2023年人教版数学八年级下册期末复习《最值问题》专项复习(含答案)

2023年人教版数学八年级下册期末复习

《最值问题》专项复习

一              、选择题

1.要使代数式有意义，则x的(    )

A.最大值是     B.最小值是     C.最大值是     D.最小值是

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是(    )

A.             B.4           C.4.8               D.5

3.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(      )

A.1               B.2               C.3                  D.4

4.将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是(      )

A.cm2                   B.8cm2                    C.cm2                     D.16cm2

5.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是(　 　)

A.AB                      B.DE           C.BD             D.AF

6.如图，点P是菱形AOBC内任意一点，∠C＝45°，OP＝2，点M和点N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是(　　)

A.2        B.2        C.4        D.2

二              、填空题

7.将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为________度．

8.如图，一圆柱形容器(厚度忽略不计)，已知底面半径为6m，高为16cm，现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是　   　cm．

9.在如图的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点)，若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为　　    ．

10.将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为________．

11.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA＋PD的最小值为______.

12.如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点(不与B，C重合)，将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为　   　.

三              、解答题

13.如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.

(1)求证：四边形AGPH是矩形；

(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

14.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，∠ADB＝90°，E、F分别为边AB、CD的中点.

(1)求证：四边形DEBF是菱形；

(2)若BE＝4，∠DEB＝120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF＋PM的最小值为　   　，并在图上标出此时点P的位置.

15.如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；

(2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．

16.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0，4)和点B(3，0)，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°.

(1)求一次函数的解析式；

(2)求出点C的坐标；

(3)点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标.

17.已知直线l为x+y=8,点P(x，y)在l上且x＞0，y＞0，点A的坐标为(6，0).

(1)设△OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

(2)当S=9时，求点P的坐标；

(3)在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标.

18.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.

如图(1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图(2))，问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′.

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求.

请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小.

(1)在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法).

(2)请直接写出△PDE周长的最小值：　　    .

19.正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴和y轴上，如图1所示，直线l经过A、C两点．

(1)若点P是直线l上的一点，当△OPA的面积是3时，请求出点P的坐标；

(2)如图2，直角坐标系内有一点D(﹣1，2)，点E是直线l上的一个动点，请求出|BE＋DE|的最小值和此时点E的坐标．

(3)若点D关于x轴对称，对称到x轴下方，直接写出|BE﹣DE|的最大值，并写出此时点E的坐标．

20.如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB=15，对角线AC所在直线解析式为y=﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处.

(1)求点B的坐标；

(2)求EA的长度；

(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

1.A

2.C

3.C

4.B

5.D.

6.B.

7.答案为: 30　

8.答案为：8.

9.答案为：12．

10.答案为：30°.

11.答案为：4.

12.答案为：4.

13.证明：(1)∵AC＝9  AB＝12  BC＝15，

∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，

∴AC2＋AB2＝BC2，

∴∠A＝90°.

∵PG⊥AC，PH⊥AB，

∴∠AGP＝∠AHP＝90°，

∴四边形AGPH是矩形；

(2)存在.理由如下：连结AP.

∵四边形AGPH是矩形，

∴GH＝AP.

∵当AP⊥BC时AP最短.

∴9×12＝15•AP.

∴AP＝.

14.证明：(1)∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB＝90°.

∵△ABD中，∠ADB＝90°，E时AB的中点，

∴DE＝AB＝AE＝BE.

同理，BF＝DF，

∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，

∴DE＝BE＝BF＝DF，

∴四边形DEBF是菱形；

(2)解：连接BF，

∵菱形DEBF中，∠DEB＝120°，

∴∠EF＝60°，

∴△BEF是等边三角形，

∵M是BF的中点，

∴EM⊥BF.

则EM＝2.

即PF＋PM的最小值是2.

