正确；
，
结论错误；
，
结论错误；
当时，抛物线有最大值，
，
则，
即，
结论正确．
故选：．
由图示可知，，由对称轴是直线，可知，将点代入抛物线可求出，由此即可求解．
本题主要考查抛物线图像与系数的关系，理解图示，根据题意确定系数的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由于反比例函数的图象在第二、四象限，
则，
解得：．
故答案为：
根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果．
本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一三象限；时，函数位于二四象限．
 

11.【答案】： 

【解析】解：：：，
：：，
与是位似图形，
，
∽，
，
与的位似比：，
故答案为：：．
根据相似三角形的性质求出，根据位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
点到和的距离相等，
：：：：，
：：，
：：，
，，，
，
．
故答案为：．
利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则利用三角形面积公式得到：：：，而：：，所以：：，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
 

14.【答案】解：原式

；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以不等式组的解集为． 

【解析】先计算零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：调查的学生人数为人，
“比较重视”所占的圆心角的度数为，
“重视”的人数为人，
补全条形统计图如图：

故答案为：；
由题意得：人，
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为人；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有个，
所以恰好抽到同性别学生的概率是．
先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由乘以“比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；
画树状图，共有个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】解：由题意得：，
山坡的坡度：，
，
设米，则米，
米，
米，
，
，
米，米，
点到点的水平距离的长为米；
过点作，垂足为，

由题意得：米，，
设米，
米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
楼的高度约为米． 

【解析】根据题意可得：，再根据已知可米，则米，然后利用勾股定理可求出米，从而可得，进行计算即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】证明：连接，连接，
为的直径，
．
，
．
，，
是的中位线，
．
，
．
为半径，
是的切线．

解：由知，
点是的中点，
，
，
，
，即：点为的中点，
，则，
为等边三角形，
，则，
设的半径为，
则：，
，，，
由勾股定理可得：，，
，
，
，
即：． 

【解析】连接，连接，由于是圆的直径，那么，由于，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出，再利用三角形的中位线，再证明即可；
由题意可证得，即：点为的中点，为等边三角形，设的半径为，由含的直角三角形及勾股定理可求得、的长度，即可求得的值．
本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形，勾股定理，平行线分线段成比例等知识点．要注意的是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
 

18.【答案】解：把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由可得：，
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
轴，
∽，
，
，
当时，的值最大，
；
由题意可得如图所示：

过点作轴的平行线，分别过点、作于，于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设点，
由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
，，
当时，解得：，
当时，解得：．
综上：点的横坐标为或或或． 

【解析】把点和代入解析式求解即可；
过点作轴，交于点，由设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据∽可进行求解；
由题意可作出图象，设，然后根据题意及型相似可进行求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，，
，，
两边平方得：，
，即，
则原式

．
故答案为：．
根据不为，已知等式两边除以表示求出的值，平方并利用完全平方公式化简求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：设某直角三角形的三边长分别为、、，
依题意可得
或，
，，
设的两根为、，
，，
根据根与系数关系，得，，则，
为斜边时，，
，不符合题意，舍去；
为斜边时，，
，
，，
，
故答案为．
运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
本题考查了一元二次方程的解，熟练运用根与系数关系、根的判别式是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：设整个图形的面积是，
四边形是平行四边形，
≌，
的面积为，
点是▱边的中点，
，
的面积为，
点落在阴影部分的概率为．
故答案为：．
先设整个图形的面积是，得出阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意可知，
设抛物线的解析式为，
把代入，得
，
所求的抛物线的解析式是，
当时，，
解得，，
则的取值范围是．
故答案为：．
以所在直线为轴，以地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点，解答即可．
本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图作点关于的对称点，连接，

由轴对称的性质可知：，，

过点作垂直，垂足为，
易证，故可知的轨迹为以为直径的四分之一圆弧上，当点与点重合，点与点重合时，和均最短，
此时，最短．
四边形为正方形，
，．
．
在中，由勾股定理得：．
故答案为
首先作出点关于的对称点从而可知当点、、在一条直线上时，路径最短，当点与点重合，点与点重合时，和均最短，即最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：，，最后由勾股定理即可求得的长，从而可求得的最小值．
本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点的位置是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，设，则：
，
解得，
；
当时，设，
则，
解得，
，
与的函数关系式为；
当时，，
答：第天时，棉花成长的高度为． 

【解析】分段函数，利用待定系数法解答即可；
利用的结论，把代入求出的值即可解答．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
 

25.【答案】解：作轴于，如图：

，，
∽，
直线经过点，
，
解得，
直线解析式为：，
，
，
，，
点坐标为，
将点坐标代入，
得．
轴，
点的纵坐标为，代入，
得，
点坐标为，
将点横坐标代入，
得，
，
点纵坐标为，
代入，
得，
点坐标为，
，
，
解方程得或舍，
．
存在，理由如下：
如图，过点作轴于点，
由知，，
直线的解析式为：，，，
，
：，
．
，．
Ⅰ、当时，如图所示，设与交于点，

由知，轴，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，，解得；
；
，
直线的解析式为：；
若∽，则：：，不符合题意，舍去；
若∽，
：：，即：：，
解得，
设，
，
解得，负值舍去，
；
Ⅱ、当时，

若∽，如图，
，：：，
，即点在上，：：，
，
，
，直线的解析式为：；
若∽，
：：，即：：，
解得，
设，
，
解得，负值舍去，
；

Ⅲ、当时，，
直线的解析式为：；
若∽，则：：，不符合题意，舍去；
若∽，如图，
：：，即：：，
解得，
设，
，
解得，正值舍去，
；

综上，符合题意的点的坐标为：或或或 

【解析】将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值；
根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当时，当时，当时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可．
本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
 

26.【答案】解：，
证明：如图，四边形是正方形，
，，
于点，于点，
，
，
≌，
，，
．
证明：如图，四边形是正方形，
，，
由得，
≌，
，
，
，
≌，
，
，
，
．
解：如图，作于点，连接、、，
四边形是边长为米的正方形，为的中点，
米，米，
，
四边形是矩形，
米，米，，
当点在线段上时，则米，
，
，
当点与点不重合时，，
，
，
，
，
当点与点重合时，则，
，
设米，则米，
，
，
，
∽，
，
，
当时，取得最大值，此时点与点重合，
四边形的面积的最大值是，
答：王师傅能裁出四边形的最大面积是． 

【解析】由四边形是正方形得，，再由同角的余角相等证明，即可证明≌，得，，则；
先证明≌，得，则，再证明≌，得，所以，即可证明；
作于点，连接、、，先证明当点与点不重合时，，则，而为定值，则此时，再证明当点与点重合时，则；设米，则米，可证明∽，得，则，所以当时，取得最大值，此时点与点重合，由此证明四边形的面积的最大值是．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、应用正方形的性质解决实际问题等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．