2023年中考数学二轮复习《压轴题-线段数量关系问题》强化练习(含答案)

2023年中考数学二轮复习

《压轴题-线段数量关系问题》强化练习

1.抛物线y＝x2﹣2x＋m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；

(3)如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．

2.如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是抛物线y＝ax2＋bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．

①请用含m的代数式表示线段DF的长；

②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当DG＝AC时点D的坐标．

3.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(m，0)两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．

(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．

①求线段PM长度的最大值．

②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH＋HF＋CF的最小值．

4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝x＋1相交于A(﹣1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．

(3)若点P是抛物线上的一个动点(不与点A点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；

(4)设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A(0，﹣2)，B(4，0)两点，直线BC：y＝﹣2x＋8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．

(1)求抛物线y＝x2＋bx＋c的表达式；

(2)当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；

(3)①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC＋2，求△PHB周长的最小值．

6.已知抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c过点(﹣3，3)和(1，﹣5)，与x轴的交点为A，B(点A在点B的左侧)．

(1)求抛物线L的表达式；

(2)若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB(P的对应点是D)，且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．

7.如图1，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(﹣5，0)，点B(﹣1，﹣2)．

(1)求抛物线解析式；

(2)如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q(﹣4，0)作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM＋QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；

(3)如图3，长度为的线段CD(点C在点D的左边)在射线AB上移动(点C在线段AB上)，连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．

8.如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x＋8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、B．