15.证明：(1)连接AC，如下图所示，             

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，

∠1＋∠EAC＝60°，∠3＋∠EAC＝60°，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAD＝120°，

∴∠ABC＝60°，

∴△ABC和△ACD为等边三角形，

∴∠4＝60°，AC＝AB，             

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF(ASA)．

∴BE＝CF；

(2)解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．

理由：由(1)得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，

故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H点，则BH＝2，

S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝4，

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．

∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝4﹣×2×3＝．

答：最大值是．                                         

16.解：(1)设AB直线的解析式为：y=kx+b，

把(0，4)(3，0)代入可得：

，解得：，

所以一次函数的解析式为：y=﹣x+4；

(2)如图，作CD⊥y轴于点D.

∵∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAD=90°，

又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠BAO.

在△ABO与△CAD中，

∵，

∴△ABO≌△CAD(AAS)，

∴OB=AD=3，OA=CD=4，OD=OA+AD=7.

则C的坐标是(4，7).

(3)如图2中，作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最小.

∵B(3，0)，C(4，7)

∴B′(﹣3，0)，

把(﹣3，0)(4，7)代入y=mx+n中，

可得：，解得：，

∴直线CB′的解析式为y=x+3，

令x=0，得到y=3，

∴P(0，3).

17.解：(1)如图所示：∵点P(x，y)在直线x+y=8上，

∴y=8﹣x，

∵点A的坐标为(6，0)，

∴S=3(8﹣x)=24﹣3x，(0＜x＜8)；

(2)当24﹣3x=9时，x=5，即P的坐标为(5，3).

(3)点O关于l的对称点B的坐标为(8，8)，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

由8k+b=8，6k+b=0，解得k=4，b=﹣24，

故直线AB的解析式为y=4x﹣24，

由y=4x﹣24，x+y=8解得，x=6.4，y=1.6，

点M的坐标为(6.4，1.6).

18.解：(1)作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；

(2)∵点D、E分别是AB、AC边的中点，

∴DE为△ABC中位线，

∵BC＝6，BC边上的高为4，

∴DE＝3，DD′＝4，

∴D′E＝5，

∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E＝3+5＝8.

19.解：(1)如图1中，由题意知点A、点C的坐标分别为(﹣2，0)和(0，2)

设直线l的函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，经过点A(﹣2，0)和点C(0，2)，

得解得，

∴直线l的解析式为y＝x＋2．

设点P的坐标为(m，m＋2)，

由题意得×2×|m＋2|＝3，

∴m＝1或m＝﹣5．

∴P(1，3)，P′(﹣5，﹣3)．

(2)如图2中，连接OD交直线l于点E，则点E为所求，此时|BE＋DE|＝|OE＋DE|＝OD，OD即为最大值．

设OD所在直线为y＝k1x(k1≠0)，经过点D(﹣1，2)，

∴2＝﹣k1，

∴k1＝﹣2，

∴直线OD为y＝﹣2x，

由  解得，

∴点E的坐标为(﹣，)，

又∵点D的坐标为(﹣1，2)，

∴由勾股定理可得OD＝．即|BE＋DE|的最小值为．

(3)如图3中， ∵O与B关于直线l对称，

∴BE＝OE，

∴|BE﹣DE|＝|OE﹣DE|．

由两边之差小于第三边知，当点O，D，E三点共线时，|OE﹣DE|的值最大，最大值为OD．

∵D(﹣1，﹣2)，

∴直线OD的解析式为y＝2x，OD＝，

由，解得，

∴点E(2，4)，

∴|BE﹣D′E|的最大值为此时点E的坐标为(2，4)．

20.解：(1)∵AB=15，四边形OABC是矩形，

∴OC=AB=15，

∴C(0，15)，代入y=y=﹣x+b得到b=15，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+15，

令y=0，得到x=9，

∴A(9，0)，B(9，15).

(2)在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，

∴CD=12，

∴OD=15﹣12=3，

设DE=AE=x，

在Rt△DEO中，∵DE2=OD2+OE2，

∴x2=32+(9﹣x)2，

∴x=5，

∴AE=5.

(3)如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小.

∵E(4，0)，∴E′(﹣4，0)，

设直线BE′的解析式为y=kx+b，

则有，解得，

∴直线BE′的解析式为y=x+，

∴P(0，).