中考数学总复习第1讲 全等三角形的性质与判定难点解析与训练

第1讲  全等三角形的性质与判定

考点·方法·破译

1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；

2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；

3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；

4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；

5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.

经典·考题·赏析

【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（    ）

A．5对  B．4对  C．3对  D．2对

【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.

解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90.

       在△ABC和△DCB中

    ∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D

⑵在△ABE和△DCE中

  ∴△ABE≌∴△DCE    ∴BE＝CE

⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中

∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C.

【变式题组】

01．（天津）下列判断中错误的是（    ）

A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 

D．有一边对应相等的两个等边三角形全等

02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.

03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.

⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；

⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.

【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE.

【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.

证明：∵FB＝CE  ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF

在△ABE和△DCF中,   

∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C

在△ABF和△DCE中,    ∴△ABF≌△DCE  ∴AF＝DE

【变式题组】

01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（    ）

A．2  B．3  C．4  D．5

02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.

\

03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC.

【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.

⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;

⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.

【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA

⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF  ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC

在△ABF和△DEC中,   

∴△ABF≌△DEC ∠BAF＝∠DEC  ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF  ∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA

∴∠AFD＝∠DCA

【变式题组】

01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（     ）

A．42°  B．48°  C．52°  D．58°

02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（   ）

A．△ABC≌△DEF  B．∠DEF＝90°  

C． AC＝DF          D．EC＝CF

03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.

⑴求证：AB⊥ED；

⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.

【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ

【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.

证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°,

    ∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.

    在△APB和△QAC中,   ∴△APB≌△QAC，

∴AP＝AQ

⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ, ∴∠P＋∠PAD＝90°

∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ

【变式题组】

01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.

02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（   ）

A．  B．  C．bm  D．am

03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________

演练巩固·反馈提高

01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（    ）

A．72°  B．60°  C．58°  D．50°

02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是（    ）

A．20°  B．30°  C．35°  D．40°

03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（    ）

A．SAS  B．ASA  C．AAS  D．SSS

04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（    ）

A.  CB＝CD                B.∠BAC＝∠DAC 

C. ∠BCA＝∠DCA        D.∠B＝∠D＝90°

05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（    ）

A.  △ABE≌△CBD               B. ∠ABE＝∠CBD

C. ∠ABC＝∠EBD＝45°          D. AC∥BE

06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（    ）

A. 小华、小明都对              B. 小华、小明都不对

C. 小华对、小明不对            D.小华不对、小明对

07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.

08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.

09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______

10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____.

11．如图, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.

12．如图, △ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.

⑴求证：AE＝CD；

⑵若AC＝12cm, 求BD的长.

13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.

14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.

⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；

⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）

15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.

16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？

⑴阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；

已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）

⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.

培优升级·奥赛检测

01．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（    ）

A．4对  B．5对  C．6对  D．7对

02．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（    ）

A．①②  B．②③  C．①③  D．①②③

03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE ,  ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）

A．DC        B. BC          C. AB         D.AE＋AC

04．下面有四个命题，其中真命题是（    ）

A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等

B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.

06．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）

07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.

⑴求证：BE⊥AC；

⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.

08．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.

09．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90°, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.

10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.

⑴求证：AF＋EF＝DE;

⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；

⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。

11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝5，AC＝13, 求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.

求证：BE＋CF＞EF；

⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.

12．（北京）如图，已知△ABC.

⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE.

13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE.

14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.

当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明）

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.