(1)求抛物线的表达式；

(2)P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．

①当MN＝AB时，求点P的坐标；

②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．

参考答案

1.解：(1)∵抛物线y＝x2﹣2x＋m＝(x﹣1)2＋m﹣1的顶点A(1，m﹣1)在x轴上，

∴m﹣1＝0，

∴m＝1，

∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＋1；

(2)∵y＝x2﹣2x＋1＝(x﹣1)2，

∴顶点A(1，0)，

令x＝0，得y＝1，

∴B(0，1)，

在Rt△AOB中，AB＝，

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，

则，解得：，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋1，

∵CD∥AB，

∴设直线CD的解析式为y＝﹣x＋d，C(xC，yC)，D(xD，yD)，

则x2﹣2x＋1＝﹣x＋d，

整理得：x2﹣x＋1﹣d＝0，

∴xC＋xD＝1，xCxD＝1﹣d，

yC＝﹣xC＋d，yD＝﹣xD＋d，

∴yC﹣yD＝(﹣xC＋d)﹣(﹣xD＋d)＝xD﹣xC，

∵，

∴CD＝3AB＝3，

∴CD2＝(3)2＝18，

∴(xC﹣xD)2＋(yC﹣yD)2＝18，即(xC﹣xD)2＋(xD﹣xC)2＝18，

∴(xC﹣xD)2＝9，

∴(xC＋xD)2﹣4xCxD＝9，即1﹣4(1﹣d)＝9，解得：d＝3，

∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或﹣1，

∴C(2，1)，D(﹣1，4)，

设直线CD：y＝﹣x＋3交y轴于点K，令x＝0，则y＝3，

∴K(0，3)，

∴OK＝3，

∴S△COD＝OK×|xC﹣xD|＝×3×3＝；

(3)如图2，过点E作EG∥x轴交抛物线对称轴于点G，过点F作FH∥x轴交抛物线对称轴于点H，则AM∥EG∥FH，

∴＝，＝，

设直线PM的解析式为y＝kx＋n，

当x＝1时，y＝k＋n，∴P(1，k＋n)，

当y＝0时，kx＋n＝0，解得：x＝﹣，

∴M(﹣，0)，∴AM＝|1﹣(﹣)|＝||，

由x2﹣2x＋1＝kx＋n，整理得：x2﹣(k＋2)x＋1﹣n＝0，

则xE＋xF＝k＋2，xExF＝1﹣n，

∵EG＝|xE﹣1|，FH＝|xF﹣1|，

∴＋＝＋＝，

当k＜0时，点E、F、M均在对称轴直线x＝1左侧，

∴EG＝|xE﹣1|＝1﹣xE，FH＝|xF﹣1|＝1﹣xF，AM＝||＝，

∴＋＝＝

＝＝，

∴＋＝AM×(＋)＝×＝1；

当k＞0时，点E、F、M均在对称轴直线x＝1右侧，

∴EG＝|xE﹣1|＝xE﹣1，FH＝|xF﹣1|＝xF﹣1，AM＝||＝﹣，

∴＋＝＝

＝＝﹣，

∴＋＝AM×(＋)＝﹣×(﹣)＝1；

综上所述，的值为1．

2.解：(1)在抛物线y＝ax2＋bx﹣4中，

令x＝0，则y＝﹣4，

∴点C的坐标为(0，﹣4)，

∴OC＝4，

∵OB＝2OC＝4OA，

∴OA＝2，OB＝8，

∴点A为(﹣2，0)，点B为(8，0)，

则把点A、B代入解析式，得：

，解得：，

∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4；

(2)①设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则把点B、C代入，

得，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝x﹣4；

设点D为(m，m2﹣m﹣4)，可得F(m，m﹣4)，

∴DF＝m﹣4−(m2﹣m﹣4)＝﹣m2＋2m；

②∵点A为(﹣2，0)，点B为(8，0)，点C的坐标为(0，﹣4)，

∴AC2＝22＋42＝20，BC2＝82＋42＝80，AB2＝(8＋2)2＝100，

∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠ACO＋∠OCF＝90°，

∵DG∥AC，

∴∠DGC＝∠ACB＝90°，

∴∠DGF＝∠AOC＝90°，

∴∠DFG＋∠FDG＝90°，

∵DE⊥x轴，

∴DE∥y轴，

∴∠OCF＝∠DFG，

∵∠ACO＋∠OCF＝90°，∠DFG＋∠FDG＝90°，

∴∠ACO＝∠FDG，

∴△AOC∽△FGD，

∴，

∵AC2＝22＋42＝20，

∴AC＝2，

∵DG＝AC，

∴DG＝，

∴DF＝3，

∵DF＝﹣m2＋2m，

∴﹣m2＋2m＝3，解得m1＝2，m2＝6，

∴点D的坐标为(2，﹣6)或(6，﹣4)．

3.解：(1)把A(﹣1，0)，点C(0，﹣3)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

(2)∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4

∴顶点D(1，﹣4)，

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，

(x﹣3)(x＋1)＝0，

x＝3或﹣1，

∴B(3，0)；

如图1，连接BD，

设BD所在直线的解析式为：y＝k(x﹣3)，将D点坐标代入函数解析式，得﹣2k＝﹣4，

解得k＝2，

故BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，

∵∠ECB＝∠CBD，

∴CE∥BD，

设CE所在直线的解析式为：y＝2x＋b，将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，

故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，

当y＝0时，x＝．

当点E在点B的右侧时，直线CE经过BD的中点(2，2)，

此时CE的解析式为y＝x﹣3，

∴点E的坐标是(6，0)．

∴综上所述，点E的坐标是(，0)或(6，0)；

(3)①如图2，

∵B(3，0)，C(0，﹣3)，设BC的解析式为：y＝kx＋b，

则，解得：，

BC的解析式为：y＝x﹣3，

设P(x，x2﹣2x﹣3)，则M(x，x﹣3)，

∴PM＝(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2＋3x＝﹣(x﹣)2＋，

当x＝时，PM有最大值为；

②当PM有最大值，P(，﹣)，

在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，

∴FN＝CF，

当N、F、H三点共线时，PH＋NH最小，即PH＋HF＋CF的值最小，

Rt△OCK中，OC＝3，

∴OK＝3，

∵OH＝，

∴KH＝＋3＝，

Rt△KNH中，∠KHN＝45°，

∴KN＝KH＝，

∴NH＝KN＝，

∴PH＋HF＋CF的最小值是PH＋NH＝＋．

4.解：(1)将交点B(4，m)代入直线y＝x＋1得B(4，5)，

由题意可设抛物线解析式y＝a(x＋1)(x﹣5)，

把B(4，m)代入得a＝﹣1，

∴y＝﹣(x＋1)(x﹣5)，即y＝﹣x2＋4x＋5；

(2)过点P作y轴的平行线交AB于点H，

则，

xB﹣xA＝4﹣(﹣1)＝5，

所以，

其对称轴为，把代入y＝﹣x2＋4x＋5得：，

即△ABP的面积最大时P点坐标为；

(3)∵P为抛物线上一点，所以存在P点在直线AB上方和下方两种情况．

由题意得，

ED＝yE﹣yD＝(x＋1)﹣0＝x＋1，

因为PE＝2ED，所以|﹣x2＋3x＋4|＝2|x＋1|，所以﹣x2＋3x＋4＝±2(x＋1)，

解得x1＝﹣1(舍)，x2＝2，x3＝6，

当x＝2时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣7．

即当PE＝2ED时，求P点坐标为(2，9)或(6，﹣7)；

(4)若AM被FC平分，则AM的中点在直线FC上．

由F(0，5)，C(5，0)得直线FC的表达式为：y＝﹣x＋5，

设M(x，﹣x2＋4x＋5)，A(﹣1，0)，所以其中点坐标为，

将M'代入y＝﹣x＋5，解得x1＝3，x2＝2，

∴点M(3，8)或(2，9)，

当其坐标为(3，8)或(2，9)时，AM被FC平分．

5.解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过A(0，﹣2)，B(4，0)两点，

∴，解得，

∴y＝x2﹣x﹣2．

(2)∵B(4，0)，A(0，﹣2)，

∴OB＝4，OA＝2，

∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，

在Rt△BOA和Rt△BGF中，

tan∠ABO＝＝，即＝，

∴GB＝1，

∴OG＝OB﹣GB＝4﹣1＝3，

当x＝3时，yD＝×9﹣×3﹣2＝﹣2，

∴D(3，﹣2)，即GD＝2，

∴FD＝GD﹣GF＝2﹣＝，

∴S△BDF＝DFBG＝××1＝．

(3)①如图1中，过点H作HM⊥EF于M，

∵四边形BEHF是矩形，

∴EH∥BF，EH＝BF，

∴∠HEF＝∠BFE，

∵∠EMH＝∠FGB＝90°，

∴△EMH≌△FGB(AAS)，

∴MH＝GB，EM＝FG，

∵HM＝OG，

∴OG＝GB＝OB＝2，

∵A(0，﹣2)，B(4，0)，

∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，

设E(a，﹣2a＋8)，F(a，a﹣2)，

由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a，

∴a＝2，

∴E(2，4)，F(2，﹣1)，

∴FG＝1，

∵EM＝FG，

∴4﹣yH＝1，

∴yH＝3，

∴H(0，3)．

②如图2中，

BH＝＝5，∵PH＝PC＋2，

∴△PHB的周长＝PH＋PB＋HB＝PC＋2＋PB＋5＝PC＋PB＋7，

要使得△PHB的周长最小，只要PC＋PB的值最小，

∵PC＋PB≥BC，

∴当点P在BC上时，PC＋PB＝BC的值最小，

∵BC＝4，

∴△PHB的周长的最小值为4＋7．

6.解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点(﹣3，3)和(1，﹣5)，

∴，解得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；

(2)令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，

∴x1＝﹣4，x2＝0，

∴点A(﹣4，0)，点B(0，0)，

∴对称轴为x＝﹣2，

∴点D(﹣2，4)，

如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P(m，﹣m2﹣4m)，

∵△PEF∽△DAB，

∴，

∴PQ＝×4＝1，

∴|m＋2|＝1，∴m＝﹣1或﹣3，

∴点P(﹣1，3)或(﹣3，3)．

7.解：(1)将点A(﹣5，0)，点B(﹣1，﹣2)代入y＝ax2＋bx，

∴，解得，

∴y＝x2＋x；

(2)4QM＋QN的值为定值，设P(t，t2＋t)，﹣5＜t＜0，

设直线AP的解析式为y＝kx＋b，

∴，解得，

∴y＝tx＋t，

设直线PO的解析式为y＝k'x，∴t2＋t＝tk'，

∴k'＝t＋，∴y＝(t＋)x，

∵点Q(﹣4，0)，∴M(﹣4，t)，

∴N(﹣4，﹣2t﹣10)，∴QM＝﹣t，QN＝2t＋10，

∴4QM＋QN＝﹣2t＋2t＋10＝10，

∴4QM＋QN的值不变；

(3)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，

∴，解得，

∴y＝﹣x﹣，设D(m，﹣m﹣)，

∵CD＝，点C在点D的左边，

∴C(m﹣2，﹣m﹣)，

设直线OD的解析式为y＝k'x，

∴﹣m﹣＝k'm，

∴k'＝﹣﹣，∴y＝(﹣﹣)x，

∵CE∥OD，

∴直线CE的解析式为y＝(﹣﹣)x﹣＝﹣x﹣ (x＋1)，

当x＋1＝0时，x＝﹣2，此时y＝1，∴直线CE经过定点F(﹣2，1)，

过点F作FK⊥x轴交直线AB于点K，过点E作EG∥FK交AB于点G，

∴＝，

∵点F(﹣2，1)，

∴K(﹣2，﹣)，

∴FK＝，∴当GE最大时，的值最小，

设E(n，n2＋n)，则G(n，﹣n﹣)，∴GE＝﹣(n＋3)2＋2，

∴当n＝﹣3时，GE有最大值2，

∴的最小值为1.25．

8.解：(1)∵直线y＝2x＋8与x轴交于点A、与y轴交于点B，

∴令x＝0，则y＝8，

令y＝0，则x＝﹣4，

∴B(0，8)，A(﹣4，0)，

∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、B，

∴，∴，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋8；

(2)①∵P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N，

∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，

∴∠MPN＝∠AOB＝90°，

∴△PMN∽△OBA，

∴，

设点M的横坐标为m(﹣4＜m＜0)，

则M(m，2m＋8)，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，

∴PM＝﹣m2﹣2m＋8﹣(2m＋8)＝﹣m2﹣4m，

∵B(0，8)，A(﹣4，0)，

∴OA＝4，OB＝8，

∵MN＝AB，

∴，∴＝，解得m1＝m2＝﹣2，

∴P(﹣2，8)；

②如图，连接OP交AB于点C，

∵PN∥x轴，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，

∴点N的纵坐标为﹣m2﹣2m＋8，

令y＝﹣m2﹣2m＋8，则2x＋8＝﹣m2﹣2m＋8，

解得：x＝﹣m2﹣m，N(﹣m2﹣m，﹣m2﹣2m＋8)，

∵点C是MN的中点，M(m，2m＋8)，

∴C(﹣m2，﹣m2＋8)，

由①知：∠MPN＝90°，

又点C是MN的中点，

∴PC＝CM＝CN，

∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP，

∵PM∥y轴、PN∥x轴，

∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN，

∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC，

∴AC＝OC，BC＝OC，

∴AC＝BC，

∴点C是AB的中点，

∴C(﹣2，4)，

∴﹣m2＝﹣2，解得：m＝±2，

∵﹣4＜m＜0，

∴m＝﹣2，

∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣(﹣2)2﹣4×(﹣2)＝8﹣8，

∵PM∥y轴，

∴△PCM∽△OCB，

∴＝＝﹣1，故的值为﹣1．